2023新教材高考数学二轮专题复习第二部分方法探究探究二少失分同保住基本分才能得高分

探究二少失分，保住基本分才能得高分选择、填空在高考中属于保分题目，只有“保住基本分，才能得高分”．在平时的训练中，针对选择、填空题，要做到两个方面：一是练准度：高考中遗憾的不是难题做不出来，而是简单题和中档题做错，会做的题目没做对，平时训练一定要重视选择、填空的正确率．二是练速度：提高选择、填空题的答题速度，能为攻克后面的解答题赢得充足时间．方法一直接法(1)直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断而得出结果．(2)拿到一个选择题应根据其所提供信息，迅速确定最佳解法．而高考卷中大部分选择题需要用直接法求解．(3)直接法的解题过程与常规解法基本相同，不同的是解选择题时可利用选项的暗示性，同时应注意：在计算和论证时应尽量简化步骤，合理跳步，以提高解题速度，注意一些形成结论的应用，如球的性质、正方体的性质，等差、等比数列的性质．例1(1)[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100πB．128πC．144πD．192π(2)[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为____________.听课笔记：对接训练1.[2022·新高考Ⅱ卷](多选)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3，0)中心对称，则(A．f(x)在区间(0，5π12)B．f(x)在区间(－π12，C．直线x＝7π6是曲线y＝f(x)D．直线y＝32－x是曲线y＝f(x)2．[2022·全国甲卷]设向量a，b的夹角的余弦值为13，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________方法二排除法排除法也叫淘汰法，就是充分运用单项选择题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法．使用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个正确．例2(1)[2022·全国甲卷]函数y＝(3x－3－x)cosx在区间-π2，π(2)[2021·新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f(x)＝7sinx-π6单调递增的区间是(A．0，π2 BC．π，3π2 D听课笔记：对接训练3.设函数f(x)＝2-x，x≤0-x+1，x＞0，则满足f(x)＋f(x－12)＞1的xA．(－∞，14)B．(1C．(－∞，34)D．(34，＋4．[2022·全国乙卷]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是()A．y＝-x3+3xx2C．y＝2xcosxx2+1方法三特值、特例法(1)特值、特例法是解答单项选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．(2)当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例3(1)[2022·广东华南师大附中三模](多选)如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是()A．a＋d<b＋c B．ac>bdC．ac2>bc2 D．da<(2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A．3∶1B．2∶1C．4∶1D．3∶1听课笔记：对接训练5.已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令AB＝a，AC＝b，若过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且AP＝ma，AQ＝nb，则1m+1nA.3 B．4C．5 D．16．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1+a方法四数形结合法(1)“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．(2)对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果．例4(1)[2021·新高考Ⅱ卷](多选)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是()ABCD(2)[2022·全国甲卷]设函数f(x)＝sin(ωx＋π3)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(A．53，13C．136，8听课笔记：对接训练7.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－2)＝－f(x)，且在区间[0，1]上是增函数，若方程f(x)＝m在区间[－4，4]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的取值可能为()A．0 B．2C．4 D．－48．[2022·新高考Ⅰ卷]已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE方法五构造法构造法就是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例5(1)[2022·全国甲卷]已知a＝3132，b＝cos14，c＝4sin14，则A．c>b>aB．b>a>cC．a>b>cD．a>c>b(2)如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．听课笔记：对接训练9.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪B．(－1，0)∪C．(－∞，－1)∪D．(0，1)∪10．已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个正四面体的表面积为________．方法六估值法有些问题(主要针对单项选择题)，由于条件限制，无法(有时也没有必要)进行精确的运算和判断，而只能依赖于估算．估算实质上是一种粗略的算法，它以正确的算理为基础，通过合理观察、比较、推理、判断，从而做出正确的判断；也即把有关的数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或做出一个估计．例6(1)[2022·河北保定一模]已知a＝323，b＝log37，c＝ln27，则a，b，c的大小关系为(A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b(2)[2019·全国卷Ⅰ]古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12(5-12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12.A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm听课笔记：对接训练11.做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理(够用，且浪费最少)的是()A．4.6mB．4.8mC．5mD．5.2m12.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝32，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(A．92B．C．6D．