全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第10讲整式的乘法与除法教育

全国初中数学竞赛辅导（八年级）教学案全集第十讲整式的乘法与除法中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似.例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用.通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力.为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法.整式是多项式和单项式的总称.整式的乘除主要是多项式的乘除.下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析.正整数指数幂的运算法则：; ;~ W0 > ；fn__IL⑵H段0).常用的乘法公式:(3)《a±b)(/不ab+b2)二京±土土 土；展开后，项的系数.解-- - ---）因为项只在--中出现，所以只要看-- -中项的系数即可.根据乘法公式有，所以项的系数为3说明应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利.9例2先化简，再求当国=■.时的值..解原式- - --- -说明注意本例中- -力-8例化简— —…-，其中为大于的整数.解原式- -•••—说明本例可推广为一个一般的形式:- •••例计算分析与解 这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合.原式

TOC\o"1-5"\h\z-的结果是-,这个结果与多项式-相乘时，不能直接应用公式，但- -与前两个因式相乘的结果-相乘时就可以利用立方差公式了.原式- - --•-- - ,例设x,为实数，且的值.4+1)(7+1)(/+1)(yz+1)(ex+l)(xy+1)的值.4+1)(7+1)(/+1)解先将已知条件化简：左边 ---右边 ---所以已知条件变形为- - -即 -因为，，均为实数，所以 .所以所求代数式=更:i:'珪二t△二J」)所示代敖汉-伊+及匕+.肌3+]).说明本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处.我们把形如为非负整数的代数式称为关于的一元多项式，常用x）表示一元多项式.多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法.像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念.一般地，一个一元多项式 除以另一个一元多项式 时，总存在一个商式 与一个余式 ，使得 成立，其中的次数小于 的次数.特别地，当 时，称能被整除.例设-, ---1求用去除所得的商及余式.解法用普通的竖式除法鼠颜,一…我。―2笠+1）--含。一莘一1?26'—x因此，所求的商qQ）= -1-x,余式f（国）=-|.解法用待定系数法.由于为次多项式，首项系数为，而 为次，首项系数为3,故商q 必为1次，-首项系数必为而余式次数小于2.于是可设商式q（混）=+a,余式根据,、1=(3区叱2文+1)—+a+(.bx+c)TOC\o"1-5"\h\z13 1fr 2) ( i¥、簸=窜3+ga_—'x?+b-2a+--^+(a+c).I闾 l #-4-比较两端系数，得"2口自一三=>3，1《b-2a+：-=-1,a+c=-1.解得a=V，b=C="|,故商式q(Q=9"春余式r(Q,26.2=--X-—■TOC\o"1-5"\h\z9 9例试确定和，使-能被整除.解由于 ，因此，若设- ,假如能被 整除，则 和必是