试验一斐波那契数列

试验一斐波那契数列一、实验目的与要求1．认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程；2．了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式；3．掌握matlab软件中plot,polyfit等函数的基本用法；4．提高对数据进行分析与处理的能力。二、问题描述某人养了一对兔，一个月后生育了一对小兔。假设小兔一个月后就可以长大成熟，而每对成熟的兔每月都将生育一对小兔，且兔子不会死亡。问：一年后共有多少对兔子？三、问题分析这个问题，最早由意大利数学家斐波那契(Fibonacci),于1202年在其著作《珠算原理》中提出。根据问题的假设，兔子的总数目是如下数列：1,1,2，3，5，8，13,21,34，55,89,144,233，•…问题的答案就是此数列的第12项,即一年后共有144对兔子。这个数列通常被称为斐波那契(Fibonacci)数列，研究这个问题就是研究Fibonacci数列。把这个问题作更深入的研究，我们会问：第n个月后，总共有多少对兔子？即Fibonacci数列的第n项是多少？这就需要我们探素Fibonacci数列的通项公式。根据问题的描述，我们知道第n+2个月后兔子的对数，等于第n+1个月后兔子的对数(表示原来就有的老兔子对数)，加上第n个月后兔子的对数(表示生育出来的新兔子对数)。这样就得到关于Fibonacci数列的一个递推公式：F=F+Fn+2n+1n利用matlab软件的数据可视化功能将这些数据显示成平面曲线的形式后，我们可以观察到Fibonacci数列的变化规律；通过matlab软件的数据拟合功能，我们可以大概知道Fibonacci数列的函数关系式，结合上面的递推公式，就可以推导出来Fibonacci数列的通项公式。四、背景知识介绍1．数据的可视化。TOC\o"1-5"\h\z将离散的数据：F,F,F,F,,F,，1234n看成平面坐标系里的点：(1,F),(2,F),(3,F),(4,F),,(n,F),，.1..234n利用matlab软件的plot函数在平面坐标系里划出一个点列，就可以实现离散数据的可视化。plot函数的基本使用格式为：plot(y),其中参数y表示竖坐标，即需要显示的数据。例1y=l:20;y=y43;plot(y)2．数据的拟合。数据拟合就是寻找一个目标函数，作为被拟合数据的近似函数关系。目标函数的类型，可以是多项式、指数函数等。作数据拟合，首先需要估计目标函数的类型，这一点可以通过数据可视化来观察得到，而一阶多项式是最常见的目标函数，此时称为线性回归。确定拟合系数的原则是最小二乘法，即所有误差的平方和取最小值。在matlab软件中以多项式为目标函数作数据拟合的函数是polyfit,它的基本使用格式为：polyfit(x,y,n)。其中(x,y)是被拟合的数据，即平面上的一个点列，而n是事先确定的多项式的阶数。例2x=[l,3,4,5,6,7,8,9,l0];y=[l0,5,4,2,l,l,2,3,4];polyfit(x,y,2)结果：0.2676t2-3.6053t+l3.45973．数列的通项公式。寻找一个整标函数，使得它在n处的函数值，等于数列的第n项的值，这个函数就是数列的通项公式。4．黄金分割。把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比(如下图)。其比值是一个无理数(石-1)十2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分协调美观，因此称之为黄金分割。AM:AB=MB:AMAMB五、实验过程本试验将Fibonacci数列的有限项，看成是待处理的数据。首先利用matlab软件的可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其图形类似什么曲线，结论是：指数函数的曲线。进一步，利用指数函数与对数函数的互逆关系，将原有数据取对数，再观察其曲线形状是否类似直线，以验证原来的观察是否正确。通过观察到的目标函数，然后利用matlab软件的数据拟合功能，得到Fibonacci数列通项公式的近似关系。最后，从近似关系出发，推导出来Fibonacci数列的通项公式。1．观察数据的大概函数关系。为了研究Fibonacci数列的变化规律，我们取此数列的前30项来观察。利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。具体的实现流程为：(1)定义数组fn；(2)显示数组fn。具体的代码如下：functionplotfibo(n)%定义函数显示Fibonacci数列前n项fn二[1,1];%将数列的前两项放到数组fn中fori=3:n%fn的第3项到第n项

