专题08 圆锥摆与单摆模型(解析版)

2022届高三物理二轮常见模型与方法综合特训专练专题08圆锥摆与单摆模型专练目标专练内容目标1圆锥摆模型（IT—8T）目标2单摆模型（9T—16T）【典例专练】一、类平抛模型如图所示，同一水平面的皮带轮A、、通过不打滑的皮带传动，A轮的半径是B轮的2倍。在皮带轮各自的轴上用长度相同的轻绳分别悬挂质量为m和m的甲、乙两个小球，二者质TOC\o"1-5"\h\z甲乙量关系满足m=4m。两轻绳上端的悬挂点足够高且在同一水平面上，通过外力驱动A轮，甲乙待系统稳定转动后，两轻绳与轴的夹角分别为Q和0。下列说法正确的是（）甲、乙两球转动的角速度之比为2：1甲、乙两球在同一水平面上因为m=4m，所以a<0甲乙甲、乙两球受到细绳的拉力大小相等【答案】D【详解】A.A、B通过皮带传动，系统稳定后，A、匀速转动，线速度大小相同，即v=vAB①2RRAB所以①：①:①=1:2,A错误；AB甲乙兀b.甲、乙两球做匀速圆周运动，设o为轻绳与轴的夹角，显然o<e<；，由2mgtanO=m®2LsinO，h=LcosQ得h=卫甲、乙两球离悬挂点的高度之比为h:h=4:1故甲、乙两球不在同一水平面上，B®2甲乙错误；甲、乙两球做匀速圆周运动，由mgtanO=2LsinO得=®2cosO再由®®得L甲乙cosa>cosP故a<p但此大小关系与质量无关，C错误；由题知拉力F=黑=mgL因m=4m且h:h=4:1故甲球受到细绳的拉力等于乙球受cosOh甲乙甲乙到细绳的拉力，D正确。故选Do如图所示是一款玩具的简化示意图，当启动开关时，电动机会带动水平转盘绕其中心水平转动，从而带动下面的小玩具转动起来。已知两个小玩具的质量分别为m、m，两条细12绳的长度分别为l1、l2o忽略细绳的重力及空气的阻力，当转盘以角速度®匀速转动时，两TOC\o"1-5"\h\z条细绳与竖直方向的夹角分别为a、P，下列说法正确的是（）若l=l，m<m，则a>p1212若l=l，m>m，则a>p1212C・若m=m，l<l，则a>p1212

D.若m>m，1>1，则a>p1212【答案】D【详解】AB.根据向心力公式可得mgtan0=mw2(r+1sin0)，0与质量无关，当［=佇时,有a=p，故A、B错误;CD.对质量为m的玩具有gtan卩=W2(r+1sin卩)若a=p，>1，有gtana<W2(r+1sina)22121提供的向心力小于需要的向心力，应远离圆心，所以a>p，故D正确；同理若1<1，必12有a<p，故C错误。故选Do3如图所示，"厶"形杆倒置，横杆端固定有定滑轮，竖直杆光滑且粗细均匀，绕过定滑轮的细线两端分别连接着小球B及套在竖直杆上的滑块力，让整个装置绕竖直杆的轴以一定的角速度®匀速转动，稳定时，滑轮两边的线长相等且两边的线与竖直方向的夹角均为37。。已知细线总长为/,滑块的质量为M,小球的质量为m,不计滑块和球的大小，sin37°=0.6,cos37。=0.8。贝9(A.M>mBA.M>mB.M<mC・w=D・w=【答案】C【详解】AB.设细线的拉力为八则Tcos37【详解】AB.设细线的拉力为八则Tcos37=mg=Mg因此M=m，AB错误;CD.由题知,小球做圆周运动的半径为0.61则有mgtan37°=mx0.61®2解得w=，D错误，C正确。故选Co4•如图所示，矩形金属框4•如图所示，矩形金属框MNQP竖直放置,其中MN、PQ足够长，且PQ杆竖直光滑，一根轻弹簧一端固定在N点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，开始时整个装置处于静止状态。现在让金属框绕MN轴转动，其角速度逐渐增大，即①二彷，式中B是一个常数。则在角速度逐渐增大的过程中，下列判断正确的是（）B.PQB.PQ杆对小球的作用力不断增大D.PQ杆对小球的作用力不做功C.弹簧弹力会逐渐增大【答案】B【详解】AC.对小球受力分析，设弹力为F,弹簧与水平方向的夹角为B，则对小球竖直方向，有Fsin0=mg（NO\由胡克定律，可得F=kl0可知0为定值，F不变，则当转速增大后，小球的高度、0cos0丿不变，弹簧的弹力不变，故AC错误；随着小球转动的角速度不断增大，需要的向心力不断增大，所以杆的弹力不断增大，故B正确；D.因为小球的线速度不断增大，动能不断增大，弹簧的弹力对小球不做功，所以杆对小球要做功，故D错误。故选Bo质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a与水平方向成0角，绳b在水平方向且长为人当轻杆绕轴AB以角速度3匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）

