专题02 几何压轴题专训二-备战2022年中考数学几何满分真题汇编(全国通用)(解析版)

专题02几何压轴题专训二（2021•福建）如图，在正方形ABCD中，E,F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A，，AA的延长线交BC于点G.（1）求证：DE//AF；（2）求ZGA'B的大小；（3）求证：AC=2AB.【答案••.ZGA见解析（2=45。（3）见解析【详解】证明：（1）如图，设AG与DE的交点为O，连接GF点A关于DE的对称点为AAO=A'O，AA丄DE■:E，F为边AB上的两个三等分点，•••AE=EF=BF.DE//AF；(2)AA'丄DEZAOE=90。=ZDAE=ZABGZADE+ZDEA=90。=ZDEA+ZEAO

.••ZADE=ZEAO在AADE和ABAG中,ZADE=ZEAO<AD=ABZDAE=ZABG=90。.AADE=ABAG(ASA)AE=BGBF=BG:.ZGFB=ZFGB=45。•.•ZFA'G=ZFBG=90。.点F,点B,点G,点A四点共圆,.••ZGAB=ZGFB=45。(3)设AE=EF=BF=BG=a.AD=BC=3a,FG=、•；2a,/.CG=2a,在RtAADE中，DE=\AD2+AE2=s9a2+a2=、：10a=AGTsinZEAO=sinZADEOE=AEAE~DEOEaa\10aOE=虫aa210a2.・AO=、；AE2.・AO=、；AE2—OE2==AO—=a1010•••A'G=迈a5•/AO=A'O,AE=EF...A'F=河a=迈a105•.•ZFA'G=ZFBG=90。.••ZA'FB+ZA'GB=180。•••ZA'GC+ZA'GB=180。.••ZA'FB=ZA'GCBF==AG2CG△A'FBs△A'GCAC=2A'B2.(2021•陕西)问题提出如图1,在口ABCD中，ZA=45。,AB=8,AD=6,E是AD的中点，点F在DC上，且DF=5,求四边形ABFE的面积.(结果保留根号)问题解决某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上,且满足BO=2AN=2CP，AM=OC.已知五边形ABCDE中，ZA=ZB=ZC=90。，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN?若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由.图1團2

.••ZADH二ZBAD=45°在RtAADH中，AD=6AH=AD-sinZBAD=6xsin45°=3、込•DE=2AD=3同理EG=芈•••DF=5FC=CD-DF=3•・S=S•・S=S口—S—S四边形ABFEABCDADEFABFC=8x3^2—1x5x症—22((2)存在，如图2,分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，AK=BC=1200米,AB=CK=800米,设AN=x米，则PC=x米，BO=2x米，BN=(800—x)米，AM=OC=(1200—2x)米，MK=AK—AM=1200—(1200—2x)=2x米,PK=CK—CP=(800—x)米,S=S—S—S—S—S四边形OPMN矩形ABCKAAMNABONAOCPAPKM=800x1200—1x(1200—2x)—1-2x(800—x)—1x(1200—2x)—1-2x(800—x)2222=4(x—350)2+470000当x=350时，S=470000(平方米)，四边形OPMN最小AM=1200—2x=1200—2x350=500<900,CP=x=350<600符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米.BE1（2021•广州）如图，在菱形ABCD中，ZDAB=60。,AB=2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF=AE，且CF、F，使AF=AE，且CF、DE相交于点G.DC,6GAFAE3备用團（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形;（2）当CG=2时，求AE的长;（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度.