日本内文书《割圆八线互求法》的版本与成书

日本内文书《割圆八线互求法》的版本与成书

2007年3月，郭世荣在日本参加东亚数学史国际会议时，阅读了八线互法的计算书。回国后，他请日本前桥京工业大学的教授小林龙彦帮助复制本书。2008年,小林龙彦将两部算书的复印件寄到内蒙古,一本名为《割圆八线互求法》,似抄本,未标明著者,藏于内阁文库(9612)(图1),不分卷,但有两个起始页,应该是分为两部分。另一本名为《八线互求法》,手抄本,分上下两卷,分别标注“崇祯类书五十四、五十五”,书内另标有书名《割圆八线互求法》,且有“徐光启校阅”字样,在东京大学图书馆(370253)(图2)和东北帝国大学图书馆(林集书918)(图3)都有收藏。两部书均无序、跋。小林龙彦在信中说:一本写有徐光启编著,一本没有,所以现在还不能断定此书是否与徐光启有关,希望中国数学史研究者将这一问题解决。多年前,小林龙彦已指出两部书卷数不同但内容一致。在国内仅见冯立昇做过简要介绍,李迪《中国算学书目汇编》亦未见著录。已有研究均认为两部书归属《崇祯历书》,没有过多的考述它们的由来。由于《八线互求法》在文字上多有错误,且书内另标有“割圆八线互求法”,可以判断出《八线互求法》抄自《割圆八线互求法》。下面将以《割圆八线互求法》为主,介绍书中数学内容,并对《割圆八线互求法》、《八线互求法》成书问题进行探讨。1必须注意三角公式的求解《割圆八线互求法》卷首给出求正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢八个三角函数公式1,除正、余矢外,每组四个公式。之后,将平面三角形分为勾股形、锐角形、钝角形三类,按顺序依次介绍平面三角学边角互求法、三角求积、容圆径、容方径、外切圆等相关问题。全部解法都是以构造勾股形为基础,以三率法结合八线关系求解,有些题涉及正弦定理,在“三边求角”一题“附三较求角术”中,用“半角定理”求解;在锐角形求积又一术“用三较连乘法”中,用“海伦公式”求解。此外还附有“分角术”、“三点串圆”、“作外切圆”等作图法。全书只介绍题目、解法,没有相关定理的证明,内容较为简单。最后一部分是测高、测远、测深、测斜坡等测量术。先利用仪器窥得角度,然后根据前面介绍的三角函数关系式以及平面三角形边角互求法求解问题。如“递数测高”(图4)术:假如有高山如丁壬,欲从甲处测之,而为近山乙庚所掩,及登乙庚近山之巅望之,复为丙丑山所掩,及登丙丑山望之,又无平路可以进退,止可延坡而下至子望见丁壬山,仍隔深苦不知其远。首先根据“测不知远之高”法,从甲、戊处安仪器,测得甲角、戊角、甲戊,求出乙庚:∠乙=∠戊-∠甲,sim∠乙甲戊=sim∠甲乙戊⇒sim∠乙甲戊=sim∠甲乙戊⇒乙戊;乙庚=乙戊sin∠戊。再用“测知远之高”法,从乙处安仪器,测得乙角、乙癸2,用正切求出丙癸(此处原书从乙处安仪器,测得乙角、乙丙,用正弦求出丙癸,有误)。根据“斜坡上测高”法,从丙、子处安仪器,测出午角、未角、酉角、丙子长,在△子丙丁中,∠丙=∠午3+∠未,∠子=180°-(∠未+∠酉),∠丁=180°-(∠子+∠丙),由正弦定理sim∠丁丙子=sim∠子丁丙⇒sim∠丁丙子=sim∠子丁丙⇒丁丙;在△丙丁己中,丁己=丁丙sin∠午。最后,丁壬=乙庚+丙癸+丁己,求出山高。2角公式与《平三角举要法》《割圆八线互求法》中少数地方文字、算式有误,绝大部分字迹工整、算法正确、图形清晰。该书除卷首八线互求法外,平面三角学边角互求法,三角求积、容圆径、容方径、外切圆、测量法等内容的编排顺序与梅文鼎(1633—1721年)所著《平三角举要》一致,题型、解法也多有类似,甚至很多地方具有几乎相同的图形与表述(表1)。由表1可看出:《割圆八线互求法》和《平三角举要》上述内容除个别用词不同外,陈述、解法、图形,甚至图形中所用天干地支完全相同(如图5中所示,图a、b、c出自《割圆八线互求法》,图a’、b’、c’出自《平三角举要》)。由此可推断两书存在因袭关系。两书最大的不同在于,《割圆八线互求法》题型分类繁杂、解题方法不精,整体数学水平明显没有《平三角举要》高。如在锐角三角形边角互求问题中,《平三角举要》只针对“两角一边”、“一角两边”和“三边求角”即将全部问题解决,而《割圆八线互求法》列举了“两边一角”、“两角一边”、“两角夹一边”、“两边夹一角”4种情况解决问题,却漏掉“三边求角”问题。