四川省资阳市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题

资阳市2022-2023学年度高中二年级第一学期期末质量监测理科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并认真校准条形码上的考号、姓名等信息，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在区间随机取一个数，则取到的满足的概率为（）A． B． C． D．2．椭圆的焦点坐标为（）A． B． C． D．3．某公司有职工340人，其中男职工180人，用分层抽样的方法从该公司全体职工中抽取一个容量为68的样本，则此样本中男职工人数为（）A．40 B．36 C．34 D．324．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆的方程是（）A． B．C． D．5．已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（）A．， B．，C．， D．，6．已知过原点的直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（）A．6 B． C． D．7．设为直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则8．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．133 B．85 C．70 D．509．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度．某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水．根据该同学的说法，若有一个如图①所示圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口的距离为2，若按图②的方式盛水，木桶倾斜到与水平面成60°时，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，并形成一个椭圆水面，且为椭圆的长轴，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．10．某四面体的三视图如右图所示（3个三角形都是直角边为1的等腰直角三角形），则该四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．11．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（）A． B．5 C．10 D．1112．如图，已知正方体的棱长为2，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（）A．5 B．6 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题“”的否定是________．14．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为4，则与侧面所成角的正弦值为________．15．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率（单位：次数/分钟）与气温（单位：）有较强的线性相关关系．某同学在当地通过观测，得到如下数据，并利用最小二乘法建立了关于的线性回归方程．当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为________．（次数/分钟）243640602628.63035.416．已知曲线的方程是，给出下列四个结论：①曲线与坐标轴至少有一个公共点；②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；③若点P，Q在曲线上，则无最大值；④曲线围成图形的面积为．其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知．（1）求证：是关于的方程有解的一个充分条件；（2）当时，求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件．18．（12分）某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级1500名学生中随机抽取了40名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于10至60（单位：分钟）之间．现将数据分组，并制成如图所示的频率分布直方图．为了研究的方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于50分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习《生涯规划》读本时间小于20分钟的学生称为“泛生涯生”．（1）求图中a的值，并估计该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值；（2）用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？（3）从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选2名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的差不超过10分钟的概率．19．（12分）已知的圆心为坐标原点，上的点到直线的距离的最小值为1．（1）求的方程；（2）过点作的两条切线，切点分别为A，B．求直线的方程．20．（12分）如图，四棱锥，平面，为等边三角形，，B，D位于的异侧，．（1）若，求证：平面平面；（2）若二面角的余弦为，求的长．21．（12分）如图，多面体是将一个平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，点为三角形的重心．四边形是边长为1的正方形，且，．（1）求证：；（2）求线段的长；（3）求异面直线与所成角的余弦值．22．（12分）已知椭圆经过三点，，中的两点．（1）求的方程；（2）过的右焦点的直线与交于两点，在直线上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．资阳市2022-2023学年度高中二年级第一学期期末质量监测理科数学参考答案和评分意见评分说明：1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1－5：BCBAD；6-10：DCBCA；11－12：DC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（或填）14．15．3316．②③三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）当时，，显然有解，故结论得证．（2）当，是开口向上的二次函数，因为方程有一个正根和一个负根，所以，即．反之，当时，，且，所以有一个正根和一个负根，满足条件．所以，当，方程有一个正根和一个负根的充要条件为．18．（12分）（1）由直方图可得，解得；由直方图可得样本均值为：，所以，该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值为34.5．（2）由频率分布直方图可知，样本“精生涯生”的频率为0.1，所以估计该年级学生中“精生涯生”的数量为（人），该年级学生中“泛生涯生”的数量为（人）．（3）在这40名学生样本中有2名“泛生涯生”，分别记为，；有4名“精生涯生”，分别记为，，，．从这6人中选取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15个．这两名学生一周学习《生涯规划》的学习时间差不超过10分钟所含的基本事件为，，，，，，共7个，故所求概率．19．（12分）（1）由题，的圆心到直线距离为，设的半径为，则上的点到直线距离的最小值为，由，解得，所以，的方程为．（2）方法1：设切点，，由题知，切线，斜率存在，且均不为0，直线的斜率为，则切线斜率为，所以，切线方程为，化简得，切线的方程为：，同理，切线的方程为：，由于切线，均过点，所以，，，所以，切点，在直线上，所以，直线的方程为．方法2：设切点，，经过切点A，B的直线可以看作是以为直径的圆与的公共弦所在的直线．以为直径的圆的圆心为，又，则以为直径的圆的半径为，所以，以为直径的圆的方程为：，即，与的方程联立，得到，所以，直线的方程为．20．（12分）（1）证明：因为，所以四边形为平行四边形，又为等边三角形，可得，四边形为菱形，所以，因为平面，所以，所以平面，又平面，所以，平面平面．（2）取的中点，易知两两垂直，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系．设的长度为，则，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则由得令，得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则由得令，得平面的一个法向量为，由，解得，即满足题意．21．（12分）由题，设，则，．所以．（1）证明：因为，所以，所以．（2）可得，，所以，线段的长为．（3）设异面直线与所成的角为，因为，，所以，，则，所以，异面直线与所成角的余弦值为．【说明】本题也可以建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算解决．参考上述解答评分．22．（12分）（1）方法1：根据椭圆的对称性，椭圆只能经过和这两点，则，，此时，椭圆的方程为．方法2：若经过，，则，且，此时无解；若经过，，则，且，此时，与椭圆这一条件不符，不合题意；若经过，，则，，此时，椭圆的方程为．（2）假设在直线上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形．①当的斜率不存在时，只有当点为，才满足以为底边的等腰三角形，此时不妨取，，显然与不垂直，则不是等腰直角三角形．此时，不