【答案】（1）见解析（2）AE――（3）"3【详解】解：（1）证明：连接DF【详解】解：（1）证明：连接DF，CE，如图所示:CGE'：E为AB中点，AE—AF—1AB2EF—AB—CD四边形ABCD是菱形,.EF//AB//CD，.四边形DFEC是平行四边形.（2）作CH丄BH，设AE—FA—m，如图所示,CD//EFCDgbFEGCDEF.=CGFGFG=2m在RtACBH中,ZCBH=60。，BC=2sin60。=CH,CH*3BCcos60o=BH,BH=1BC在RtACFH中，CF=2+2m,CH二込,FH=3+mCF2=CH2+FH2即(2+2m)2=(*3)2+(3+m)2整理得：3m2+2m-8=0解得：m=—,m=-2(舍去),1324.AE=3(3)G点轨迹为线段AG，证明：如图，c匚4E（此图仅作为证明c匚4E（此图仅作为证明AG轨迹用）,延长线段AG父CD于H，作HM丄AB于M，作DN丄AB于N-四边形ABCD是菱形，BF//CDDHGs'EGA，AHGCsAAGFAEAGAFAG=，=一DHHGHCHGAE_AFDH_CH■:AE_AF.DH_CH_1，在RtAADF中，AD_2，ZDAB_60。sin60o_DN，DN二、3.cos60。_AN，AN_1ADAD在RtAAHM中，HM_DN_\3，AM_AN+NM_AN+DH_2tan上HAM_—2g点轨迹为线段AGg点轨迹是线段AGT四边形ABCD为菱形，ZDAB_60。，AB_2

CD//BF,BD=2CD3NFBGCD唸CD唸，即BG=2DG'BF•.•BG+DG=BD•.•BG+DG=BD=2BG=43在RtAGHB中,sin60。=BG4BG=-,ZDBA=60。3GH=^33cos60。=cos60。=BH,BGbh=3在Rt在RtAAHG中,42^3AH=2——=—,GH=——33AG2=28AG2=28,9•••AG=竝3•••G点路径长度为宁解法二：如图，连接AG，延长AG交CD于点WCD//BF解法二：如图，连接AG，延长AG交CD于点WCD//BFFAAGCW一GWAEGWDWAGFAAECWDW•.•AF=AEDW=CW.点G在AW上运动．下面的解法同上．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角AAEF,ZAFE=90。,连接CE,H为CE中点，连接BH、BF、HF，发现竺和ZHBF为定值.BH（1）①竺=—;BHZHBF=；小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了OH和BA的关系，请你按他的思路证明①AFBO②.（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，BD=空=k,ADFAZBDA=ZEAF=0（0°<0<90。）.求①HD=—；（用k的代数式表示）②hd=—•（用k、°的代数式表示）DH3E0②hd=—•（用k、°的代数式表示）DH3E0'FFD迟A@102【答案】（1）①后，②停‘③见解析⑵①hd=DO=I；②DH=七9【详解】解:①后；②45°③由正方形的性质得：坐=、•2，O为AC的中点,BO又•••H为CE的中点，OH//AE，OH=1AE2•••AAEF是等腰直角三角形，AE=€2AFAFOH•••OH//AE•ZCOH=ZCAE

