2023-2024学年广西南宁市东盟中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广西南宁市东盟中学高二（上）开学数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设复数z=(1+i)A.4 B.4i C.−4 2.如图，在正六边形ABCDEF中，设ABA.a+2b

B.2a+33.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8(其中x≠7)，若该组数据的中位数是众数的5A.133 B.143 C.1634.若向量a=(1,5)，b=(A.−π4 B.π6 C.π5.一艘海盗船从C处以30km/h的速度沿着南偏东40°的方向前进，在C点北偏东20°距离为30kmA.30km/h B.40km6.如图，E，F分别为边长是4的正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线折起，使B，C，DA.43

B.4

C.8

D.7.P是△ABC内的一点，AP=13(A.2 B.3 C.32 D.8.如图所示，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，A.① B.①② C.② D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则(

)A.平均数为3 B.标准差为85

C.众数为2和3 D.第85百分位数为10.已知复数z=(1+2i)(A.z的虚部为3i B.|z−|=5

C.11.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(

)A.若m//n，m⊥α，则n⊥α

B.若α⊥β，m⊥α，则m//β

C.若m12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，A.直线AM与BN是平行直线

B.直线BN与MB1是异面直线

C.直线MN与AC所成的角为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.一圆锥高为2，底面半径为1，则它的侧面积为______．14.已知a、b为单位向量，且|2a−b|=3，则15.某校组织了一次关于“生活小常识”的知识竞赛.在参加的所有学生中随机抽取100位学生的回答情况进行统计，具体如下：答对5题的有10人；答对6题的有30人；答对7题的有30人；答对8题的有15人；答对9题的有10人；答对10题的有5人.则在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为______．16.在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，MC=2BM，NC=3四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知向量a，b的夹角为π3，且|a|=2，|b|=3，c=λa−2b18.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，F为AC和BD的交点．

(119.(本小题12.0分)

某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40,100]内，按照[40,50)，[50,60)，…，[90,100]分组，得到如图频率分布直方图：

(Ⅰ)求图中a的值；

(20.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ca+b+c=sinA+sinC−si21.(本小题12.0分)

计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．

(22.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P−ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，且PA=AC，AC⊥BC，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接AE，A

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】

解：复数z=(1+i)(3+i)2.【答案】C

【解析】解：在正六边形ABCDEF中，FC//AB，FC=2AB，

则A3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查一组数据的方差的求法，考查中位数、众数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

该组数据的中位数是众数的54倍，求出x=6【解答】

解：一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8(其中x≠7)，

该组数据的中位数是众数的54倍，

∴4+x2=4×54，解得x=4.【答案】C

【解析】解：根据题意，设向量a+2b与b−a的夹角为θ，

向量a=(1,5)，b=(1,−1)，

则向量a+2b=(3,3)，a−b=(0,6)，

则|5.【答案】D

【解析】解：如图，

设在点B处两船相遇，则∠ACB=120°，∠A=30°，

∴∠B=30°，即△ABC为等腰三角形，

∴|BC|=|AC|=30km，|AB|=6.【答案】D

【解析】解：以AE，EF，AF为折痕，折叠这个正方形，使点B，C，D重合于一点P，得到一个四面体，如图所示．

∵在折叠过程中，

始终有AB⊥BE，AD⊥DF，

即AP⊥PE，AP⊥PF，

所以AP⊥平面EFP．

四面体的底面积为：S△EFP=127.【答案】B

【解析】【分析】考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及向量数乘的几何意义，三角形的面积公式．

可取BC的中点为D，并连接AD，从而可得出AP=23AD，这样便可画出图形，进而得出【解答】

解：取BC中点D，连接AD，则AB+AC=2AD；

∴AP=23AD，如图所示：

8.【答案】C

【解析】【分析】

平移直线A1F，判断平移后的直线：在平面BD1E上则A1F//平面BD1E，与平面BD1E交于一点则不平行，即可得解．

本题主要考查了线面平行的判定，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．

【解答】

解：①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；

②中，由于AF//DE9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查标准差、众数、平均数、百分位数的求法，是基础题，解题时要注意计算公式的合理运用．

运用标准差、众数、平均数、百分位数的公式求解即可．【解答】

解：平均数：5+5+4+3+3+3+2+2+2+110=3

众数为：出现次数最多的2和3

标准差：(5−3)2+(5−3)2+…+(1−3)10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的运算问题，也考查了命题真假的判断问题，属于基础题．

根据复数的代数形式运算法则，求出复数z，再对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】

解：因为z=(1+2i)(2−i)=4+3i，

所以z的虚部为3，选项A错误；

由|z−|=11.【答案】AD【解析】解：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选项A正确；

若α⊥β，m⊥α，则m⊂β或m//β，故选项B错误；

若m//α，n⊂α，则m与n可能平行也可能异面，故选项C错误；

若m⊥α，n⊥β，将12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查空间两直线的位置关系的判断，以及异面直线所成角的求法，空间几何体的截面面积问题，属于中档题．

由异面直线的定义可判断AB；由异面直线所成角的定义可判断C；连接A1B，A1M，易知A【解答】

解：对于A，由异面直线定义可得直线AM与BN是异面直线，故A错误；

对于B，由异面直线定义可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确；

对于C，连接CD1，AD1，可得MN//CD1，∠ACD1为直线MN与AC所成的角，

而∠ACD1=60°，可得直线MN与AC所成的角为60°.故C正确．

对于D，连接A1B，A113.【答案】5【解析】解：因为圆锥的高为2，底面半径为1，且圆锥的侧面展开图为扇形，

所以扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长：l=2πR=2π，

扇形半径为：r=22+114.【答案】π3【解析】解：由|2a−b|=3两边平方得4a2−4a⋅b+b2=3，

又|a|=15.【答案】7

【解析】解：∵答对5题的有10人；答对6题的有30人；答对7题的有30人；

答对8题的有15人；答对9题的有10人；答对10题的有5人．

∴在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为：

110+30+30+15+1016.【答案】1711【解析】解：因为MC=2BM，NC=3DN，

所以AM=a=AB+BM=AB+13BC=AB+13AD，①

AN=b=AD+DN=17.【答案】解：(1)|3a−b|=(3a−b)2【解析】(1)对模长平方，进而求解即可；

(2)根据18.【答案】解：(1)证明：连接EF，

∵四边形ABCD是菱形，

∴F是BD的中点，又E是PD的中点，

∴PB//EF，又EF⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

∴PB//平面AEC；

(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，【解析】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．

(1)连接EF，利用中位线定理得出EF//PB，故而PB//平面AEC；

(2)由P19.【答案】解：(Ⅰ)由题意(0.005+0.010+a+0.030+a+0.015)×10=1，

解得a=0.020．

(Ⅱ)这些应聘者笔试成绩的平均数为：

45×0.05+55×0.1+65×【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图列方程能求出a．

(Ⅱ)由频率分布直方图能求出这些应聘者笔试成绩的平均数．

(Ⅲ)根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[6020.【答案】解：(1)因为ca+b+c=sinA+sinC−sinBsinA，

所以由正弦定理可得ca+b+c=a+c−ba，整理可得a2+c2−b2=−ac，

所以cosB=a2+c2−b22a【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得a2+c2−b2=−ac，由余弦定理可求cosB=−12，结合B21.【答案】解：(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，

“丙获得‘合格证书’”为事件C，

则P(A)=45×12=25,P(B)=34×2【解析】(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，“丙获得‘合格证书’”为事件C，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲、乙、丙三人获得合格证书的概率，由此得到丙获得“合格证书”的可能性大．

(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件22.【答