2023届高考数学二轮专题重难点专题22线面角大题专练B卷

专题22线面角大题专练B卷1.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，为的中点，是棱的中点，，底面．

证明：平面在线段不含端点上是否存在一点，使得直线和平面所成角的正弦值为若存在，求出此时的长若不存在，说明理由．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，平面平面，点为棱的中点．

Ⅰ在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；

Ⅱ当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．

如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点．

证明：平面；

求异面直线和所成角；

设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长．4.如图，是的直径，是圆周上不同于、的任意一点，垂直所在的平面，四边形为平行四边形．

求证：平面平面．若，，，求直线与平面所成角的正弦值．5.如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，是等边三角形，，，是线段的中点．求证：．求与平面所成角的正弦值．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．

Ⅰ求证：；

Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．7.如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为．若点是的中点，证明：平面平面在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为若存在，求出点的位置若不存在，说明理由．8.如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，，．

Ⅰ当时，证明：；

Ⅱ当平面平面时，求与平面所成角的正弦值．

答案和解析1.【答案】解：取的中点为，

连接，因为为的中点，所以，

又因为，所以，所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，所以平面．

由题意得：，，

所以四边形为矩形，

又平面，

如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面的法向量为，，

则，即，不妨设，可得，

设，，

，，

有，解得舍或，

可得，

所以．

2.【答案】解：Ⅰ在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．

理由如下：取的中点，连接、，

由题意，且，

且，

故AE且．

所以，四边形为平行四边形．

所以，，

又平面，平面，

所以，平面；

Ⅱ由题意知为正三角形，所以，亦即，

又，所以，

且平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，

设，则由题意知，，，，

，，

设平面的法向量为，

则由

令，则，，则，

易知平面的法向量，

二面角的余弦值为，

，

解得．

由于平面，所以在平面内的射影为，

所以为直线与平面所成的角，

由题意知在中，，

从而，

所以直线与平面所成的角为．

3.【答案】解：证明：，，

，

平面平面，平面平面，平面，

平面．

解：，为的中点，

，又平面，、、两两垂直，

如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，

，，，，

，，

，

异面直线和所成角为．

设为平面的法向量，

，，

，即，

设，，

，

设与平面所成角为，

，

，

，，舍，，

的长为．

4.【答案】解：因为是的直径，所以，

因为垂直所在的平面．

所以平面，

因为四边形为平行四边形，

所以，所以平面，

所以．

因为，，平面，

所以平面，

因为．

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

由得平面，．

以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易知，则，

，，

，，，

设平面的法向量为．

由，，

得，

不妨令，则，，所以．

记直线与平面所成的角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

5.【答案】解：因为侧面，平面，所以．

又因为是等边三角形，是线段的中点，所以．

因为、为平面内两条相交直线，所以平面，

而平面，所以．

；

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，

所以，，

设为平面的法向量．

由，得令，可得．

设与平面所成的角为，

则，．

所以与平面所成角的正弦值为．

6.【答案】Ⅰ证明：因为平面，，平面，所以，，

又，如图，建立以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系．

由已知，，，．

所以，，，，，

又为中点，所以．

所以，，

所以，

所以．

Ⅱ解：设平面的法向量为，

则，，

即，

令，得，．

，

，

故直线与平面所成角的正弦值为．

7.【答案】解：证明：点在底面上的射影为点，平面，四边形是边长为的正方形，，，，即：，，又，点是的中点，，同理可得：，又，且，平面，平面，又平面，平面平面．如图，连接，易知，，两两互相垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，假设存在点使得直线与平面所成的角的正弦值为，点在棱上，不妨设，，又，，，设平面的法向量为，则，，令，则，，又，设直线与平面所成的角为，则，，，即，解得：或不合题意，舍去，存在点符合题意，点为棱上靠近端点的三等分点．

8.【答案】Ⅰ证明：取的中点，连接，，过作于，

，，，

四边形是矩形，，，

又，，故CD，

，，

又，，又，，平面

平面，又平面，

．

Ⅱ解：过作于，

，为的中点，

平面平面，平面平