.••ZBOH=ZBAFBOHsABAFBF.八2,ZHBO=ZFBABH.ZHBF=ZHBO+ZDBF=ZDBA=45。（2）①如图2,连接AC交BD于点O，连接OH（2）①如图2,连接AC交BD于点O，连接OHDHBHEZ)BAASi02由（1）中③问同理可证：ADOHsADAFFD_AD_2HD~DO~k②由①知：ADOHsADAF.ZHDO_ZFDA，.••ZHDF_ZBDA_9在A在AHDF中，FDHD设DF_2t，HD_kt，作HM丄DF于MHM_DHxsin0_ktsin0,DM_ktcos0MF_DF-DM_(2-kcos0)t在RtAHMF中，由勾股定理得：HF_txk2一4kcos0+4FHJk2一4kcos0+4"DH~k（2021•徐州）如图1,正方形ABCD的边长为4,点P在边AD上（P不与A、D重合），连接PB、PC.将线段PB绕点P顺时针旋转90。得到PE,将线段PC绕点P逆时针旋转90。得到PF,连接EF、EA、FD.（1）求证：APDF的面积S=-PD2；2EA=FD；(2)如图2,EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围.EFD5S102EFD5S102【答案】（1）见解析（2）4WMN<2<5【详解】（1）证明：如图1,作FG丄AD，交AD的延长线于点G，作EH丄AD，交DA的延长线于点H.由旋转得，PF=CP，ZCPF=90。四边形ABCD是正方形，.••ZPDC=90。•.•ZFPG+ZDPC=90。，ZPCD+ZDPC=90。.ZFPG=ZPCD•.•ZG=ZPDC=90。.AFPG=APCD（AAS）FG=PD:.APDF的面积S=1PD-FG=1PD222由①得，AFPG=APCDPD=FG，PG=CD=4同理，AEPH=APBA:.EH=AP，PH=BA=4•.•AH=4—AP=PD:.AH=FG•.•AP=4—PD=DGEH=DG•.•ZH=ZG=90。

EAH=ADFG(SAS)•••EA=FD(2)如图2,在图1的基础上，作FL丄EH于点L，则ZFLE=ZFLH=90。四边形HLFG是矩形，LH=FG=AH,FL=GH=4+4=8•.•EH=PA,AH=PD:.EH+AH=PA+PD=AD=4设PD=m,EL=n,(m>0,n》0),则LH=AH=m•.n=4-2m•/EF2=EL+FL=n2+82=n+64•EF=\:n2+64:.EF随n的增大而增大；由n=4-2m可知，n随m的增大而减小,当m=2当m=2时，n最小=0，此时,EF最尸64=8若m=0，则n最大=4，此时'EF=丫42+82=4*5最大•点P不与点A、•点P不与点A、D重合,.m>0，.•n<4,EF<4q5•••EF的取值范围是8WEF<4^54W1EF<2*52tZADM=ZGDF=ZHEA,ZDAM=ZHAE•ZADM+ZDAM=ZHEA+ZHAE=90。.ZEMF=90。；•••N是EF的中点,MN=1EF2•••MN的取值范围是4WMN<2\・：5图［（2021•嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转a（0。＜a£90。），得到矩形ABCD，连结BD.图［［探究1］如图1,当a=90。时，点C恰好在DB延长线上.若AB=1，求BC的长.［探究2］如图2,连结AC，过点D作DM//AC交BD于点M.线段DM与DM相等吗？请说明理由.（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.［探究3］在探究2的条件下，射线DB分别交AD（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.【答案】[探究1]BC=上15[探究2]DM=DM[探究3]MN2=PN-DN2【详解】解：［探究1］如图1,设BC=x

点A,B,D在一条线上,AD'=AD=BC=x,D'C'=AB'=AB点A,B,D在一条线上,AD'=AD=BC=x,D'C'=AB'=AB=1D'B=AD'-AB=x-1tZBAD=ZD'=90。.DC//DA，又「点C'在DB的延长线上,.△D'C'BsAADBADABx-1解得不合题意，舍去），.BC=[探究2]DM=DM．证明：如图2，连接DD，ccIfBD02•:D'M//AC'.••ZAD'M=ZD'AC'•.•AD'=AD,ZAD'C'=ZDAB=90。，D'C'=AB△ACD=ADBA(SAS):上D'AC'二ZADB:.ZADB=ZAD'M•.