江西省万安中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

2023-2024学年高二上学期开学考试数学一、单选题（每题5分，共40分）1．等于（

）A． B． C． D．2．下列说法中正确的是（

）A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角3．已知，，则（

）A． B． C． D．4．（）A． B． C． D．5．设i为虚数单位，若复数，则复数的实部与虚部的和为（

）A． B．1 C．0 D．26．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（

）

A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺7．如图，在正三棱柱中，若，，点D是棱的中点，点E在棱上，则三棱锥的体积为（

）

A．1 B．2 C． D．8．在斜三角形中，角的对边分别为，点满足，且，则的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题（每题5分，共20分）9．已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（

）A．① B．② C．③ D．④10．已知函数，则说法正确的是（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．为奇函数 D．为偶函数11．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（

）

A．直线与直线AF异面B．直线与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形D．三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的12．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（

）

A．满足的点有且只有一个B．满足的点有两个C．存在最小值D．不存在最大值三、填空题（共20分）13．已知向量满足，则．14．当函数取得最大值时的的集合为．15．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为1的大正方形，若直角三角形中较小的内角为，小正方形的边长为，则．16．如图，在直角梯形中，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为.

四、解答题（共70分）17．已知函数

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；00(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.18．已知复数满足，其中为虚数单位.(1)求；(2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.19．已知向量，向量．(1)当时，求的值；(2)设函数，且，求的最大值以及对应的x的值．20．①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，______，(1)求B；(2)求的面积．21．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.

(1)将用含有的关系式表示出来；(2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？22．如图，已知矩形，，M是AD的中点，现将沿着BM翻折至．

(1)若，求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值的最大值．

1．D因为，故选：D.2．A锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确；选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误；选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.故选：A3．A因为，，所以，故选：A4．A.故选：A5．D，则其实部为，虚部为，故实部与虚部之和为2，故选：D.6．D依题意，该柱体的体积为立方尺.故选：D7．C在正三棱柱中，若，，点是棱的中点，点在棱上，，点到平面的距离，三棱锥的体积为：．故选：C．8．A因为，由余弦定理得，又因为是斜三角形，所以，所以，由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，化简得，解得或（舍去），所以，设边的中点为，则，因为，所以，即为的中点，所以：.故选：A.9．CD对于①，，而是第三象限角，①不是；对于②，角的终边为x轴非正半轴，②不是；对于③，，是第二象限角，③是；对于④，，是第二象限角，④是.故选：CD10．AC对于A选项，因为，所以，的图象关于点对称，所以A选项正确.对于B选项，由，知的图象不关于直线对称，所以B选项错误.对于C选项，由，知为奇函数，所以C选项正确.对于D选项，因为，，，所以不为偶函数，所以D选项错误.故选:AC.11．ABC对于选项A，易知AF与异面，选项A正确；对于选项B，取的中点为M，连接、GM，则，，易证，从而，选项B正确；对于选项C，连接，，易知平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形，选项C正确；对于选项D．设正方体棱长为a，三棱锥A-CEF的体积，选项D错误．故选：ABC．12．BC建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则，所以，，由，得，所以，所以，①当点在上时，，且，所以；②当点在（不含点B）上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，即；③当点在（不含点C）上时，，且，所以，即，所以；④当点在（不含点A、D）上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，所以；对于A，由①知，当时，，此时点与点重合；由④可知当时，，，此时点在的中点处；其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误，对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点；由③知，当时，，，此时点在点处；其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确，对于CD，由①②③④可得：当，即点为点时，取到最小值0；当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误，故选：BC.

13．/由题意，，所以，故答案为：14．依题意令，，解得，，所以函数取得最大值时的的集合为.故答案为：15．如图所示，在直角三角形中，，，，则，，所以，，所以，解得，，所以.故答案为：16．解：如图，设外接球的球心为，半径为为中点，为中点，因为，所以，∥，又因为，，所以，所以,,所以，，所以为二面角的平面角，所以，作于，因为，，，所以平面，又因为平面，所以，又因为，,则平面，所以∥，则有，即，

由题意可求得：，设，由题上式可得：，求得：，从而求得：，故三棱锥外接球的表面积为.故答案为：17．(1)答案见解析；(2)时，取最小值0；时，取最大值1.（1）分别令，可得：x00100画出函数在一个周期的图像如图所示：

（2）因为，所以，所以当，即时，取最小值0；当，即时，取最大值1.18．(1)(2)（1）设，则，故，所以解得：，∴；（2）由（1）得：，因为四边形是复平面内的平行四边形所以故点对应的复数为.19．(1)(2)，（1）因为，所以，解得.（2）,又因为，所以，所以当，即时取得最大值为3.20．(1)条件选择见解析，；(2)或.（1）若选①，，可得，可得：，因为，可得，可得，可得；若选②，，由正弦定理可得，因为，则，可得，即，因为，可得；若选③，因为，可得，可得，因为，可得；（2）结合（1）因为，利用正弦定理可得，所以，因为，所以或，当时，，因为，所以，，可得：，当时，则，又因为，所以，．所以的面积为或.21．(1)，(2)答案见解析（1）因为，，所以，.（2）因为，所以，在中，由余弦定理易得，因为，所以，当，即时，取最大值取最大值，此时，，故当时，取最大值.22．(1)证明见解析(2)（1）由题意矩形中，，M是AD的中点，可知,，设O为中点，连接，则，

又，，故，又

，O为中点，故，而，故，故，而平面，故平面，平面，故平面平面；（2）由（1）可知，将沿着BM翻折至平面平面时，二面角逐渐增大，当平面平面时，作，垂足为E，连接，

因为O为中点，则E为中点，此时;由于平面，平面，故，平面，故平面，则为二面角的平面角，而,故；下面考虑翻折到越过平面平面时的位置后的情况：设Q为中点，连接，则四边形为正方形