辽宁省丹东市东港大顶子中学高三数学文期末试卷含解析

辽宁省丹东市东港大顶子中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则（）A．M?N B．N?M C．M∩N={0，1} D．M∪N=N参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】列举出N中元素确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：∵M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}={﹣1，0，1}，∴M∩N={0，1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|=2|AF|，则直线AB的斜率为（）A．±1 B． C．±2 D．参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义可知：|AC|=2|AF|，则∠ACD=，则∠CAD=，则∠xFB=，直线AB的斜率k=tan∠xFB=，同理即可求得直线AB的斜率﹣．【解答】解：抛物线y2=4x焦点F（1，0），准线方程l：x=﹣1，准线l与x轴交于H点，过A和B做AD⊥l，BE⊥l，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，则∠ACD=，则∠CAD=，∴∠xFB=，则直线AB的斜率k=tan∠xFB=，同理可知：直线AB的斜率﹣，∴直线AB的斜率±，故选B．3.已知双曲线，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B．(1,2) C． D．(2,+∞)参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．4.已知函数的部分图象如图所示，则点的坐标为________________；参考答案：略5.已知向量，，设，若，则实数的值是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B，，因为，所以，解得，选B.6.已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（

）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足，即，，满足，即必要性成立，即“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.7.当m变化时，不在直线(1－m2)x+2my－2m－2=0上的点构成区域G，P（x，y）是区域G内的任意一点，则的取值范围是（）A．（1，2） B．[，1] C．（，1） D．（2，3）参考答案：C【分析】原方程化为关于m的方程﹣xm2+（2y﹣2）m+x﹣2=0，x≠0时，△＜0，得（x﹣1）2+（y﹣）2＜1，，夹角记作α，直线OM与圆切与M，∠xOM=30°，α∈（0o，60o），即可得出．【解答】解：原方程化为关于m的方程﹣xm2+（2y﹣2）m+x﹣2=0，x≠0时，△＜0，得（x﹣1）2+（y﹣）2＜1，=（），=（x，y），，夹角记作α，直线OM与圆切与M，∠xOM=30°，α∈（0o，60o），=cosα∈（）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、直线与圆相切的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D9.已知i是虚数单位，若复数z=，则z2+z+1的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i参考答案：C【分析】先求出z2的值，然后代入z2+z+1计算．【解答】解：∵，∴=，则z2+z+1=．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10.已知集合，，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A试题分析：由已知可得，故考点：集合的运算二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图像在点处的切线斜率为，则

．参考答案：【知识点】直线的斜率；两角和与差的正切函数．C5

H1【答案解析】2+

解析：∵f（x）=x﹣sinx﹣cosx，∴f'（x）=﹣cosx+sinx又∵f（x）=x﹣sinx﹣cosx的图象在点A（x0，f（x0））处的切线斜率为，则f'（x0）=﹣cosx0+sinx0=

，即﹣cosx0+sinx0=0，即cosx0=sinx0，即tanx0=，故tan（x0+）==2+，故答案为：2+【思路点拨】由f（x）=x﹣sinx﹣cos的图象在点A（x0，f（x0））处的切线斜率为，我们易得f'（x0）=﹣cosx0+sinx0=，解方程后，可得tanx0的值，然后结合两角和与差的正切函数公式即可得到答案．12.已知函数其中,。

（1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围

；

（2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为

。参考答案：（1）；（2）-2.由（1）得

，

所以

故在上递增，在上递减。

所以在上的最小值为，而，故在上没有零点。所以的零点一定在递增区间上，从而有且。又，，当时均有，所以的最大值为-2.

13.已知关于的二次方程，若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，的范围是

．参考答案：14.等比数列满足是方程的两个根，且，则

___________________.参考答案：9略15.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：

现在加密密钥为，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”。若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为

；参考答案：14略16.已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是___．参考答案：

(1,4)

(1,3]∪(4,+∞)【分析】分类讨论构造不等式组即可求得的解集；分别令两段解析式等于零可求出所有可能的零点，以可能的零点来进行分段可确定符合题意的情况.【详解】由得：；由得：，时，不等式的解集为；令得：；令得：或，恰有两个零点，当时，、是的两个零点，满足题意；当时，、、是的三个零点，不合题意；当时，、是的两个零点，满足题意；当时，是的唯一零点，不合题意；综上所述：的取值范围为.故答案为：；.【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解不等式的问题、根据分段函数零点个数求解参数范围的问题；关键是能够通过所有可能的零点进行分段讨论，找到符合题意的情况.17.某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是

______．参考答案：20高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在等比数列中，公比，等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.参考答案：（1）由已知得：，，，即，解得或（舍），所以，所以.（2）19.已知函数．（1）若函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递减函数，求a的取值范围；（2）当－2＜a＜0时，证明：对任意x∈（0，＋∞），．参考答案：（1）解：由题意得，即a≥－2x在[1，＋∞）上恒成立，所以a≥－2．（2）证明：由（1）可知，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减．因为－2＜a＜0，所以，所以，即，即，所以．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC，BC=2AD，AC，Q是线段PB的中点.（I）求证：平面PAC；（II）求证：AQ//平面PCD.参考答案：证明：（Ⅰ）因为平面，平面所以,

…………………2分又因为，，平面，,所以平面

…………………3分又因为平面，平面，所以

…………………4分因为，，平面，,所以平面

………6分（Ⅱ）方法一:取中点,连接、.因为是线段的中点，是的中点，

所以∥,………8分

因为∥,所以∥,

所以四边形是平行四边形，………………9分所以∥,

………………10分因为∥,平面,平面

所以∥平面.

…………12分方法二:取的中点,连接、.因为所以

又∥，所以

四边形是平行四边形，

所以∥

因为平面,平面,所以∥平面……………8分

因为，分别是线段，的中点，所以∥，所以∥平面

……………10分

因为，所以平面∥平面

……11分因为平面，所以∥平面.

………12分略21.（16分）已知函数，其中a为参数，，（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈时，求函数f（x）的最小值；（3）函数g（x）是否存在垂直于y轴的切线？请证明你的结论论．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）将a=1代入函数f（x），求出其导数，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，进而求出函数的最小值；（3）问题转化为方程有没有解，通过研究左右两个函数的值域，从而得到结论．【解答】解：（1）a=1时，，定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，得x=1，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；

（2），x∈，当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a﹣1，当a＞0时，令f′（x）=0，则x=a，①若a＞e，则f′（x）＜0对x∈成立，则f（x）在区间上单调递减，所以，f（x）在区间上的最小值为，②若1≤a≤e，则有x（1，a）a（a，e）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间上的最小值为f（a）=lna，③若a＜1，则f'（x）＞0对x∈成立，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a﹣1，综上得：；（3）即考虑方程g′（x）=0有没有解，求导得，令g′（x）=0，则，即下面分别研究左右两个函数的值域，∵由（1）得a=1时f（x）的最小值为f（1）=0，∴，即，令，则，∴h（x）在（﹣∞，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h（x）max=h（2）=1，又∵等号不能同时取到，∴方程无解，即函数g（x）不存在垂直于y轴的切线．【点评】本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查转化思想