•AD'=AD:.ZADD'=ZAD'D：ZMDD'=ZMD'D:D'M=DM［探究3］关系式为MN2=PN-DN证明：如图3连接AM•：D'M=DM,AD'=AD,AM=AM:△AD'M=AADM(SSS):ZMAD'=ZMAD•：ZAMN=ZMAD+ZNDA,ZNAM=ZMAD'+ZNAP:.ZAMN=ZNAM:MN=AN在ANAP和ANDA中,ZANP=ZDNA,ZNAP=ZNDA:.ANPA^ANADPNAN•"AN_DN：.AN2=PN-DN：.MN2=PN-DN(2021•绍兴)如图,矩形ABCD中,AB=4,点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点,ZADB=30。.连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.若EF丄BD，求DF的长；

（2）若PE丄BD，求DF的长；（3）直线PE交BD于点Q，若ADEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围.【答案】（1）3（2）2或6（3）2<DF<6-2、汽或6<DFW8【详解】解：（1）丁点D、点P关于直线EF的对称，EF丄BD点P在BD上,BC■■-四边形ABCD是矩形，.••ZBAD=90。•.•AB=4，ZADB=30。..AD=4、-：3，■■■点E是边AD的中点，DE=2*3•.•EF丄BD.DF=3；（2）①如图2，•.•PE丄BD，ZADB=30。.ZPED=60。，由对称可得，EF平分ZPED.••ZDEF=ZPEF=30。•••△DEF是等腰三角形，•••DF=EF•.•PE丄BD,ZADB=30。.DE=2、3QE二、3•.•ZPEF=30。•••EF=2DF=EF=2②如图3,•.•PE丄BD,ZADB=30。ZPED=120。由对称可得，PF=DF,EP=ED,EF平分ZPEDZDEF=ZPEF=120。ZEFD=30。△DEF是等腰三角形，•.•PE丄BD...QD=QF=1DF•.•PE丄BD,ZADB=30。.DE=2、3QE八3,QD=3DF=2QD=6DF的长为2或6；（3）由（2）得，当ZDQE=90。时，DF=2（如图2）或6（如图3）当ZDEQ=90。时，第一种情况，如图4，•：EF平分ZPED:.ZDEF=45。过点F作FM丄AD于点M，设EM=a，则FM=a,DM=、3a:.P3a+a=2\:3a=3—<3，DF=6—2订3，2<DF<6—2氏第二种情况，如图5，•.•EF平分ZAEQ•ZMEF=45。，过点F作FM丄AD于点M，设EM=a，则FM=a，DM=丫3a•<3a—a=2\3:.a=3+\：3，DF=6+2\3"•*6+2、3〉8：DF最大值为8，:6<DFW8

综上，DF长的取值范围为2<DF<6-2"3或6<DFW8(2021•宁波)【证明体验】如图1,AD为AABC的角平分线，ZADC=60。，点E在AB上,AE=AC.求证：DE平分ZADB.思考探究】如图2,在(1)的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G.若FB=FC，DG=2，CD=3,求BD的长.【拓展延伸】(3)如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分ZBAD，ZBCA=2ZDCA点E在(3)如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分ZBAD，ZBCA=2ZDCA点E在AC上，ZEDC=ZABC.若BC=5，CD=2x5，AD=2AE，求AC的长.ADBCBCDCSi02@3C碍3x4=罟【答案：ABD【详解】(1)证明：如图1,•••AD平分ZBAC.••ZEAD=ZCAD•.•AE=AC，AD=ADEAD=ACAD(SAS).••ZADE二ZADC=60。ZBDE=180。—ZADE—ZADC=180。-60。—60。=60。•••ZBDE二ZADE•••DE平分ZADB(2)如图2,TFB=FC•ZEBD=ZGCD•.•ZBDE=ZCDG=60。•ABDEsACDG

