高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册1 3空间向量及其运算的坐标表示 练习

1.3空间向量及其运算的坐标表示一、单选题1．已知向量，，，则向量的坐标为（

）.A． B． C． D．2．已知向量，，则（

）A．50 B．14 C． D．3．已知，若，则的值为（

）A． B．2 C．6 D．84．已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（

）A． B．或 C． D．或5．若平面，的法向量分别为，，则A． B．与相交但不垂直C． D．或与重合6．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内，则实数x的值为（

）A．1 B． C．0 D．7．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（

）A．1 B．2 C． D．8．已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（

）A． B． C． D．9．已知，，则（

）A． B．C． D．10．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则线段的长度的最大值为（

）A． B． C． D．311．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（

）A． B．C． D．12．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题13．设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则实数m的值为______．14．在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________.15．已知，若与垂直，则___________.16．已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是_________.三、解答题17．如图，在长方体中，M是AC与BD的交点．若，，，求的长．18．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.（1）求的长；（2）求与所成角的余弦值.19．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．（1）求的模；（2）求cos〈，〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M.20．已知向量，.（1）计算和；（2）求.21．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段上.（1）当，且点关于轴的对称点为点时，求的长度；（2）当点是面对角线的中点，点在面对角线上运动时，探究的最小值.参考答案：1．A根据空间向量线性运算的坐标表示计算，【详解】向量，，，则向量，故选：A.【点睛】本题考查空间向量线性运算的坐标表示，属于基础题．2．C根据空间向量运算的坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为向量，，所以.故选：C【点睛】本题考查了空间向量数乘运算、加法运算、模的坐标表示公式，考查了数学运算能力.3．C根据向量垂直的性质计算得到答案.【详解】，，则，解得.故选：C.4．B根据数量积运算，结合的正负，求解对应的两个夹角.【详解】解得，代入得，又向量夹角范围：故的夹角为，则与的夹角，当时为；时为.故选：B.【点睛】本题考查空间向量的数量积，以及向量夹角的求解，属基础题.5．A可判断两个平面的法向量共线，根据法向量平行可知两平面平行．【详解】解：因为平面，的法向量分别为，即，所以所以故选：A【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题．6．A先由点的坐标确定三个向量，，，再根据三点在平面ABC内，则有成立求解.【详解】因为，，，所以，，因为空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内所以设，则有.解得故选：A【点睛】本题主要考查了四点共面问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．B直接由空间向量的夹角公式计算即可【详解】，，，，由题意有即，整理得，解得故选：B8．C设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解.【详解】设，由点在直线上，可得存在实数使得，即，可得,所以,则，根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.9．C利用空间向量的坐标运算即可求解.【详解】因为，，所以，故选：C.10．D以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长度的最大值．【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则（0，0，2），E（1，2，0），（2，2，2），＝（a−2，b−2，−2），＝（1，2，−2），∵P⊥E，，∴a＋2b−2＝0，∴点P的轨迹是一条线段，，由二次函数的性质可得当时，可取到最大值9，∴线段P的长度的最大值为3．故选：D．【点睛】本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．A如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，正方形的边长为，求出，的坐标，利用可得与的关系，即可求解.【详解】如图，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为，，则，，，，则，．由，得，所以点在正方形内的轨迹为一条线段，故选：A．12．C建立空间直角坐标系，【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.设正方体的棱长为1，则有∴，∴设，∴，，由图知不是平角，∴为钝角等价于，∴，∴，解得∴的取值范围是故选：C.13．##－0.5两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，两向量垂直，其数量积为零﹒【详解】∵，∴，∴．故答案为：﹒14．先根据点的坐标得到，的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出的值即可.【详解】由题意，所以，解得.故答案为：15．##由向量垂直可得，即可求出.【详解】因为，所以，，因为与垂直，所以，解得.故答案为：.16．在平面PBC内过点P作Pz⊥PC，再建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式探求出点T的轨迹即可得解.【详解】因，则平面PBC，在平面PBC内过点P作Pz⊥PC，则Pz⊥平面PAC以点P为原点，射线PA，PC，Pz分别为x，y，z轴非负轴建立空间直角坐标系，如图：因，则有，设，，则的中点，连BG并延长交AC于点D，因G(m，n，p)是的重心，则D是BC中点，且，而,，，则，即，因，即，则，即，所以点T的轨迹是以P为球心，为半径的球面在三棱锥内的部分(含边界)，而，点G在上述轨迹外，且线段GP与上述轨迹必相交，所以故答案为：【点睛】结论点睛：在空间，球面外一点M与球面上点的距离最小值为点M到球心距离减去球半径；球面外一点M与球面上点的距离最大值为点M到球心距离加上球半径.17．以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则所以，所以即的长为.18．（1）；（2）.以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.（1）利用空间中两点间的距离公式可求得的长；（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.【详解】如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.（1）依题意得、，因此，，因此，线段的长为；（2）依题意得、、、，，，所以，，故与所成角的余弦值为.19．（1）；（2）；（3）证明见解析.（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；（2）利用坐标运算计算cos〈，〉的值；（3）通过计算·＝0可得答案.【详解】（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴＝＝.（2）由题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，·＝3，||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.（3）由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥，即A1B⊥C1M.20．（1），；（2）.（1）利用空间向量的坐标运算可求得的坐标，利用向量的模长公式可求得的值；（2）计算出，结合的取值范围可求得结果.【详解】（1），；（2），，因此，.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量的数量积计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.21．（1）（2）（1）以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，推导出，，由此能求出．（2）当点是面对角线中点时，点，点在