函数的单调性

5．3导数在研究函数中的应用5．3.1函数的单调性1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的

多项式函数的单调区间.3.通过对函数单调性的判断，培养数学运算、数学抽象和直观想象素养.(一)教材梳理填空1．函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递___f′(x)＜0单调递___增减[微思考]

(1)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？提示：函数f(x)是常数函数．但是在某个区间内，若仅有个别点处有f′(x)＝0，则不能判定函数f(x)是常数函数．(2)如何从导数的几何意义理解函数的单调性与导数正负的关系？提示：如果f′(x)＞0，即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，因此，函数单调递增；如果f′(x)＜0，即切线的斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，因此，函数单调递减．2．函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：[微思考]在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．导数的绝对值函数值变化函数的图象越大___比较“_____”(向上或向下)越小___比较“_____”(向上或向下)快陡峭慢平缓(二)基本知能小试1．判断正误 (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．

(

) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．

(

) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．

(

)答案：(1)×

(2)×

(3)√2.导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是

(

)解析：当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．故选D.答案：D

3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是

(

)A．(－∞，2)

B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案：D题型一函数图象与导函数图象的关系

[学透用活][典例1]

(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为

(

)(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(

)[方法技巧]研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，一般要从以下两点入手：(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；若f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值就越大，不是f′(x)的值越大．[对点练清]1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象

可能为

(

)解析：∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)上单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.答案：C

2．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(

)A．在区间(－2,1)上，f(x)单调递增B．在(1,2)上，f(x)单调递增C．在(4,5)上，f(x)单调递增D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增解析：由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是单调递增；当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是单调递减．故选B、C.答案：BC

题型二判断或讨论函数的单调性

[学透用活](1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.[方法技巧]1．利用导数判断或证明函数单调性的思路2．含有参数的函数单调性的解题技巧讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论，但要始终注意定义域以及分类讨论的标准．含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式Δ及根的大小关系等方面进行讨论．

[对点练清]1．求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．证明：因为f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0，故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(－∞，0)时，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0，故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．[方法技巧]求可导函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)，并写出解集；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

[对点练清]1．函数f(x)＝x3－12x＋8的单调增区间是

(

)A．(－∞，－2)，(2，＋∞)

B．(－2,2)C．(－∞，－2) D．(2，＋∞)解析：∵f(x)＝x3－12x＋8，∴f′(x)＝3x2－12.令f′(x)>0，得x<－2或x>2，因此，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故选A.答案：A

题型四已知函数的单调性求参数范围

[探究发现](1)若已知函数f(x)在[a，b]上为增函数，那么其导函数f′(x)在[a，b]的值如何？提示：f′(x)≥0.(2)若已知函数f(x)在[a，b]上为减函数，那么其导函数f′(x)在[a，b]的值如何？提示：f′(x)≤0.

[学透用活][典例4]已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围；(3)若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．[方法技巧]1．利用导数法解决参数问题的思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.

[对点练清]1．[变条件]本例中，函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．解：因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，即a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．2．[变条件]本例中，函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．三、创新性——强调创新意识和创新思维3.(多选)若函