BDDE;…CD~DG•••△E4D=ACADDE=CD=3•.•DG=2BD二CDBD二CD2DG329(3)如图3,在AB上取一点F，使AF=AD，连结(3)如图3,在AB上取一点F，使AF=AD，连结CFAC平分ZBAD.••ZFAC=ZDAC•.•AC=AC.AAFC仝AADC(SAS)CF=CD,ZFCA=ZDCA,ZAFC=ZADCZFCA+ZBCF=ZBCA=2ZDCA:.ZDCA=ZBCF即ZDCE=ZBCFZEDC=ZABC，即ZEDC=ZFBC:.ADCEsABCFCE,ZDEC二ZBFCBCCFCD•.•BC=5,CF=CD=2、5CD2(2^5)2ZAED+ZDEC=180。,ZAFC+ZBFC=180。.••ZAED=ZAFC=ZADCZEAD=ZDAC(公共角)，.AEADsADAC，AEAD1.二二,ADAC2AC=2AD,AD=2AE416AC=4AE=-CE=-x4=—333團①團②备用團答案】(1)CFBG八2(2)BE=2MN宀“12(3)加【详解】解：（1）如图①，连接AF,AC■:四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,AC八2AB,AF八2AGZCAB=ZGAF=45。,ZBAD=90。.••ZCAF=ZBAGAC_AFAB~AGCAF^ABAG(2)BE=2MNMN丄BE理由如下：如图②,连接ME，过点C作CH//EF,交直线ME于H,连接BH,设CF与AD交点为PCF与AG交点为R，•••CH//EF.ZFCH_ZCFE，点M是CF的中点,.CM_MF，又ZCMH_ZFME•ACMH=AFME(ASA).CH_EF，ME_HM，.AE_CH，•.•CH//EF,AG//EF.CH//AG，.••ZHCF二ZCRA•••AD//BC.••ZBCF=ZAPR.ZBCH=ZBCF+ZHCF=ZAPR+ZARCZDAG+ZAPR+ZARC=180。，ZBAE+ZDAG=180。.••ZBAE=ZBCH又BC=AB,CH=AEBCH=ABAE(SAS)BH=BE,ZCBH=ZABE.••ZHBE=ZCBA=90。•:MH=ME,点N是BE中点,BH=2MN,MN//BH:.BE=2MN,MN丄BE(3)如图③，取AB中点O，连接ON,OQ,AF•.•AE=6AF=2t点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点,OQ=1AF=3、2,ON=1AE=322•••点Q在以点O为圆心,3<2为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心,3为半径的圆上运动，•••线段QN扫过的面积=kx（322）2-kx32=9兀（2021•南通）如图,正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A,D重合），点A关于直线BE的对称点为点F,连接CF,设ZABE=a.

备用團求备用團求ZBCF的大小(用含a的式子表示)；过点C作CG丄AF，垂足为G，连接DG.判断DG与CF的位置关系，并说明理由；将AABE绕点B顺时针旋转90。得到ACBH，点E的对应点为点H，连接BF,HF.当ABFH为等腰三角形时，求sina的值.:BCF=:BCF=。【答案】(1=45°+a(2)DG//CF(3)【详解】解：(1)如图1,连接BF图1点A关于直线BE的对称点为点F•••AB=BF，BE丄AF.••ZABE=ZEBF=a•ZCBF=90。—2a四边形ABCD是正方形,AB=BC:.BF=BC180。—180。—(90。—2a)2=45。+a2)DG//CF理由如下：如图2，连接AC图2-四边形ABCD是正方形，.••ZACD=45。,ZADC=90。CG丄AF.ZCGA=ZADC=90。.点A，点D，点G，点C四点共圆,.••ZAGD=ZACD=45。•.•AB=BF，ZABF=2a.AFB=今=Z.••ZAFC=135。.••ZCFG=45O=ZDGA.DG//CF；BE>AB:.BH>BF:.BH丰BF如图3,当BH=FH时，过点H作HN丄BF于N■:将AABE绕点B顺时针旋转90。得到NCBHABE=ACBH，ZEBH=90。=ZABCAE=CH,BE=BH,上ABE=ZCBH=a=ZFBE,AB=BC:上HBF=90°—a•.•BH=FH,HN丄BF：.BN=NF=1BF=1AB,ZBNH=90o=ZBAE22:.ZBHN=a:.ZABE=ZBHN:.AABE=ANHB（ASA）.