a绳的张力可能为零a绳的张力随角速度的增大而增大C•当角速度®〉\；空严,b绳将出现弹力D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化【答案】C【详解】A.由于小球m的重力不为零，a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，故A错误；由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，角6不变，所以a绳张力不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，故B错误；若b绳中的张力为零，设a绳中的张力为F,对小球mFsin6=mg，Fcos0=mrn2l解得即当角速度&泸即当角速度&泸，b绳将出现弹力，故C正确;若①二丫区泸，b绳突然被剪断时，a绳的弹力不发生变化，故D错误。故选Co如图所示，空间中匀强磁场为竖直方向（图中未画出），质量为m,电荷量为+g的小球在光滑圆锥上以速度大小v做匀速圆周运动（从上往下看是逆时针），其运动平面与圆锥轴线垂直且到圆锥顶点距离为力，已知重力加速度为g,圆锥半顶角为0，下列方法正确的是（）磁场方向竖直向下小球转一圈的过程中，重力的冲量为0

圆锥对小球的支持力大小为mgsin9mgmv磁感应强度大小为+-qvtan9qhtan9【答案】AD【详解】A.由左手定则可知，磁场方向竖直向下，故A正确；重力的冲量等于重力大小与时间的乘积，所以重力的冲量不等于零，故B错误；CD.小球受到重力mg，垂直圆锥母线的支持力Fn水平方向的洛伦兹力qvB，沿水平和竖直方向正交分解FNsin9=mgqvB-FNsin9=mgqvB-Fcos9=Nhtan9解得fn=处；bsin9mgqvtan9mvqhtan9故C错误，D正确。故选AD。如图所示，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度®匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力。下列说法正确的是（）仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小®改变小球质量后，小球仍不受到玻璃管的弹力仅增加角速度至o'后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力【答案】BC【详解】当玻璃管绕竖直轴以角速度o匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力，此时对小球受力分析如图所示(VJ」此时向心力F=mgtan0=m®2r=m®2Lsin0增加绳长之后，此时小球需要的向心力增大，此时小球有离心的趋势，小球将垂直于右侧管壁挤压管壁，玻璃管会给小球一个斜向下的压力，故A错误；增加绳长之后，小球做圆周运动的半径增大要保持小球与管壁之间无压力，则小球所需向心力大小不变，半径增大，则需要减小角速度®，故B正确；增加小球质量，此时mgtan0=m®2Lsin0质量可被约去，小球做圆周运动的半径不变，小球对玻璃管无压力，故玻璃管对小球也无压力，故C正确；仅增加角速度至®'后，小球需要的向心力增大，小球有离心的趋势，小球将垂直于右侧管壁挤压管壁，玻璃管会给小球一个斜向下的压力，故D错误。故选BC。8—细绳穿过一光滑、固定的竖直细管，两端分别拴着质量为加和M的小球A和B。当小球A绕着中心轴匀速转动时,A球摆开某一角度，此时A球到上管口的绳长为L，如图所示。细管的半径可以忽略，重力加速度为g，B球始终未接触细管口。则下列说法正确的是（）A.A球做匀速圆周运动的向心力大小为MgDDBB.a球运动的周期为T=2兀若A球角速度加倍，A球的向心加速度也加倍若A球角速度加倍，则B球应下降【答案】BD【详解】A.对A球受力分析由绳的拉力及小球重力的合力充当向心力，而绳的拉力等于殛，故A错误。4n2B.设连接A球细绳与竖直方向的夹角为a，则Mgcosa=mg，Mgsina=mLsina解得T2故B正确。CD.A球角速度增大稳定后B球仍静止，设此时连接A球的细绳与竖直方向夹角为0,对A球受力分析可得Tcos0=mg其中T=Mg，可得a=P，细绳与竖直方向夹角不变，故A球的向心力大小不变，向心加速度大小不变，由a=w2r，可得角速度增大，轨道半径减小，即L减小，B球下降，故D正确、C错误。故选BD。二、单摆模型如图所示,倾角为0的斜面MN上的B点固定一光滑圆弧槽AB（对应的圆心角小于10。），其圆心在B点正上方的O点，另外，光滑斜面OC和OD的下端亦在MN上，让可视为质点的小球分别无初速出发，从A点到达B的时间为t，从O点到达C的时间为t，从O点到BC达D的时间为t。比较这三段时间，正确的是（）t>t>tBDCt>t>tBDCt>t>tDCBC.tB=tC=tDD.t>t=tBCD兀2由于0D垂直于兀2由于0D垂直于MN,【详解】由单摆运动的等时性可知从A点到达B的时间tB=£则点D同样位于AB所构成的圆上，分析可知OD与竖直方向夹角为倾角，则OD段为■1i=rcose=—(gcose)t2解得t=2DD同理利用等时圆分析可知tc小于tD，故A正确，BCD错误。故选A如图所示，甲、乙两个体重相等的小孩玩滑梯游戏，AB为半径很大的光滑圆槽，A、B两点在同一水平高度上，且AB弧长远小于半径，圆槽的最低点为O,开始时甲静止在A点，乙静止在弧OB的中点C，听到哨声两人同时无初速滑下，则()甲乙甲乙两人在O点相遇B.两人在O点左侧相遇相遇时的动能相同D.相遇时两人的向心加速度相同【答案】A【详解】AB.因AB弧长远小于半径，则两人同时下滑的过程满足单摆的运动规律，故有T=2n.'-则两人运动到O点的时间相同，为t=T=n，：R即两人在O点相遇，B错误A正g42g确;

