中学数学课程教学改革问题

中学数学课程、教材改革人民教育出版社章建跃hangjy@01058758320一、几个基本观点1．坚持我国数学教育的优良传统课程教材体系结构严谨，逻辑性强，语言叙述条理清晰，文字简洁、流畅，有利于教师组织教学，注重对学生进行基础训练等；教学强调概念理解和基本技能训练，强调为学生铺设合理的认知台阶，强调变式训练等；学生学习刻苦，基础扎实，运算能力和逻辑推理能力强等。2针对问题进行改革数学教学“不自然”，强加于人；缺乏问题意识；重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”；重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；讲逻辑而不讲思想。3．处理好数学课改中的各种矛盾关系，把握平衡不走极端而到达光辉顶点学生主体与教师主导接受学习与发现学习基础与创新数学知识、能力与情感态度数学化与情境化（直观与逻辑、具体与抽象等）独立思考与合作交流过程与结果面向全体与因材施教书本知识与数学应用……二、改革的几个重点问题1．亲和力问题呈现方式：自然亲切，生动活泼，激发兴趣和美感，引发学习激情。数学的内在吸引力：在体现知识归纳概括过程中的数学思想、解决各种问题中数学的力量、数学探究和论证方法的优美和精彩之处、数学的科学和文化价值等方面，引发学生的积极体验。2．加强“问题性”——问题引导学习问题引导学习应当成为基本的数学教学原则通过恰当的、对学生思维有适度启发性的问题，引导学生的思考和探索，经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维基本过程，切实改进学生的学习方式，培养问题意识，孕育创新精神。好问题的标准“跳一跳能够摘到的果子”反映当前教学内容的本质；“度”——似会非会，感到能解决但又不能轻易解决，经过适度努力能够解决。案例一：三角函数诱导公式的推导你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？α的终边、α180°的终边与单位圆交点有什么关系？你能得出sinα与sin（α180°）之间的关系吗？我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？问题情境三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系。圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径为对称轴的轴对称图形。你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论一下终边与角α的终边关于原点、轴、y轴以及直线y=对称的角与角α的关系以及它们的三角函数之间的关系？3．提高思想性加强过程与联系，以数学概念的发展过程、逻辑关系组织教学内容，保持思想方法的前后一致性；以核心概念和基本思想（数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）为贯穿教学过程的“灵魂”。4．加强结构性联系性结构良好的教学内容的特点核心知识（基本概念及由内容所反映的数学思想方法）为联结点，精中求简，易学、好懂、能懂、会用，能切实减轻学生负担；形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索；具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。“结构性”的几个具体要求（1）教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力于核心内容。（2）教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进。由浅入深，由易到难，先简后繁，先单一后综合。（3）每堂课都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致性。易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式的巩固和提高。（4）强调科学思考方法的应用推广

类比当前内容类比

特殊化案例二三角函数中的结构思想定义：任意角与单位圆的交点为P，y，则=cos，y=sin，对应关系明确，函数的意义直观而具体；三角函数性质：正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述，例如（1）P，y在单位圆上||≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为；（2）|OP|2=sin2cos2=1；（3）对于圆心的中心对称性sinπ=－sin，cosπ=－cos；（4）对于轴的轴对称性sin－=－sin，cos－=cos；（5）对于y轴的轴对称性sinπ－=sin，cosπ－=－cos；（6）对于直线y=的轴对称性sin－=cos，cos－=sin；（7）sin的单调性：－0πy：－1010－1（8）圆的旋转对称性：和（差）角公式圆的反射对称性：和（差）化积公式三、大纲教材课标教材的比较指导思想课标教材模块化，螺旋上升，关注学生学习心理，基础性，选择性，多样性大纲教材系统性，逻辑性，关注知识体系的合理性，基础性案例三一元二次不等式的位置大纲教材在集合与简易逻辑中，为集合运算、求定义域和值域准备工具课标教材在数学五中，从不等关系是客观事物的基本数量关系角度，作为刻画不等关系的工具之一，强调不等式、方程及函数之间的联系。