量子力学学习指导

《量子力学》课程学习指导一、量子力学的建立与地位量子力学是将物质的波动性与粒子性统一起来的动力学理论，是20世纪初研究微观世界中粒子的运动规律时建立发展起来的。1900年，普朗克（M.Planck）研究黑体辐射引进了能量的量子化概念，假定物质和电磁场交换能量是以间断的形式（能量子）实现的，能量子的大小同辐射频率成正比E=h，比例常数h称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。1905年，爱因斯坦（A.Einstein）为解释光电现象，把普朗克的能量子说推进为光量子说，引进光量子（光子）的概念，并给出了光子的能量、动量与辐射的频率和波长的关系h丑E—hv=力①，P=—n—fk，此又称为爱因斯坦方程，其中力—h2k。由爱因斯坦方程出发，成功地解释了光电效应。其后他又提出固体的振动能量也是量子化的，从而解释了低温下固体比热问题。1913年，玻尔在卢瑟福有核原子模型的基础上建立起原子的量子理论。按照这个理论，原子中的电子只能在分立的轨道上运动，原子具有确定的能量，它所处的这种状态叫“定态”，而且原子只有从一个定态跃迁到另一个定态，才能吸收或辐射能量。这个理论虽然有许多成功之处，但对于进一步解释实验现象还有许多困难。在人们认识到光具有波动和微粒的二象性之后，为了解释一些经典理论对实物粒子无法解释的现象，法国物理学家德布罗意（deBroglie）于1923年提出微观粒子具有波粒二象性的假说。德布罗意认为，正如光具有波粒二象性一样，实体的微粒如电子、质子、中子、原子等，又称为微观粒子）也具有这种性质，即既具有粒子性也具有波动性。微观粒子的粒子性与波动性由德布罗意的基本假设式，即德布罗意关系式E=hv—力①，统一起来。由德布罗意关系式，再结合E=P2/'2m可以推得质量为m，动量为p的微观粒子的德布罗意波长入=h!\;2mE。德布罗意假说不久就被戴维孙（Davisson）和革末（Germer）的电子衍射实验所证实。由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。当粒子的大小由微观过渡到宏观时，它所遵循的规律也由量子力学过渡到经典力学。量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，一个物理体系的状态由波函数描述，波函数又称态函数或概率幅，态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。态函数一般是坐标和时间的复函数，它的模方表示粒子出现在空间各点处的概率，这表明微观粒子的波动性体现为概率波，与经典意义上的波动性有着本质的区别。为了描写微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程。1926年，薛定谔首先找到了这个方程新婆=Wdt称为薛定谔方程，该方程预言体系的行为。量子力学中的物理量由满足一定条件的、代表某种运算的厄米算符表示，当微观粒子处于某一状态时，它的力学量（如坐标、动量、角动量、能量等一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的概率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定，测量的可能取值由该力学量算符的本征方程决定，测量的平均值由一个包含该算符的积分方程计算。1927年，海森伯得出的测不准关系蕨•济小/2，对量子力学给出了进一步的阐释。采用狄拉克符号，态函数可表示为〈W|和忡），态函数给出的概率密度表示为P=W|W｝，粒子的概率流密度用j=*Gvw*—w*0w）表示，其概率为概率密度的空间积分。态函数可以按力学量算符的完备本征态矢展开|w）=UCn，其中|〃）为彼此正交n=1的空间基矢，满足正交归一性质（mn=8 。h/mn在势场与时间无关情况下，薛定谔方程通过分离变数后，得到不含时状态下的演化方程珈=即，称为定态薛定谔方程或能量算符（哈密顿算符）本征方程，E是能量本征A值，H是哈密顿能量算子。于是，经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。在寻找微观领域规律的历程中，人们从两条不同的道路建立了量子力学。