15探究二少失分，保住基本分才能得高分方法一直接法[例1]解析：(1)设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理，得2r1＝33sin60°＝6，2r2＝43sin60°＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝r12＋t2＝r22＋(t－1)2，即R2＝9＋t2＝16＋(t－(2)不妨设P(p2，p)，∴Q(6＋p2，0)，PQ＝(6，－p)，因为PQ⊥OP，所以p2×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x答案：(1)A(2)x＝－3对接训练1．解析：由题意，得f2π3＝sin(4π3＋φ)＝0，所以4π3＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－4π3＋kπ，k∈Z.又0<φ<π，所以φ＝2π3.故f(x)＝sin(2x＋2π3)．选项A，当x∈(0，5π12)时，2x＋2π3∈(2π3，3π2)．由y＝sinu的图象，知y＝f(x)在区间(0，5π12)上单调递减，故正确．选项B，当x∈(－π12，11π12)时，2x＋2π3∈(π2，5π2)．由y＝sinu的图象，知y＝f(x)在区间(－π12，11π12)内只有1个极值点，故错误．选项C，当x＝7π6时，2x＋2π3＝3π，则f7π6＝0，所以直线x＝7π6不是曲线y＝f(x)的对称轴，故错误．选项D，令f′(x)＝2cos(2x＋2π3)＝－1，得cos(2x＋2π3)＝－12，则2x＋2π3＝2π3＋2kπ，k∈Z或2x＋2π3＝4π3＋2kπ，k∈Z，解得x＝kπ，k∈Z或x＝π3＋kπ，k∈Z答案：AD2．解析：因为cos〈a，b〉＝13，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×3×13＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32答案：11方法二排除法[例2]解析：(1)设函数f(x)＝(3x－3－x)cosx，则对任意x∈[－π2，π2]，都有f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因此排除B，D选项．又f(1)＝(3－3－1)cos1＝83cos1＞(2)因为函数y＝sinx的单调递增区间为(2kπ－π2，2kπ＋π对于函数fx＝7sinx-π6，由2kπ－π2<x－π6<2k解得2kπ－π3<x<2kπ＋2π取k＝0，可得函数fx的一个单调递增区间为-π则0，π2⊆-π3，2π3取k＝1，可得函数fx的一个单调递增区间为5π3π，3π2⊄-π3，2π3且π，故选A.答案：(1)A(2)A对接训练3．解析：当x＝1时，f(1)＋f(12)＝0＋12＝12＜1，由此排除D选项．当x＝0时，f(0)＋f(－12)＝1＋2＞1，由此排除B选项．当x＝12时，f(12)＋f(0)＝12＋1＝答案：C4．解析：对于B选项，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故B不符合题意．对于C选项，当x＝3时，y＝6cos310＝35cos3.因为cos3>－1，所以35cos3>－35，与图象不符，故C不符合题意．对于D选项，当x＝3时，y＝答案：A方法三特值、特例法[例3]解析：(1)取a＝c＝－2，b＝d＝－1，则a＋d＝b＋c＝－3，ac2＝－8，bc2＝－4，故AC不正确；因为－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，所以ac＞bd，故B正确；因为c＜d，1a＜0，所以da＜ca故选BD(2)将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝VABC-A1B1C13，故过P答案：(1)BD(2)B对接训练5．解析：由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．方法一如图1，PQ∥BC，则AP＝23AB，AQ＝23AC，此时m＝n＝2方法二如图2，取直线BE作为直线PQ，显然，此时AP＝AB，AQ＝12AC，故m＝1，n＝12，所以答案：A6．解析：a1，a3，a9的下标成等比数列，故可令an＝n，又易知它满足题设条件，于是a1+a答案：13方法四数形结合法[例4]解析：(1)设正方体的棱长为2，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，在直角三角形OPC中，OC＝2，CP＝1，故tan∠POC＝12＝2故MN⊥OP不成立，故A错误．如图(2)所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方体SBCM­NADT可得SN⊥平面ANTD，而OQ⊂平面ANDT，故SN⊥OQ，而SN∩MN＝N，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确．如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则AC∥MN，因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQ＝12AC＝2，OQ＝AO2+AQ2PO＝PK2+OK2＝4+1＝5，QO2<PQ2＋OP2故PO，MN不垂直，故D错误．故选BC.(2)因为f(x)＝sinωx+π3，结合选项，只考虑ω＞0.当ωx＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，即x＝π6ω+kπω(k∈Z)时，f(x)取得极值．又因为f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，所以π6ω+2πω＜π，π6ω+3πω≥π，解得136＜ω≤196.当ωx＋π3＝kπ(k∈Z)，即x＝－π3ω+kπω(k∈Z)时，f(x)＝答案：(1)BC(2)C对接训练7．解析：根据题意，函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，则f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，且f(x－2)＝－f(x)＝f(－x)，则函数f(x)的对称轴为x＝－1.又由f(x)是奇函数，则x＝1也是函数f(x)的对称轴，x∈[0，1]时，函数f(x)是增函数，据此作出函数f(x)的简图，若方程f(x)＝m在区间[－4，4]上有四个不同的根，必有m≠0，分2种情况讨论：①当m>0时，方程f(x)＝m(m>0)在区间[－4，4]上的四个不同的根，两两分别关于x＝－3和x＝1对称，不妨设x1<x2<x3<x4，则x1＋x2＝－6，x3＋x4＝2，则x1＋x2＋x3＋x4＝－6＋2＝－4；②当m<0时，同理可得x1＋x2＋x3＋x4＝4.故选CD.答案：CD8．解析：由题意知e＝ca＝12，所以a＝2c，b＝3c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan30°＝33，所以直线DE的方程为y＝33(x＋c)，即x＝3y－c.由椭圆方程x24c2+y23c2＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝3y－c代入并整理，得13y2－63cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝63c13，y1y2＝－9c213，所以|DE|＝1+1k2y1答案：13方法五构造法[例5]解析：(1)a－c＝3132－4sin14＝1－12×142－sin1414.不妨设f(x)＝1－12x2－sinxx＝x-12x3-sinxx.令h(x)＝x－12x3－sinx，则h′(x)＝1－32x2－cosx．令g(x)＝1－32x2－cosx，则g′(x)＝－3x＋sinx．当x∈0，14时，sinx＜3x，所以当x∈0，14时，g′(x)＜0，所以g(x)在0，14上单调递减，所以当x∈0，14时，g(x)＜g(0)＝0，所以当x∈0，14时，h′(x)＜0，所以h(x)在0，14上单调递减．所以当x∈0，14(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝22+22所以R＝62，故球O的体积V＝4πR3答案：(1)A(2)6π对接训练9．解析：构造函数g(x)＝fxx，则g′(x)＝由题意知