不同函数增长的差异市赛一等奖

443不同函数增长的差异激趣诱思知识点拨一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题:现在有一套房子,价格200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能一共攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款,收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子A5年B7年C8年D9年E永远买不起房子的价格逐年构成什么样的函数这个人的逐年收入构成什么函数你能给出这道题的答案吗为什么激趣诱思知识点拨知识点、三种常见函数模型的增长速度比较

函数性质

y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度y=ax(a>1)的增长速度最终会大大超过y=kx(k>0)的增长速度;总存在一个x0,当x>x0时,恒有logax<kx增长结果存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax激趣诱思知识点拨微思考存在一个0,当>0时,为什么a>n>logaa>1,n>0一定成立提示:当a>1,n>0时,由y=a,y=n,y=loga的增长速度,知存在0,当>0时,三个函数的图象由上而下依次为指数、幂、对数,故一定有a>n>loga微判断1当每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是的一次函数2函数y=log2增长的速度越来越慢3不存在一个实数m,使得当>m时,>100答案:1√2√3×激趣诱思知识点拨微练习函数y=2与函数y=ln在区间0,∞上增长较快的是

答案:y=2探究一探究二探究三素养形成当堂检测几种函数模型增长的差异例11下列函数中,增长速度最快的是Ay=2021 By=2021Cy=log2021 Dy=20212四个自变量y1,y2,y3,y4随变量变化的数据如下表:则关于呈指数型函数变化的变量是

x151015202530y1226101226401626901y22321

02432

7681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:1比较指数函数、幂函数、对数函数和一次函数的图象,指数函数增长最快2以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象图略,可知变量y2关于呈指数型函数变化答案:1A2y2探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟常见的函数模型及增长特点1线性函数模型:线性函数模型y=b>0的增长特点是直线上升,其增长速度不变2指数函数模型:能用指数型函数f=abca,b,c为常数,a>0,b>1表达的函数模型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”3对数函数模型:能用对数型函数f=mloga十nm,n,a为常数,m>0,>0,a>1表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”4幂函数模型:能用幂型函数f=aαba,b,α为常数,a≠0,α≠1表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1下列函数中随的增大而增长速度最快的是By=100lnCy=100 Dy=100·2解析:指数函数y=a在a>1时呈爆炸式增长,并且a值越大,增长速度越快答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测不同函数模型的实际应用1增长曲线的选择例3高为H,满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示现其底部破了一个小洞,,则函数V=fh的大致图象是探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:=H时,体积是V0,故排除A、变化的过程中,V的变化刚开始时增长速度越来越快,类似于指数型函数的图象,后来增长速度越来越慢,类似于对数型函数的图象,综合分析可知选B项答案:B反思感悟函数增长快慢对函数曲线的影响随着自变量的增大,如果函数值增长越来越快,则函数的图象越“陡”,类似于指数函数的图象;如果函数值增长越来越慢,则函数的图象越“缓”,类似于对数函数的图象探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3min漏完已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的高度,则H与下落时间t单位:min的函数关系表示的图象只可能是探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:由题可知液体漏入桶中的速度是常量,即圆锥体中减少的液体体积与时间成正比,图中,图象在某点的斜率表示该点的速度,只有B项斜率增大,因此B项正确答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测指数爆炸与生活哲学指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质对指数运算不熟悉的人,在估计指数运算的值时,可能会出现比较大的误差例如,你能猜出以下各指数运算的值都大概是多少吗101365≈102365≈099365≈101219×098146≈09550≈探究一探究二探究三素养形成当堂检测有意思的是,如图所示,有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学,你觉得有道理吗101365≈3778

099365≈003

积跬步以至千里

积怠惰以至深渊102365≈137741

101365≈3778

多百分之一的努力

得千份收获101219×098146≈046三天打鱼两天晒网终将一无所获09550≈008如果每次失败的概率是95%连续失败50次的概率不到8%探究一探究二探究三素养形成当堂检测1某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间的关系,可选用A一次函数 B幂函数C指数型函数 D对数型函数解析:初期利润增长迅速,后来增长越来越慢可用对数型函数模型来反映调整