集合是一种数学语言；求复杂的定义域、值域是“双基的异化”案例四立体几何教材结构的处理1从整体到局部、具体到抽象与老教材立体几何内容体系相比，本模块立体几何的内容体系结构有重大调整。第九章直线、平面、简单几何体空间直线和平面9．1平面9．2空间直线9．3直线、平面平行的判定和性质9．4直线、平面垂直的判定和性质9．5两个平面平行的判定和性质9．6两个平面垂直的判定和性质全日制普通高级中学教科书（实验修订本必修）、简单几何体97棱柱98棱锥研究性学习课题：多面体欧拉公式的发现99球小结与复习全日制普通高级中学教科书（实验修订本必修）优缺点比较大纲教材优点——从点、线、面到几何体，按公理化体系，按知识的逻辑关系安排内容，结构严谨，“数学味”浓厚缺点——与学生的认知规律、思维方式有矛盾，是造成学立体几何困难的原因之一课标教材从空间几何体整体认识到点、直线和平面位置及其度量的认识优点——关注学生思维过程，为合情推理到逻辑推理过渡创造条件；体现从具体到抽象的认识规律。缺点——逻辑性的减弱。2强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想“采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。”在立体几何学习中，经历合情推理——演绎推理过程。通过对事物、模型、图片等的操作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的结构特征，认识空间点、线、面的位置关系，用数学语言表达平行、垂直的性质与判定，并能进行证明。不是不要证明，而是完善过程。既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。把握立体几何教学的变化：几何教育功能的全面性，即从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与逻辑推理并重。3螺旋上升，分层递进，逐步到位。第一步对几何体的认识依赖于直观感受，不作严格推理论证要求。第二步合情推理以长方体为主要载体，对图形进行观察、操作、实验，适当地进行说理训练。第三步严格的推理证明如线面平行、垂直的性质定理的证明。第四步用空间向量为工具进行研究代数方法研究立体几何（选修系列2）以“直观感知、操作确认”为主要认知方式的课怎样上？数学思维的要求如何体现？要点：（1）提供典型例证；（2）给学生以如何描述“几何特征”的指导；（3）让学生自己概括几何特征。案例五概率与计数原理的位置概率的核心：了解随机现象和概率的意义过去的概率课，把重点放在用排列组合计算古典概率上，而忽略了对概率本身的理解。学生学完后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。在现在的标准中，更强调对随机现象的认识。古典概型中应关注的问题特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确切描述。例如：把2个球放入2个盒中，每盒放球数不限。当球、盒都可以分辨时，有四种结果；当球不可分辨而盒可以分辨时，有三种结果；当球、盒都不可分辨时，只有两种结果。如果出现的结果是等可能的，就得到三种不同的古典概率模型。它们没有对错之分。同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决。例扔一个均匀的骰子，求“出现偶数点”的概率。在古典概率的问题中，关键是要给出正确的模型。一题多解体现的恰是多个模型。四、初高中衔接问题主要问题：（1）初中内容的不适当删减、降低要求，导致学生“双基”无法达到高中教学要求；（2）初中不适当地“抢戏”，导致“夹生饭”、“注入式”教学（学生思维能力达不到要求）；（3）高中不顾学生的基础，任意拔高教学要求，繁琐的、高难度的运算充斥课堂。初高中不衔接内容举例删除的内容1．立方和公式与立方差公式2．因式分解中的十字相乘法、分组分解法3．含有字母的方程4．三元一次方程组5．根式的分母有理化、最简根式,根式化简6．画频率分布直方图7．可化为一元二次方程的分式方程只要求化为一元一次方程的分式方程，分式乘方8．无理方程9．高次方程10．二元二次方程组11．一元二次不等式12．一元二次方程根的判别式13．韦达定理14．换元法15．平行线等分线段定理，平行的传递性16．平行线分线段成比例定理，梯形中位线（教材中有但中考不考）17．截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理18．空间直线、平面的位置关系19．圆内接四边形的性质20．轨迹定义21．圆的有关定理：垂径定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理22．相切作图，正多边形的有关计算，等分圆周，三角形的内切圆23．三角函数中的同角三角函数的基本关系式降低要求的内容1．有理数混合运算强调最多三步，学生习惯性使用计算器，笔算、口算、心算能力弱；2．多项式相乘仅要求一次式相乘，无除法；3．因式分解只要求提取公因式法、公式法（平方差、完全平方），直接用公式法不超过两次；4．根式的运算要求低；5．绝对值符号内不能含有字母；6．