：BN=AE=1AB2:BE八AE2+AB2八5AE.AE45.:sina==-BE5当BF=FH时:ZFBH=ZFHB=90o—a:ZBFH=2a=ZABF:AB//FH即点F与点C重合,则点E与点D重合,丁点E在边AD上（不与端点A,D重合），:BF=FH不成立，综上所述：sina的值为远5（2021•宁波）如图1,四边形ABCD内接于OO,BD为直径，AD上存在点E，满足AE=CD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G.（1）若ZDBC=a，请用含a的代数式表示ZAGB.（2）如图2,连结CE，CE=BG.求证：EF=DG.（3）如图3,在（2）的条件下，连结CG，AD=2.①若tanZADB二工3，求AFGD的周长.2②求CG的最小值.FFE.E.EGGDOCCB8rC3SiS2S3【答案】(1)ZAGB=90—(2)见解析⑶①等；②畐【详解】解：(1)TBD为OO的直径,.••ZBAD=90。AE=AE=CD:.ZABG=ZDBC=a:.ZAGB=90o-a(2)BD为OO的直径,.••ZBCD=90。.••ZBEC=ZBDC=90。一a.••ZBEC=ZAGBZCEF=180。-ZBEC,ZBGD=180。—ZAGB:.ZCEF=ZBGD又•••CE=BG,ZECF=ZGBDCFE=ABDG(ASA)EF=DG①如图，连接DEF:BD为OO的直径,.•.ZA=上BED=90。在RtAABD中,tanZADBAD=2•••AB=号xAD=%3AE=CD,/.AE+DE=CD+DE即AD=CE,.AD=CE,■:CE=BG.BG=AD=2,AB在RtAABG中，sinZAGB———BG•••zagb=60。，AG=2BG=1:.EF=DG=AD-AG=1在RtADEG中，ZEGD=60。iiV373EG=-DG=-,DE—DG———2222在RtAFED中，DF=\EF2+DE2—725+V7FG+DG+DF=—2.AFGD的周长为出72②如图，过点C作CH丄BF于H•••ABDG=ACFEBD=CF,ZCFH=ZBDAZBAD=ZCHF=90。.ABAD=ACHF(AAS)•••FH=ADAD=BG:.FH=BG-：ZBCF=90。ZBCH+ZHCF=90。•:上BCH+ZHBC=90。ZHCF=ZHBC•.•ZBHC二ZCHF=90。ABHCsACHFBHCH=,CHFH设GH=xBH=2—xCH2二2(2—x)在RtAGHC中，CG2=GH2+CH2CG2=x2+2(2—x)=(x—1)2+3当x=1时,CG2的最小值为3,CG的最小值为杼(2021•泰安)如图1,O为半圆的圆心,C、D为半圆上的两点,且BD=CD.连接AC并延长,与BD的延长线相交于点E.求证：CD=ED；AD与OC,BC分别交于点F,H.若CF=CH，如图2,求证：CF-AF=FO-AH；若圆的半径为2,BD=1，如图3,求AC的值.EECPDDA'3BOO02S3EECPDDA'3BOO02S3【答案】⑴见解析⑵①见解析；•••AC=7【详解】⑴证明：如图1中，连接BCDC=BD:上DCB=ZDBC•.•AB是直径，:.ZACB=ZBCE=90。:.ZE+ZDBC=90。，ZECD+ZDCB=90。:.ZE=ZDCE.:CD=ED(2)①证明：如图2中,

•••CF=CH:上CFH=ZCHFZAFO=Z•••CF=CH:上CFH=ZCHFZAFO=ZCFH:.ZAFO=ZCHFBD=CD:.ZCAD=ZBAD:.AAFO^^AHCAFOFAHCHAFOFAHCH.:CF-AF=OF-AHCD=BD②解：如图3中，连接OD交BC于G.设OG=x，则DG=2-x:.ZCOD=ZBOD•••OC=OB.:OD丄BC,CG=BG在RtAOCG和RtABGD中，则有2—x2=12-(2—x)277•:x=，即OG二一,44tOA二OBOG是AABC的中位线，OG=1AC2AC=-213.（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图D，在口ABCD中，BE丄AD，垂足为E,F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明.