第10讲拓展四圆锥曲线的方程（面积问题）（原卷版）

第10讲拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）一、知识点归纳知识点一：三角形面积问题直线方程：知识点二：焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.二、题型精讲题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.【典例2】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．【典例3】（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆相外切，与圆相内切.(1)求动圆的圆心的轨迹方程；(2)过点的两直线，分别交动圆圆心的轨迹于、和、，.求四边形的面积.【变式1】（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．【变式2】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆的焦距和离心率；(2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线；(3)若是椭圆上的点，且，求的面积．【变式3】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知椭圆C：的上顶点为K，左右顶点分别为A，B，，的周长为．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，O，B关于直线L对称，过直线L与x轴的交点作斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（异于A，B两点），直线AM，AN分别交直线L于P，Q两点，当四边形APBQ的面积为4时，求k的值．题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，的上顶点到右顶点的距离为.(1)求的方程；(2)，为上的动点，设直线，的斜率分别为，，且.求的面积的最大值.【典例2】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知的两顶点坐标．(1)求动点的轨迹的方程；(2)不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．【典例3】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.①求证：直线恒过一定点；②设的面积为，求的最大值.【变式1】（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为8，且点在上．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与圆：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．【变式2】（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．【变式3】（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值.题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线，及直线.(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；(2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程与离心率；(2)已知斜率为的直线与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求的面积．【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．(1)证明：；(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.【变式2】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，且，都在圆上，连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设P是双曲线C与圆在第一象限的交点，求的面积．题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过的直线交曲线于两点（均位于轴右侧），关于原点的对称点为，求的面积的取值范围.【典例2】（2023·浙江金华·模拟预测）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．(1)记P，Q的纵坐标分别为，求的值；(2)记的面积分别为，当时，求的取值范围．【变式1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点.以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q.(1)求Q的轨迹方程；(2)过原点斜率为的直线l交曲线Q于B，C两点，求四边形GBAC面积的最大值.【变式2】（2023·高二课时练习）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.(1)若点是的中点，求的值；(2)求面积的最小值.【变式3】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知双曲线，其左、右焦点分别为、，上有一点P满足，．(1)求b；(2)过作直线l交于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为时，求的取值范围．题型05抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．(1)若F恰是椭圆C的焦点，求的值；(2)若，且恰好被平分，求的面积．【典例2】（2023春·湖北孝感·高二统考期中）如图所示，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为(1)求的值；(2)若线段的垂直平分线与抛物线交于两点，求的面积.【变式1】（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线的焦点为.(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与抛物线交于两点，为抛物线上的点，且，，求的面积.【变式2】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）设椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点的焦点与点关于直线对称.(1)求椭圆及抛物线的方程；(2)直线与椭圆交于，与拋物线交于（异于原点），若，求四边形的面积.题型06抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设是抛物线上一点．(1)求抛物线方程；(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线分别交抛物线于A，B两点，若直线与的倾斜角互补，求面积的最大值．【典例2】（2023秋·高二单元测试）已知抛物线，点在抛物线上，且点到抛物线的焦点的距离为.(1)求；(2)设圆，点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，求的面积的最大值.【变式1】（2023春·江苏南通·高二期末）抛物线的焦点，过C的焦点F斜率为1的直线交抛物线