1925年，海森堡基于物理理论只处理对可观察量的认识，抛弃了不可观察的轨道概念，并从可观察的辐射频率及其强度出发，和玻恩、约尔丹一起建立起矩阵力学；1926年，薛定谔基于量子性是微观体系波动性的反映这一认识，找到了微观体系的运动方程，从而建立起波动力学，其后不久还证明了波动力学和矩阵力学的数学等价性;狄拉克和约尔丹各自独立地发展了一种普遍的变换理论，给出量子力学简洁、完善的数学表达形式。关于量子力学的解释涉及许多哲学问题，其核心是因果性和物理实在问题。按动力学意义上的因果律说，量子力学的运动方程也是因果律方程，当体系的某一时刻的状态被知道时，可以根据运动方程预言它的未来和过去任意时刻的状态。但量子力学的预言和经典物理学运动方程（质点运动方程和波动方程）的预言在性质上是不同的。在经典物理学理论中，对一个体系的测量不会改变它的状态，它只有一种变化，并按运动方程演进。因此，运动方程对决定体系状态的力学量可以作出确定的预言。但在量子力学中，体系的状态有两种变化，一种是体系的状态按运动方程演进，这是可逆的变化;另一种是测量改变体系状态的不可逆变化。因此，量子力学对决定状态的物理量不能给出确定的预言，只能给出物理量的可能取值和取这些值的几率。在这个意义上，经典物理学因果律在微观领域失效了。据此，一些物理学家和哲学家断言量子力学摈弃因果性，而另一些物理学家和哲学家则认为量子力学因果律反映的是一种新型的因果性一几率因果性。量子力学中代表量子态的波函数是在整个空间定义的，态的任何变化是同时在整个空间实现的。20世纪70年代以来，有关远隔粒子关联的实验表明，类空分离的事件存在着量子力学预言的关联。这种关联同狭义相对论关于客体之间只能以不大于光速的速度传递物理相互作用的观点是相矛盾的。于是，有些物理学家和哲学家为了解释这种关联的存在，提出在量子世界存在一种全局因果性或整体因果性，这种不同于建立在狭义相对论基础上的局域因果性可以从整体上同时决定相关体系的行为。量子力学用量子态的概念表征微观体系状态，深化了人们对物理实在的理解。微观体系的性质总是在它们与其他体系，特别是观察仪器的相互作用中表现出来。人们对观察结果用经典物理学语言描述时，发现微观体系在不同的条件下，或主要表现为波动图象，或主要表现为粒子行为。而量子态的概念所表达的，则是微观体系与仪器相互作用而产生的表现为波或粒子的可能性。量子力学表明，微观物理实在既不是波也不是粒子，真正的实在是量子态。真实状态分解为隐态和显态，是由于测量所造成的，在这里只有显态才符合经典物理学实在的含义。微观体系的实在性还表现在它的不可分离性上。量子力学把研究对象及其所处的环境看作一个整体，它不允许把世界看成由彼此分离的、独立的部分组成的。关于远隔粒子关联实验的结论，也定量地支持了量子态不可分离。量子力学和狭义相对论的结合产生了相对论量子力学。经狄拉克、海森伯和泡利等人的工作发展了量子电动力学。20世纪30年代以后形成了描述各种粒子场的量子化理论一一量子场论，它构成了描述基本粒子现象的理论基础。从普朗克的量子论诞生至今，量子理论经历了百余年的风风雨雨与发展，其理论体系日臻完善。量子力学与相对论从上个世纪前期一起被誉为近代物理学的两大支柱，到20世纪中期发展成为整个近代物理学的共同理论基础，继而至20世纪末期拓展成为整个近代科学的共同理论基础。目前，这种拓展正在迅速进行中。量子力学和相对论的诞生，从根本上改变了人们关于时间、空间的传统观念，使我们对物质的运动形式和规律有了崭新的认识。量子力学不仅成功地解释了原子、原子核结构、固体结构、元素周期表和化学键、超导电性和半导体的性质等，而且促成了现代微电子技术的创立，使人类进入了信息时代；促成了激光技术、新能源、新材料科学的出现。量子力学这门学科的性质决定了它在科学技术乃至国民经济发展中的重要地位，深刻地改变着人类的观念以及人类社会的生产与生活。目前，它已广泛应用到从基本粒子、原子核、原子、分子、凝聚态物理直到中子星、黑洞各个层次的研究，并且现代技术一一从集成电路、电子计算机到量子计算机，从原子弹、氢弹到核电站，从激光技术、超导技术到纳米技术，无不以量子力学为其理论基础。可以说，量子理论已经成为支撑人类科学技术进步、提高人类物质文明、丰富人类精神文明的最重要的物理理论量子力学（非相对论量子力学）课程的内容主要包括三个方面：一是产生新概念的历史背景及一些重要实验。概括经典物理无法解释的实验事实，以及为解释黑体辐射而提出的“能量子假设”和普朗克公式，为解释光电效应而提出的“光量子假设”和爱因斯坦方程，为解释原子线状光谱和原子的稳定性而建立在“定态假设”和“量子跃迁假设”基础上的玻尔理论，还有对物理学的方法论进行了深刻反思之后提出的“德布罗意假设”及其实验证实。