另外,在钝角形中,《割圆八线互求法》没有充分理解“钝角用外角正弦”的方法,导致其边角互求解法十分麻烦。更为重要的是,《平三角举要》专设一卷“或问”,给出相关三角公式的证明,但《割圆八线互求法》全书都没有对任何公式进行证明。以上分析给我们一个感觉,《割圆八线互求法》成书年代似乎在《平三角举要》之前,然而前者书中存在的几处纰漏却证明《割圆八线互求法》源于《平三角举要》。首先,《割圆八线互求法》版心处有“三角”字样(图5a),按照常理,“三角”应该是这本书的书名或者书名的简称,但该书名为《割圆八线互求法》,无论如何也不能简称为“三角”。在日本(,187页)、朝鲜半岛流传的梅文鼎平三角著作,书名大都是《三角法举要》。根据《勿庵历算书目》记载,《平三角举要》原名为《三角法举要》,后《梅勿庵先生历算全书》和《梅氏丛书辑要》两书的编者才将其改名为《平三角举要》。另,清华大学图书馆新发现梅文鼎早年《中西算学通初集》刻本,内有《三角法》一书。其次,《割圆八线互求法》一书中图形用字颇为奇特,现举一例。在“三角形求容方”一题的图形中(图5b),分别用了甲、乙、丙、丁、戊、癸,子、丑等8个并不连续的干支来表示交点,非常不符合用字习惯,但是将此图与《平三角举要》中对应题目图形(图5b’)进行比对,这一疑惑豁然而解。显然《割圆八线互求法》中的图形来自《平三角举要》。第三,《割圆八线互求法》虽然使用和《平三角举要》中相同的三角定理,但在解题过程中作者行文与定理并不一致。如《割圆八线互求法》在“锐角形两边夹一角”一题中附有“分外角术”,叙述与《平三角举要》“用切线分外角”法大体相同,其实质是正切定理的应用。但在其后根据“分外角术”解题时,却与该定理大相径庭。如图6所示,甲乙丙三角形有甲丙、乙丙两边和夹角丙,求余边余角。《割圆八线互求法》的解法是,以甲丙边分别乘丙角正余弦,得甲丁垂线和丙丁长。以乙丙减丙丁得乙丁,以丙丁除以甲丁得“甲左分角度”正切,再以乙丁除以甲丁得“甲右分角度”正切,“以两分角相并得甲全角”。该解法显示作者没有弄懂“分外角术”。由此可见《割圆八线互求法》的作者见过“用切线分外角”法,但是并没有理解。这是该书源自《平三角举要》的又一例证。3日本算法与《八线互求法》经过上面的分析,我们大体上可以肯定《割圆八线互求法》源自《平三角举要》(或者二者有共同的来源,但是这种可能微乎其微)。《割圆八线互求法》的作者是在学习《平三角举要》的基础上完成该书的,但是书中也存在《测量全义》中的数学知识,如钝角形“三边求角”术,与《测量全义》卷1第5题相同,作者或许学习过《测量全义》。这种方法在《平三角举要》中并未介绍,《数理精蕴》也只有类似方法。较为难得的是书中尚有作者自己的理解与领悟。如书中三角形解法弦、切、割、矢均有用到,而测高、测远、测深、测斜坡等测量法更与《平三角举要》大不相同,不但题目设计有异,方法差别也很大,是该书较为精彩的部分。《八线互求法》无疑是抄自《割圆八线互求法》,两书均在《平三角举要》之后成书,不可能经徐光启校阅。《割圆八线互求法》、《八线互求法》两书仅在日本有藏,国内从未得见。向井富编《商舶载来书目》(文化元年,1804年)中有享保12年(1727年)《割圆八线互求法》、《割圆勾股八线之表》、《割圆八线之表》一同舶载来日的记载,据此可以推断《割圆八线互求法》成书应在1727年之前。《割圆八线互求法》的作者应该是与梅文鼎同时代或稍晚的中算家,研读过梅氏早年间的三角学著作《三角法》或《平三角举要》,由于资料有限,这一问题还需进一步研究。《八线互求法》作伪者的身份很难判断。中国国家图书馆现存一本托名徐光启的伪书——《定法平方算术》,作伪者将《数理精蕴》卷11中的“平方”和“带纵平方”两节摘录出来欺骗世人。新发现的《八线互求法》又是一本托名徐光启的伪书。我们判断作伪的可能性有二:一是故意而为,1726年,日本德川吉宗(TokugawaYoshimune,1684—1751年)大量购进中国汉译西方科技典籍,有人将《割圆八线互求法》改头换面,并写上“徐光启校阅”的字样,制造、贩卖伪书,牟财射利。二是无心之作,日本人购书回国后,没有仔细分辨书籍的年代,将《割圆八线互求法》误认为是《崇祯历书》中的一本算学书,抄为《八线互求法》,并写上“《崇祯类书》”、“徐光启校阅”等字样,以至误导后人。尽