團①團②图③独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将口ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②,点C的对应点为C，连接DC并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明.问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将口ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A，，使AB丄CD于点H，折痕交AD于点M，连接AM，交CD于点N.该小组提出一个问题：若此口ABCD的面积为20,边长AB=5，BC=2^5,求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.S案】（1二EF=BFS（2）启三BG1x2=22四边形BHNMA，BMNNHA'323【详解】解：（1）结论：EF=BF理由：如图①中，作FH//AD父BE于H-四边形ABCD是平行四边形,.AD//BC，•.•FH//AD:.DE//FHIICB•••DF=CFEHDF/.==1HBFC•••EH=HB:.BE丄AD,FHIIAD:.FH丄EB•••EF=BF(2)结论：AG=BG理由：如图②中，连接CC'ABFC是由ABFC翻折得到,BF丄CC,FC=FC•.•DF=FC:.DF=FC=FC•ZCCD=90。CC丄GD•DGIIBF•••DFIIBG:.四边形DFBG是平行四边形,DF=BG■:AB=CD，DF=-CD2BG=-AB2:.AG=GB3=3=2，(3)如图③中，过点D作DJ丄AB于J,过点M作MT丄AB于T•••S=AB-DJ平行四边形ABCD20=4四边形ABCD是平行四边形,AD=BC=2\5,AB//CDAJ=AD2-DJ2=\：'（2「5）2-42=2•.•A'B丄AB,DJ丄AB•ZDJB=ZJBH=ZDHB=90。•四边形DJBH是矩形，BH=DJ=4A'H=A'B-BH=5-4=1•.•tanA=D=MT=2AJAT设AT=x，贝yMT=2x\-ZABM=ZMBA'=45。•・MT=TB=2x,•3x=5•/tanA=tanA•/tanA=tanA'NHA'H.NH=2，.SAABMA'BM=1X5x10=25233251“c22S=S—S=—x1x2=-四边形BHNMABMANHAf32314.（2021•台州）如图，BD是半径为3的OO的一条弦，BD=4迓，点A是OO上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作口ABCD.（1）如图2,若点A是劣弧BD的中点.求证：口ABCD是菱形；求口ABCD的面积.（2）若点A运动到优弧BD上，且口ABCD有一边与0O相切.①求AB的长；【详解】（1）①证明：丁AD=AB/.AD=AB四边形ABCD是平行四边形，•••四边形ABCD是菱形.②解：连接OA交BD于J,连接0CAD=AB:.OA丄BD四边形ABCD是菱形，AC丄BD•••A,O,C共线，在RtAOJD中，DJ=BJ=2•込,OD=3OJ=POD2—DJ2=32-(2、2)2=1•・AJ=OA—OJ=3—1=2■■■四边形ABCD是菱形，•・AJ=CJ=2，S=--AC-BD=-X4X4*2=菱形ABCD22(2)①解：当CD与OO相切时，连接AC交BD于H，连接OH，OD，延长DO交AB于P，过点A作AJ丄BD于J•.•CD是OO的切线，.OD丄CD，•/CD//AB•••DP丄AB•••PA=PBDB=AD=4*2四边形ABCD是平行四边形,DH=BH=2、云•OH丄BD9999.••ZDHO=ZDPB=90°tZODH=ZBDPDHO^^DPBDHDOOHPB，DHDOOHPB，DPDB2、込2、込3•,,,,,DP4\2PB综上所述，AB的长为综上所述，AB的长为用或832AB=2PB=^2②解：如图3-1中，过点②解：如图3-1中，过点A作AJ丄BD于J2-AB-。卩=2-BD