配方法要求低，只在解一元二次方程中有简单的要求，而在二次函数中也不要求用配方法，求顶点、最值，只要求用公式求，且又不要求记忆公式和推导（中考试卷中会给出公式）；7．几何中大大减少定理的数量，删除繁难的几何证明，淡化几何证明的技巧；8．反证法，初中只要求通过实例，体会反证法的含义，了解即可；9．辅助线，中考只要求添加一条辅助线。五、新教材实施中应注意的问题1．认真领会课标、教材的精神数学教育功能的全面性；正确认识和处理教学中的师生关系，发挥学生的主体作用、激发学生主动学习；改进教学方式和学习方式，例如重视教学情景创设，强调学生的自主探究、合作交流；注重数学与现实的联系，强调数学应用；等。对于教材改革的指导思想的理解：亲和力、问题性、思想性、联系性理解有待进一步加深。例如：改革思想和内容的理解需要进一步落实；教学中，擅自增加、调整内容，提高教学要求，用题海训练代替数学教学，大量增加课时等现象还比较严重，缺乏提高课堂教学质量和效率的根本办法。2．教学目标的准确、具体、有用准确：要准确地反映“课标”的要求具体：要用可操作性语言，对“了解”“理解”“掌握”“灵活应用”等做出具体界定实用，要阐述清楚经过教学后学生的变化教学目标的制定反映了教师对数学、教材以及学生的理解的整体水平，是教学水平的集中体现。那种“一步到位”的教学目标显然不符合要求，也是教学水平不高的表现。案例六教学目标的陈述例1掌握一元二次方程根的判别式。——对“掌握”的内涵作具体界定。重要概念要考虑作适当分解：（1）在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，掌握判别式的结构和作用；（2）能用判别式判断一个一元二次方程是否有解；（3）能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解；（4）能灵活应用判别式解决其他情境中的问题。例2理解函数单调性概念。这一陈述中，需要对“理解”的含义作具体界定，以使我们能准确把握学生是否已经达到“理解”。实际上，“理解”的基本含义是学生能用概念作出判断。因此可以改述为：能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征；能用函数单调性定义判断一个函数的单调性。要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。例如，一堂课的目标中含有：培养学生的数学思维能力和科学的思维方式；培养学生勇于探索、创新的个性品质；体验数学的魅力，激发爱国主义热情；等等。3．教学方法的多样、适切、灵活多样、灵活：课堂教学中应当根据教学进程的需要，恰当选择和灵活调整教学方法；适切：教学方法要为学生的数学认知活动服务，适合内容的特点和学生的思维需要。教学方法改革核心是如何在接受式学习中融入问题解决的成分，使启发式讲授教学与活动式教学有机结合。当前值得重点考虑问题：如何使活动式教学真正有成效，如何设法在学生学习中融入问题解决的成分。这就要考虑：什么样的活动是有效的？什么样的交流才是真正的数学交流？什么样的探究才是真正的数学探究？有效的“活动”“探究”“问题解决”等，主要看学生思维的参与度，要让学生真正通过自己实质性的思维活动获取数学知识、方法和数学思想，并逐渐发展数学能力4．教学过程有效、开放、重点突出有效：通过教学能确保达成教学目标，保证课堂教学的效率和效果。开放：学生有广阔、独立的数学思维空间，有机会经过自己的独立思考获得对数学知识的理解。重点突出：教学要抓住数学核心概念和思想方法。5．问题要有意义、适度、恰时恰点有意义：问题要反映当前学习内容的本质；适度：提问要把握好“度”，使学生处于“跳一跳摘果子”的状态；恰时恰点：要在学生处于思维困惑时提出问题，使问题能够启发和引导学生的数学思维活动。构建恰时恰点的问题（系列）是有效教学的基本线索，“问题引导学习”应是教学的一条基本原则怎样的情境才是教学情境强调“生活情境”，人为制造情境，特别是与当前学习任务没有太大关系的情境较多。例：讲椭圆概念时，要用“神舟五号”的太空飞行图，而且问学生“飞行路线是什么？”有效的教学情境是与当前学习任务相关的、能反映当前学习内容本质的。六、课堂教学的几个关键1三个基本点理解数学——对数学的思想、方法及其精神的理解；理解学生——对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律；理解教学——对数学教学规律、特点的理解。2两个关键提好的问题——在学生思维最近发展区内，有意义；设计自然的过程——数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。案例七“不等式基本性质”中的提问不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。你能回忆一下等式的基本性质吗？考察等式的基本性质的基本思想是什么？（“运算中的不变性”）类似的，不等式有哪些基本性质呢？过程——抽象与具体、特殊与一般的关系抽象是数学的一个公认的、最显著的特点数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含了本质从具体中可以进行多次抽象可以从不同的角度进行抽象特殊化能使一般的性质得到最明显的表征案例八正、余弦定理的推导三角形有各种几何量，如三边长、三个内角的角度、面积、外经、内径等。“解三角形”就是给定三角形的若干几何量，求其余