fn=[fn,fn(i-2)+fn(i-1)];%将第i项添加到数组fn中end%循环结束plot(fn)%将装有数列前n项的数组显示出来这个函数的调用方式是：plotfibo(30)，显示出来的图像为图1,经观察，觉得曲线的形状象指数函数的曲线，其数据无限增大。可以改变参数n的值，反复观察。图1n=30图2n=50图3n=500图4n=10002．进一步验证上一步得到的结论。经过上一步的观察，觉得这些数据应该是指数函数的形式。为了进一步验证这个结论是否正确，可以利用指数函数与对数函数的互逆关系。如果这些数据确实是指数函数的形式，则经过取对数后应该是一个线性关系，即一阶多项式，从图形上看应该象一条直线。因此，再利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据取对数后显示在平面坐标系中，观察它是否象一条直线。具体的实现流程为：(1)定义数组fn；(2)数组fn取对数；(3)显示数组fn。具体的代码如下：functionplotlnfibo(n)%显示取对数后的前n项fn二[1,1];%将数列的前两项放到数组fn中fori=3:n%fn的第3项到第n项fn=[fn,fn(i-2)+fn(i-1)];%将第i项添加到数组fn中

endfn=log(fn)plot(fn)%循环结束%将原来的数据取对数%将装有数列前n项的数组显示出来这个函数的调用方式是：plotlnfibo(30),显示出来的图像为图5,经观察,觉得它确实象一条直线。可以改变参数n的值，反复观察。3．获得数据的近似关系式。经过以上第一步的观察，确定Fibonacci数列的数据是指数函数的关系，第二步验证了第一步得到的结论，因此我们认为Fibonacci数列的数据关系就是指数函数，取对数后就是线性函数，即一阶多项式。利用Matlab软件的数据拟合功能，通过取对数后的数据，用一阶多项式拟合出它的函数关系式，可以得到Fibonacci数列通项公式的一个近似表达式。具体的实现流程为：(1)定义数组fn；(2)数组fn取对数；(3)用一阶多项式拟合数组fn。具体的代码如下:functionfitlnfibo(n)%根据取对数后的数据，拟合出线性表达式fn二[1,1];%将数列的前两项放到数组fn中fori=3:n%fn的第3项到第n项fn=[fn,fn(i-2)+fn(i-1)];%将第i项添加到数组fn中end%循环结束xn=1:n;%定义横坐标fn=log(fn)%将原来的数据取对数polyfit(xn,fn,1)%拟合装有数列前n项的数组这个函数的调用方式是：fitlnfibo(30)，运行后返回结果是：0.4799,-0.7768。这两个数据就是一阶多项式的系数，即：log(F)沁-0.7768+0.4799nn为了提高精度，可以加大n的值。取n=1000时得到：log(F)u-0.8039+0.4812nn从上面的表达式，可以得到数列通项公式的近似：Fu0.4476x1.6180nn4．观察拟合数据与原始数据的吻合程度。经过第三步的拟合，得到了Fibonacci数列近似的通项公式，为了观察其吻合程度，我们将Fibonacci数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行对比观察。具体的实现流程为：(1)定义数组fnl,fn2；(2)显示数组fnl,fn2。具体的代码如下：functionplotfibo2(n)%显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=[];fori=1:n%装拟合数据的数组%fn1的第1项到第n项fn1=[fn1,0.4476*1.618"];%将第i项添加到数组fn1中endfn2=[1,1];fori=3:n%装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中%fn2的第3项到第n项fn2=[fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1)];%将第i项添加到数组fn2中endx=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,'r*')%显示，fn1—兰线，fn2—红星这个函数的调用方式是：fitlnfibo2(20)，显示出来的图像为图9，或fitlnfibo2(50)，显示出来的图像为图10。