角的定义与分类

第17讲角知识框架角是初中数学六年级下学期第3章第2节的内容.同学们要理解角、余角和补角的概念，掌握角的表示方法、角的大小的比较的方法，理解两个角的和、差、倍的意义，会用量角器画角，并学会用尺规作角及角的和、差，理解角的平分线的意义，并会用尺规作已知角的平分线，还要掌握角度的单位换算及相关运算.17.1角的概念与表示知识精讲知识精讲角的概念角是具有公共端点的两条射线组成的图形.如下左图所示，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边.顶点顶点我们还可以这样理解角：角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.如上右图所示，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.角的始边转动到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内.通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示，如下图所示.其中，中图，右图中的阴影部分是角的外部，简称角外.

角的表示（1）大写英文字母：角一般用三个大写英文字母表示，如下左图所示，记作ZAOB.其中表示顶点的字母O必须放在三个字母中间.如果以点O为顶点的角只有一个，那么这个角可以用表示顶点的字母表示.上左图中，ZAOB可以记作ZO.如果以点O为顶点的角有多个（如上右图所示），那么其中任何一个角都必须用三个大写英文字母表示，而不能记作ZO.（2） 小写希腊字母：有时为了方便，在角的内部标上一个小写的希腊字母，如n，卩，Y等；在上右图中，ZAOC、上COD、上DOB可以分别记作Za、Z0、Zy（或n、p、y）.（3） 数字：有时为了方便，也可以在角的内部标上一个数字，如1,2,3等;如右图所示，ZAOC、ZCOD、ZDOB可以分别记作Zl、Z2、Z3.3.方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50。，南偏西45°.例题分析例题分析【例1】如图，分别用三种形式表示图中的角.NN【例2】写出图中射线OA、OB表示的方向.OA表示的方向是 偏 OB表示的方向是 偏 【例3】如图，点D在AB上.图中共有几个角(小于平角的角)？写出图中能用一个大写字母表示的角.写出图中只能用三个大写字母表示的角(小于平角的角).【例4】在AOB的内部引1条射线，一共有几个角？引2条射线呢？引3条射线呢？引4条射线呢？引n条射线内？16.2角的大小的比较画相等的角知识精讲角的大小的比较度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小.叠合法：移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边叠合，两个角的另一条边都落叠合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边”的位置情况.如图，已知ZAOB，如果移动ZEDF，使顶点O和顶点E、边ED与边OA叠合，边EF与边OB在它们的同侧.这时EF对于ZAOB而言，有几种可能的位置关系？请完成下列表格：图形EF对于ZAOB的位置付号表示情况一O(E) A(D)边EF在ZAOB的内部ZDEF<ZAOB(或ZAOB>ZDEF)情况二情况三锐角、直角、钝角、平角、周角0°<锐角<90°,直角=90°,90°<钝角<180°,平角=180°,周角=360°.例题分析I.例题分析I. ;【例1】根据图形填空：(1)比较角的大小：因为OB和OB是公共边，边 在ZBOD的内部，所以ZBOCZBOD；