这一切为量子力学的诞生奠定了基础。二是提出一系列不同于经典物理学的基本概念与原理，研究量子力学中如何引入态矢和力学量算符来描述量子体系的特征，力学量的测量，量子力学在不同表象（以不同力学量算符的本征矢完备系为基底）的表述形式，以及自旋、全同粒子体系等问题。这是量子力学学习中的重点与难点。三是处理实际问题，主要包括讨论定态问题、跃迁问题与散射问题。定态问题是要寻找量子体系所有可能的稳定状态，求出其能级与波函数（束缚态）或反射系数与透射系数（非束缚态）；跃迁问题是考虑量子体系由一个给定的初态跃迁到另一个（或一组）末态的几率，由此获得光辐射与光吸收的有关规律（如跃迁几率、辐射强度、选择定则、能级寿命、谱线宽度等）散射问题是研究粒子间的碰撞，利用分波法和玻恩近似计算粒子的散射截面，通过对散射截面的分析可以获得有关微观粒子的相互作用和内部结构的信息。二、量子力学的学习当量子力学的初学者从物理经典理论大厦步入物质的微观领域的殿堂时，无不惊奇地发现，这里竟是一个崭新的世界，粒子的运作行为与日常生活经验有质的差异，甚至不可思议，宏观世界的因果规律不再直接适用于微观世界，经典物理学的基本概念和语言，已不能完备地描述人们脱离日常生活经验而间接地认识到的微观世界，使得人们感觉量子力学是一门难学的学科。一个普遍的困难是人们觉得它的物理概念抽象，物理图像不清晰。譬如，量子力学所用的语言是波函数和算符，经典力学中轨道的概念在量子力学中不复存在，不确定关系完全破坏了传统的决定论。诸如此类的新观念使初学者难以接受，在理解量子力学物理概念和掌握相应数学方法两方面都感到困难。要掌握量子力学的基本概念和原理，初学者首先需要自觉地破除经典观念的束缚，不应试图按经典的模式去认识、解释量子现象，要注重对产生新概念和原理的历史背景及一些重要实验的了解，从中了解人类当初是如何突破经典物理的局限而发现和认识量子力学规律的，仔细“品尝”量子力学概念和原理的“滋味”，体验量子力学是一门完全不同于经典物理学的新动力学理论，它的规律如此与常识相悖，它不可能由经典物理学“过渡”或者“引导”出来；领悟出微观世界理当如此，不可能不如此，自然地了解它，接受它。物理习题是锻炼物理思维的体操。做物理习题是学习物理课程中必要而又十分重要的环节，尤其是理论物理课程学习。索末菲《致海森堡》信中谈学习方法说“要勤奋地去做练习，只有这样，你才会发现，哪些你理解了，哪些你还没有理解”。我国著名科学家钱学森先生谈《科学技术工作的基本训练》指出“理论工作中主要是靠做习题来练，不做习题是练不出本领来的”。通过做习题可以巩固、丰富已经掌握的知识，发现你还不懂或懂得不够的地方，或是某些问题的某些侧面；它有助于深化对基本概念、基本原理的理解，使学到的知识更加融会贯通，锻炼处理问题的技巧，提高运用所学知识的能力，有助于拓宽知识面等。在四大力学的学习中，量子力学的学习有一种特殊的困难，这不仅在于量子力学中基本概念、基本原理和初学者的日常宏观观念差距很大，不容易理解，还在于量子力学的方法有时很新颖，其中包含不少物理和数学新技巧。于是，常常会造成听课还能听懂，但做起题来有时却是“老虎啃天-无从下嘴”。因此，在量子力学的学习中，必须重视做习题。量子力学的学习还要采用循序渐近、循环学习的方法。因为量子力学中某些概念和方法的严格表述是学习的较后阶段才给出的，开始可能出现存在着“夹生饭”现象，这只能通过反复学习才能解决。在量子力学学习中，如果对于基本原理和基本概念缺乏全面的理解，想掌握计算方法几乎是不可能的。对于初学者来说，要弄懂量子力学中的许多陌生概念，必须避免单纯的抽象理解，更不可钻牛角尖。对于学习者，如果发现自己在某个概念上“卡壳”了，克服这一障碍的最好途径是去研究与该概念有关的种种物理实例，并且自己动手去完成相应的练习。对书中的一些重要的例子，例如无限深势阱、势垒贯穿、一维谐振子、中心力场中运动的粒子、氢原子等，最好能把书合上自己动手推导一遍。对于量子力学，如果只去学它的理论体系，而不去完成必须的练习，那就好比一个人只懂得游泳的理论而自己从来不下水一样，那是无济于事的。三、学习内容提要与要求：第一章结论学习内容提要：光的波粒二象性的实验事实及其解释；通过黑体辐射、光电效应和康普顿散射等实验认识经典理论面临的困难，理解这样一个事实：光（电磁波）作为客观世界中存在的一种物质，不但具有早已被人们新认识的波动性质，而且具有“光量子”这样的粒子性质，即光的波粒二象性。