基本不等式得奖

34基本不等式ICM2002会标如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。ADBCEFGHba图中的不等关系：当且仅当a=b时，等号成立。ABCDEFGHab如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：1．不等式适用范围：2．强调取“=”的条件：重要不等式所得不等式推广：例1.已知求证：

证：∵以上三式相加：∴

思考：若a,b,c不全相等，所求证的结论有何变化？如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：重要不等式所得不等式推广：注意：1．这个定理适用的范围：

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3掌握公式的正用、逆用、变形用。称为的算术平均数，称为的几何平均数。如果那么是正数，（当且仅当时取“=”）均值不等式关于“平均数”的概念：1．如果

则：

叫做这n个正数的算术平均数。叫做这n个正数的几何平均数。2.均值定理：

≥

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。aboABPQ均值不等式的几何意义:如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则PQ=____,半径AO=_____问题：请比较半弦长PQ与半径AO的关系？几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长例2：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为m，宽为ym，则y=100，篱笆的长为2（y）m等号当且仅当=y时成立，此时=y=10因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值简记“积定和最小”（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为m，宽为ym，则2（y）=36,y=18矩形菜园的面积为ym2=18/2=9得y81当且仅当=y,即=y=9时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值简记“和定积最大”如果那么是正数，（当且仅当时取“=”）均值不等式应用均值不等式求最值的条件:a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等“一正”“二定”“三等”积定和最小和定积最大练习、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值解:即的最小值为过程中两次运用了均值不等式,而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：对么？正解:当且仅当即:时取“=”号即此时练习、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值“1的代换”例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低最低总造价是多少解:设底面的长为m,宽为ym,水池总造价为元根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3y=4800，因此y=1600由基本不等式与不等式的性质,可得当=y,即=y=40时,等号成立

所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元即：2、已知则y的最大值是。1、当>0时，的最小值为，此时=。213、求函数的最小值练习1两个不等式（1）（2）当且仅当a=b时，等号成立注意：1两公式条件，前者要求a,b为