因为OA和OA是 ，边OC在ZAOB的内部，所以ZAOC ZAOB.(2)确定角的边的位置：因为OC和OC是公共边，ZBOC<ZAOC，所以边OA在ZBOC的；因为边OM与边叠合，,MON=ZAOC，所以边ON与边 .DODO【例2】下列说法中正确的是(【例2】下列说法中正确的是((A)锐角都相等；(C)钝角都相等；(B)直角都相等；(D)角的大小与角的边长的长短有关.【例3】判断题：大于90°的角是钝角.( )钝角一定大于它的补角.( )直线MN是平角.( )角的边越长，角的度数越大.( )大于直角的角是钝角.( )【例4】如图，已知Za，用量角器画ZAOB，使得ZAOB=Za.【例5】如图，已知Z0，用直尺、圆规作出ZCOD，使得ZCOD=Z^.【例6】如图，已知Z1、Z2，用尺规作图法比较它们的大小.17.3画角的和、差、倍—7知识精讲1.角的和差如图，共有ZAOB、上COB、ZAOC共3个角，它们有如下等量关系：ZAOC+ZCOB=ZAOB，ZAOB-ZAOC=/COB，ZAOB-ZCOB=ZAOC.概括：两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和（或差）.2.角的平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.例题分析例题分析【例1】用一副三角尺可以直接画出30°、45°、60°、90°的角，试利用角的和、差意义,画出15°、75°、105°、135。和150°的角.【例2】如图，已知Z1、Z2，用量角器画一个角，使它等于Z1+Z2.【例3】如图，根据图形填空：ZBOC=ZAOD- - = —ZAOB= -ZDOC；ZBOD二ZAOD- =ZDOC+ .【例4】已知射线OD平分ZAOB，ZAOD=40。，ZAOB= .【例5】已知加=35。，ZP=45。，则-（Za+Z3）= .2【例6】如图，已知ZAOB=/DOC，ZAOC=56。，ZDOB= 【例7】已知ZA+ZB+ZC=180。，ZA:ZB:ZC=2:3:4，求ZA、ZB、ZC的度数.【例8】两个角的度数之比为3:5，且两角之差为40°，求这两个角的度数.【例9】尺规作图：如图，已知Z1和Z2，求作ZAOB=4+Z2.【例10】尺规作图：如图，已知ZAOB，求作ZAOB的平分线OC.【例11】尺规作图：已知ZAOB、ZCOD，求作：-(ZAOB-ZCOD).2【例12】如图，Z1=Z2=15。，Z3=Z4=30。，求图中所有的角的度数的和.知识精讲余角如果两个角的度数的和是90°，那么这两个角叫做互为余角，简称互余.其中一个角称为另一个角的余角.补角如果两个角的度数的和是180°，那么这两个角叫做互为补角，简称互补.其中一个角称为另一个角的补角.角的度量度量单位：度（记作：“。”，分（记作：“'”），秒（记作：“''”）.角的度量单位度、分、秒的关系：1。=60'，1'=60''.同角（或等角）的余角相等.同角（或等角）的补角相等.【例1】TOC\o"1-5"\h\z已知ZA=20。，则ZA的余角= ，补角= ；已知Za=26。34'，则Za的余角= ，补角= .【例2】下列说法正确的是（ ）（A） 180°的角是补角；（B） 110°和90°的角互为补角；（C） 10°、20°、60°的角互为余角；（D） 若Za=90。—ZB，则Za、Z0互为余角.【例3】如图，ZAOC=ZBOD=90。，若ZAOB=35。14'，则ZC0D= 【例4】TOC\o"1-5"\h\z（1）35°的余角的补角是 °；（2）若一个角的余角是x°,那么这个角的补角是 °.【例5】一个角的余角与它的补角互补，则这个角的2倍一定是（ ）（A）锐角； （B）钝角； （C）直角； （D）平角.例6】单位换算：44。15'= °；71.36。= ° ' 例7】计算：(1)12。44'+53。24'； (2)33。25'18”—14。34'26”；(2)34°55'41"x2；(4)110。—14。25'15”+25(2)34°55'41"x2；例8】一个角的补角比这个角的余角的3倍大14°，求这个角的度数？【例9】已知X、尹是正整数，Z1的度数等于（3x+5）。,Z2的度数等于（3y—2）。，且Z1与Z2互为补角，则X、尹的和是多少？【例10】已知ZAOB=70。，ZBOC与ZAOB互余.（1） 若OP是ZAOC的平分线，计算ZBOP的度数；（2） 若ZBOD与ZAOB互补，OE平分ZCOD，画出所有符合条件的图形，并直接写出ZAOE的度数.图中有几个角？怎么表示.下列说法一定正确的是()(A)下列说法一定正确的是()(A)角是由两条射线组成的图形；(C)三条共顶点的射线组成两个角;如图，在横线上填上适当的角.ZAOC+ZCOD= ；ZAOC—ZAOB= ；ZAOB=ZAOD— — •(B)用放大镜看一个角，角的度数变大了;(D)平角大于钝角.DTOC\o"1-5"\h\z(1)Z1=30。12',Z2=43。16'，则Z1+Z2= ；Z1=60。,Z2=33。16'，则Z1—Z2= ；Z1=12。26'，则3Z1= ；2Z1=65。45'30"，则—Z1= •3 钟面上从3点50分到4点30分，时针转了 °•射线OA位于南偏东20°方向，射线OB位于北偏东25°方向，ZAOB的度数为 已知Za的余角为53。41'，则Za的补角= •一个角的补角与它的余角的和是平角的7，求这个角的度数.69.已知ZAOB=120。，自点O在ZAOB内部引射线OC，OD、OE分别是ZAOC、ZBOC的平分线，求ZDOE的度数.10.如图，已知A、O、B三点共线，ZAOC=120。,OD、OE分别平分ZAOC、ZBOC.TOC\o"1-5"\h\z图中相等的角有 对，分别是 :图中互余的角有_____对，分别是 :图中互补的角有_____对，分别是 :EEB11.如图，已知ZBOD=45。，ZAOE=90。，请问图中不大于90。的角有几个？它们的和是多少？DDE12.在ZMON内部引10条射线，则一共多少个角？判断：TOC\o"1-5"\h\z由两条射线组成的图形叫做角.( )所有的角都可以用一个大写英文字母表示.( )若ZAOC=丄ZAOB，则0C平分ZAOB.( )2钝角没有余角.( )一个角的余角是锐角.( )一副三角尺不能画出的角度是( )(A)15°； (B)75°； (C)85°； (D)105点A在点B的北偏东70°方向，则点B在点A的 方向.若ZA=24。24',ZB=24.24。，则ZA ZB(填“>”，“=”，“<”).已知Z1比Z2大24°,Z1:Z2=3:1,Z1+Z2= °.填空：已知ZA=24。44'，则ZA的余角为 ,ZA的补角为 ；一个角的补角比这个角的余角大 ；35。30'+72.4。= ；(结果用度表示)36。12'4