1两人下滑只有重加做功，由动能定理有mgh=mv2-0甲下降的高度较大，则相遇时动2能不等，C错误；在O点相遇时的向心加速度为a=—=2gh因h不同，则向心加速度不等，D错误。故RR选A。如图，水平面上固定光滑圆弧面水平宽度为厶高为h且满足L>>h。小球从顶端A处由静止释放，沿弧面滑到底端D经历的时间为/,若在圆弧面上放一光滑平板ACD,仍将小球从A点由静止释放，沿平板滑到D的时间为（）ALA.t462^2B.—tC.—tD.t兀兀兀【答案】B【详解】设该圆弧对应的半径为人，小球沿光滑圆弧面ABD运动到底端的时间相当于摆长为R的单摆周期的1，则有t二1x2k■'-三匸小球光滑斜面ACD滑到D的时间为f，根44Vg2\g据等时圆原理可得t'=24所以t'=t故选B。兀如图所示为相同的小球（可看作质点）构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的T，关于周期大小关系的判断，正确的是（）4T，关于周期大小关系的判断，正确的是（）4A.T>A.T>T>T>T1234T<T=T<T4132T>T=T>T4132D.T<T<T<T1234【答案】C【详解】设单摆摆长均为L,根据单摆的周期公式可得斤=2气:T2=E丄cos30T4二2气土则T>T1=T3>T2故选C。—细线一端固定，另一端系一密度为P=0.8x103kg/m3的小球，组成一个单摆，其周期为T=8s。现将此单摆倒置于水中，使其拉开一个小角度后做简谐运动，如图所示。已知水的密度为1.0x103kg/m3，水对小球的阻力可忽略，则小球在水中做简谐运动的周期为（）A.4sB.A.4sB.8sC.12sD.16s【答案】D【详解】本题情景中，单摆的周期公式为T【详解】本题情景中，单摆的周期公式为T=2兀L其中g'为小球摆动过程的等效重力加速度，则去除细线拉力后，小球受到的等效重力为G=mg'=pVg'又G'=（p水-pkg联立解得代入数据得T=16s故选D。如图甲所示，光滑圆弧面的半径为R,圆弧AB《R，且A、B等高，a球从A点由静止释放沿圆弧下滑做周期运动，周期为T；如图乙所示，d、e、f三个小球在同一水平面a

内做匀速圆周运动，圆锥摆的悬点01与圆心O2的高度差为R，运动周期为Td、Te、f关于四个周期，下列说法正确的是（AA图屮AA图屮A.A.T>T>T>TadefB.T<T<T<TafedC.T=C.T=T=T=Tadef夹角为0，对小球受力分析有mgtan0=ma由匀速圆周运动的规律可得a二(2n)2r，由几无法确定大小关系【答案】C【详解】a球是等效单摆，周期2n]f对圆锥摆，设其中一个小球的摆线与竖直方向的r何关系可得tan0=-，综合可得RT=2n芒说明d、、f三个小球的周期与0无关且相等，则四个小球的周期相等。故选Co做单摆实验时，小球可能在水平面内做圆周运动形成圆锥摆。为避免单摆做圆锥摆引起的误差，可采用双线摆代替单摆来改进实验装置。如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，两根线的长度均为人与竖直方向的夹角均为0,小球的直径为〃，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（）

AaAa若单摆做圆锥摆运动，其做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期这个双