粒子性特征（E,P）与波动特征（v，人）以E=加=枷,p=#n=hk两式不可分割地了解在一起，作为矛盾的双人方处于光的统一体内，而在不同的条件下，显示出矛盾的主要方面，或具有波动性，或具有粒子性。所以，在学习这部分时，不要使自己陷入这样的沉思：光到底是粒子还是波。原子结构的玻尔理论和索末菲的量子化条件；德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设；德布罗意波的实验验证：戴维孙-革末实验。从戴维孙一一革末的电子衍射实验和电子的单缝、双缝衍射实验认识物质粒子（如电子和分子）在具有粒子性一面外，还具有波动性的一面，即粒子具有波粒二象性。学习要求:了解光的波粒二象性的主要实验事实和德布罗意波的实验验证；掌握索末菲的量子化条件和德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。掌握德布罗意公式和德布罗意波E—hv=力①德布罗意关系：〈云h'广P=亍n—力k、人德布罗意波：w——1—U(万斤-&)P(2兀力)3/2第二章波函数薛定谔方程学习内容提要：波函数的统计假设和量子态的表示形式；态叠加原理的内容及其物理意义；薛定谔方程和定态薛定谔方程的一般形式；粒子流密度的概念及粒子数守恒的物理内容；一维薛定谔方程求解的基本步骤和方法；几个典型的一维定态问题：一维无限深势阱、宇称的概念；一维有限方势阱；一维谐振子；一维方势垒。学习要求：理解与掌握量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时的不同观念、波函数及其统计解释与叠加原理及其物理意义微观粒子的运动状态用一个称为“波函数”的函数描述，波函数是微观粒子物理状态的最详尽描述。至少在目前量子力学框架中，我们不能获得比波函数更多的物理信息。因此波函数可被看成粒子状态的最终完全描述。但必须强调，波函数给出的有关粒子的“最终”知识本质上都是统计性质的，而且满足量子力学中一条根本原理一一叠加原理。这条原理告诉我们，两种状态的叠加，决不是概率相加，而是带有相位的复值波函数的叠加。正因为如此，在双缝衍射实验中，我们才能看见屏上的干涉花纹。应注意，粒子的波动性只是一种“概率波”，或者干脆说只是一种概率分布而已。这可结合电子单缝衍射实验现象加以理解。掌握薛定谔方程；了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位。、含时薛定谔方程物理体系在其外部环境条件完全确定的情况下，体系的初始状态应该唯一地决定以后的状态。这就要求描述状态变化的方程是时间的一阶微分方程，在量子力学中就是薛定谔方程3Wih =Hv一h2_ ，一、其中H=——V2+U(r,t)2日为了求得体系状态的时间发展，我们必须从已知初态，解薛定谔方程有初始条件的问题。］洗告=伽(t)Iv(t=0)=v0求得v(t)。、定态和定态薛定谔方程，定态谔定谔方程和薛定谔方程的关系；波函数和定态波函数的关系。几率流密度的概念及粒子数守恒。3、 掌握一维薛定谔方程求解。对于求解一维薛定谔方程，应掌握边界条件的确定和处理方法。关于一维定态问题要求如下：.掌握一维无限深势阱的求解方法及其物理讨论；.掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点；.了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释。第三章量子力学中的力学量学习内容提要：众所周知，经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函刎这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。仙并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念一一力学量算符，用它表示量子力学中的力学量。算符与波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。