5．推导Fibonacci数列的通项公式(1)。通过以上的观察和分析，我们知道Fibonacci数列的数据大概是指数函数的关系。因此，我们猜测它的通项公式具有形式：F二kxrn。将这个表达式代n入递推公式F二F+F中，得到：kxr”+2二kxrn+i+kxrn。经过简化得到：n+2n+1nr2=r+1这是一个一元二次的代数方程，其两个根艮形式如下：r二(1土、■■5)十2考虑到Fibonacci数列的数据无限增大，我们取r二(1+十2，于是得到通项公式如下：F=kx[(1+J5)一2]nn上面的公式对吗？我们可以来验证。取n=1和n=2代入上面的公式中计算,显然得不到F二1,F二1，因此它不是Fibonacci数列的通项公式。12但这个公式并非一无是处，我们可以来考虑这个公式与Fibonacci数列到底相差多少。因此，我们引入以下一个数列：T=F-kx[(1+j5)一2]nnn可以验证，这个新的数列也满足同样的递推公式：T二T+T，因此我n+2n+1n们猜测它同样是指数函数的形式，可以假设其表达式为：T=^xrn，代入递推n公式后，同样可以得到：r2二r+1。这里的r显然不同于上面的r,故这个r取值为：r二(1—J5)十2，从而得至【」：T=^x[(1—^5)一2]n。故有：F=kx[(1+、'5)一2]n+九x[(1-\5)一2]nn由条件F=1,F=1确定其中的常数，得到：12F={[(1+75)一2]n—[(1-妁一2]n}一75n可以证明，它确实就是Fibonacci数列的通项公式。这个公式是法国数学家比内(Binet)在1843年发现的，称为比内公式。6．推导Fibonacci数列的通项公式(2)。Fibonacci数列具有如下递推关系：F二F+Fn+2n+1n这个等式实际上是一个二阶常系数线性齐次差分方程，可以仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解。首先由递推等式得到如下特征方程：r2=r+1这是一个一元二次的代数方程，其两个根艮形式如下：r二(1土、■■'?)十2因此，我们得到差分方程的通解如下：F=Cx[(1+J5)一2]n+Cx[(1—j5)一2]nn12取n=1和n=2代入上面的公式中，解得：c=1*5,c=—1一*512从而得到：

F二{[(1+h5)-2]n-[(1-\5)一2]n}r5n可以证明，它确实就是Fibonacci数列的通项公式。六、结论与应用1．Fibonacci数列的阶。通过以上试验过程，我们得到了Fibonacci数列的通项公式，它类似一个指数函数，当n无限增大时，其数据也无限增大，变化的阶是：{[(1+T5)一2]n}一T5在Fibonacci数列的通项公式中，出现了(1+\：'5)一2和(1-、⑸一2等无理数，而它们运算以后的结果确是正整数，多么奇妙啊。2．Fibonacci数列与黄金分割数的关系。上面的两个无理数之间，存在着这样的关系：(1+V5)十2=[^5—1)十2]-1而G=(扁—1)一2就是著名的黄金分割数。因此，Fibonacci数列的通项公式又可以写成如下形式：F=[G-n+(—1)n+1Gn“厉可以验证，Fibonacci数列与黄金分割数之间还有如下的关系：FFFvGvvFFF2＜」＜V亠＜2n+1VV」V—LFFFFFF352n+12n+242LimFn\：5—1=GnsF2n+13．Fibonacci数列通项公式的其它形式。Fibonacci数列的通项公式还有其它形式，比如1-10011-10011-10F二01n+11-10000000000114・自然界中的Fibonacci数列。Fibonacci数列与自然界中的许多现象有着紧密的联系，比如：植物的分枝生长、向日葵种子的排列、花瓣的数量、••晶体的结构等。花瓣的数量，一般都是Fibonacci数以斐波那契螺旋方式的排列如果顺时针与逆时针螺旋的数目，是斐波那契数列中相邻的2项，可称其为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋。这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气。5．应用。Fibonacci数列在纯粹数学、运筹优化、计算机科学等领域具有重大的应用价值。本试验研究的是Fibonacci数列的变化规律，而数列本质上就是一些数据。因此，对于一般的数据（比如：从调查中获得的数据、从试验中获得的数据）,我们也可以参照这