角动量定理和角动量守恒定律

第6节角动量定理和角动量守恒定律、质点对固定点的〜定义：质点对O点的角动量（动量矩）L=rxP sL=rPsin申=rmVsin申,kgms-1,ML2T-1定义：力F对o点的力矩：M=rxFM=rFsin0dLdt=—(rxP)=dt空xP+rxdtdPdt—> —> —>=VxmV+rxFrxF:合外力矩M质点角动量定理dL—Mdt:Mdt称为元冲量矩AL二门Mdt:卩Mdt称为冲量矩，Nms，ML2T-1 t1 ti如果合外力矩M=0=0=L=rxP=C:角动量守恒定律dt例：圆锥摆球在水平面内匀速转动分别对固定点A和O，讨论小球受到的张力矩，重力矩，合力矩和角动量对A:M=RxT=0，T—► —►—►M=RxG丰0GM=M+M丰0，TGL=RxmV不守恒A对O:M=rxT丰0，M=rxG丰0TGM=MT+MG=rx(T+G)=0LO=rxmV守恒

例：证明开普勒第二定律“从恒星到行星的矢径在相同的时间内扫过相同的面积”证：合外力矩M=rxF=0角动量L=rxmV=CrxV=C,rVsin申=C‘11dt，面积dA-rdhrdsirp22=—rdssiip=—rVsinp=C'/2:常数dt2dt 2二、质点系对固定点的〜mrOm Vi im•nFi*m：动量：PmrOm Vi im•nFi*i iii角动量L=rxPiii定义：质点系对O点的角动量L=工L=工rxPTOC\o"1-5"\h\zi i idL Vdr 亦 V_ dPdt dt i i dti iirxfii=VvxP+Vrx(F+f)VJ云丄V'i iirxfii=rxF丄厶V i irxF=M外：合外力矩Vi irxf=0ii如果合外力矩M外=0rx豊=rxf=0ii如果合外力矩M外=0rx豊=M外质点系角动量定理dL=M外dtAL二门M外dtt牛=0-L丄Li=C:角动量守恒定律mmOmg解：角动量守恒：RmV-RmV=0v=v，同时达到滑轮212三、刚体对定轴的~Am对z轴的角动量i—► —► —►L=rxP三、刚体对定轴的~Am对z轴的角动量i—► —► —►L=rxP=rxAmViiii ii—>rxAmV=rAmV=Amr2®i iiiii ii—►L=Amr2®，\o"CurrentDocument"i ii刚体对z轴的角动量L=工Amr2®=I®,iidL d —d®=(I®)=I =ip=Mdt dt dt如果M=0，则L=C：角动量守恒定律非刚体，i一般随时间变化，M=币不成立角动量定理及角动量守恒定律仍成立！dLt定轴转动，—=M，dL=Mdt，AL=fMdtdtt1L=C，L=I®，M=Ip演示实验例：水平面内，均质杆（M，l）子弹（m，V）击穿杆的自由端后速度降为V/2求：杆转动的角速度®解：角动量守恒IIV/2VmVl=m11+3Ml细'3mV®=2Ml0AB11I=mr2，I=mr2A2AAB2BB例：r=0.2m，m=2kgAA®=50rads-10Ar=0.1m，m=4kgBB®=200rads-10B求：AB对心衔接后共同的角速度®，AB受到的冲量矩，机械能损失。解：I® +1® =(I+1)®，A0AB0B ABI3 +13①=_0A b_0B=100ad-sI+1ABJ12Mdt=AL=I3-13 =2NmstA AA A0At1Jt2Mdt=AL=I3-I3=-2NmstB BB B0Bt1111 1AE=—(I+1)32—I32—I32=—150J2AB 2A0A2B0B如此衔接，角动量守恒吗？如此衔接，角动量守恒吗？工f=0，工工f=0，工fdt=0，工Mi i ，乙f-dr丰0，对于刚体乙f•MG00注意：1、 L和M必须对同一固定点或同一固定轴2、 只适用于惯性系3、单个质点， 合力矩=力矩的和=合力的力矩质点系及刚体，合力矩=力矩的和工合力的力矩4、 角动量守恒的充要条件是M外=0,不是RM外dt=0t1质点系的内力：内=0，工M内dt=0idr=0iiii例：人沿转台边缘相对转台跑动一周求：相对于地面，人和转台各转过多少角度？1解：mR23――MR20=0，2m3=MG22mJ3dt=MJGdt002m0=M0， 0+0=2兀2m0=M(2兀-0)2兀M 小 4兀m0=，0=—M+2m M+2m

例：均质杆可在竖直平面内转动求：杆与木块完全非弹性碰撞后木块滑行的距离，(卩)解：第一阶段：机械能守恒0二2•3Ml232+(-Mg2)TOC\o"1-5"\h\z=理 -3-厂第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒(不是动量守恒)1 1 1Ml23二一Ml23'+mV=(—M+m)lV，V=3‘13 3