学习的主要内容包括：动量算符的表示形式及其与坐标算符间的对易关系；角动量算符的表示形式及对易关系；动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和用8函数归一化； ca 角动量算符L和L的本征值问题、体征函数及本征值；z电子在库仓场中运动的本征值问题及其求解的基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简并度；并由此讨论氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率分布；电离能和里德伯常数；量子力学中力学量与线性厄米算符；厄米算符的本征函数组成正交完备集；在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；不确定关系及其应用；守恒量。学习要求：这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我们学习中的重点。在学习这部分时要重点掌握以下内容：一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：力学量用算符表示（线性厄米算符），状态用厄米算符本征态表示；三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； .... 一..二―二- △四个力学量算符的本征态、本征值：坐标x或,，动量P或P，角动量L及£z，能一 二量（哈密顿量H）。这部分难点是任意态W（x,t）与力学量算符本征态甲n及力学量测量值的概率忙J的区别。讨论微观状态W中某一力学量F的测量值时，掌握的内容主要有一个关系：力学量算符之间的对易关系（特别是坐标算符与动量算符的对易关系，角动量算符对易关系）三个定理：（1）共同本征态定理（包括逆定理）（2） 不确定关系（3） 力学量守恒定理第四章态和力学量的表象学习内容提要：根据量子力学基本原理，量子力学的状态用波函数描述，力学量用线性厄米算符描述。在第一、二、三章的讨论中，波函数和力学量算符是以坐标这个力学量算符的本征值谱x（一维为例）为变量而写出其具体形式的。那么，是否可以选择其它力学量呢？回答不但是肯定的，而且是必要的。因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）往往会给运算带来很多方便。量子力学中状态和力学量的具体表示方式称为表象。我们经常接触到的有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象。学习的主要内容包括：态的矩阵表示；算符的矩阵表示；量子力学公式的矩阵表示。表象间的变换。独喇克符号线性谐振子与占有数表象学习要求：。本章重点掌握的内容有：一个定义：表象的定义二个表示：|态在任意表象中的表示；L算符在任意表象中的表示。三个公式： 平均值公式］本征值方程在任意表象中的表示。薛定谔方程而幺正变换作为综合性内容，重点掌握其性质。本次辅导的重点在“二个表示”。难点在于表象与力学量的分辨。由于我们所采用的数学工具主要是矩阵，所以这一部分又称为矩阵力学。了解独喇克符号的引入及应用线性谐振子的代数解法，掌握产生、湮灭算符及应用第五章微扰理论学习内容提要：本章重点讨论两种应用最广的近似方法：微扰论和变分法。微扰论是各种量子力学近似方法中最基本的一种，它的许多结果几乎成为量子力学理论的组成部分。变分法则特别适用于研究体系的基态。变分法可以和微扰论配合使用，得出精确度的较高的结果。本章重点是非简并定态微扰理论，对于简并态微扰，变分法及含时微扰等要基本了解。学习要求：掌握非简并定态微扰理论波函数一级修正和能级一级、二级修正的计算。对于简并的微扰论，应能掌握零级波函数的研定和一级能量修正的计算。能解释氢原子一级斯塔克效应。了解定态微扰论的适用范围和条件；了解变分法及其对氦原子基态的研究关于与时间有关的微扰论要求如下：了解由初态也跃迁到末态七的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的表达式;理解由微扰矩阵元H。0可以确定选择定则；理解能量与时间之间的不确定关系：^EAt~h。理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由也态跃迁到甲f态的辐射强度均与矩阵元rf^i的模平方rfi2成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量数