第三章 导数与微分(外)

§3.1

引出导数概念的例题§3.2导数的概念§3.3导数的基本公式与运算法则§3.4高阶导数§3.5函数的微分第三章导数与微分§3.1引出导数概念的例题(一)变速直线运动的瞬时速度时速度的关系为设一物体作直线运动,其运动的路程和时间求该物体在某一时刻的瞬为此,让时间由

变化到其平均速度为:

此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值

t越小

近似的程度就越好

(二)

曲线的切线的斜率因此,当

t

0时

极限就是物体在t0时刻的瞬时速度.

求曲线y=f(x)在点P(x0

y0)处的切线的斜率

在曲线上另取一点Q(x0+

x

y0+

y)

作割线PQ

设其倾角为观察切线的形成

演示

当

x

0时

动点Q将沿曲线趋向于定点P

从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线PT

此时割线PQ的斜率趋向于切线PT的斜率

上面两个例子的实际意义完全不同，但从抽象的数学关系来看，其实质是一样的，都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于零时的极限，数学上把这种极限叫做函数的导数．即如果极限§3.2导数的定义(一)函数在一点处的导数定义3.1设函数在点的某个邻域内有定义，存在，

即如果令如果上述极限不存在,则称该函数在点不可导.又可以表示为则在点的导数值称为函数在点处的导数，记作则称函数在点处可导，其极限导数的其它定义式:导数的定义式:有了导数的概念后，前面两个问题便可叙述为:

由导数定义可得求导数的步骤:（3）求极限:（2）计算比值:（1）求函数的改变量:就是函数在点处的导数即（2）曲线在点处的切线的斜率导数即速度

就是路程函数在处的（1）作变速直线运动的物体在时刻的瞬时

例1

求函数f(x)=x2在点x=2处的导数

解

..导数的定义式:或

定义3.2如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值

则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数

简称导数

记作提问:1.导函数的定义式如何写?

(二)

导函数的定义答2.f

(x0)与f

(x)是什么关系?就是其导函数在点处的函数值,即函数在点处的导数答:例2设求解:由此可见(三)导数的几何意义法线方程为:即

这就是导数的几何意义．程为:因此，曲线在点处的切线方在点处的切线斜率函数在点处的导数就是曲线

其中

例3

求曲线f(x)=x2在点x=2处的切线方程.解:由例1得切线的斜率因此切线方程为:即法线方程为:即从而,法线的斜率为:练习:求曲线f(x)=x3在点x=1处的切线方程.(四)

左右导数导数与左右导数的关系:

函数f(x)在开区间(a

b)内可导是指函数在区间内每一点可导

函数f(x)在闭区间[a

b]上可导是指函数f(x)在开区间(a

b)内可导

且在a点有右导数、在b点有左导数

函数在区间上的可导性:应注意的问题:

这个结论的逆命题不成立

即函数y=f(x)在点(五)可导与连续的关系

定理3.1如果函数y=f(x)在点x0处可导

则它在点x0处必连续

x0处连续

但在点x0处不一定可导

结论:1.可导一定连续

2.不连续一定不可导

3.连续不一定可导

右导数左导数显然两者不相等,因为:如函数连续，但不可导．所以不存在(见图).解:又例4设所以在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.

1．常函数的导数即例如:§3.3导数的基本公式与运算法则2.幂函数例1求下列函数的导数.解:的导数:练习:3．正弦函数的导数:余弦函数的导数:特别地，当时，有

4．对数函数的导数例:5．指数函数的导数:特别地，当时，有例:

(二)导数的四则运算法则1．代数和的导数

注1:该法则可以推广到有限多个函数代数和的情形.解:例1设求且则也是的可导函数，如果都是的可导函数，

注2:该法则可以推广到有限多个函数乘积的情形.如:2．乘积的导数则也是的可导函数，且特别地，当时，则有如果都是的可导函数，解:例2

设求

3．商的导数且例3设求如果都是的可导函数，则也是的可导函数，且解:解:例4

设

求即同样方法可以求出解:．

例5

设

求(三)复合函数的导数或

注1:这个公式可以推广到两个以上函数复合的情形．么复合函数也在点处可导,而函数在对应的点处可导，定理3.2如果函数在点处可导,那且有例1求下列函数的导数.显然是由解:显然是由两个函数复合的,因此三个函数复合而成的,因此

注2:对于复合函数的求导，在运用公式熟练之后，计算时就不必写出中间变量了．解:把该函数先看作以下两个函数复合而成的:再把看作以下两个函数复合的:例2

求的导数．解:例3

求的导数.显函数与隐函数

形如y

f(x)的函数称为显函数

例如

y

sinx

y

lnx

ex

都是显函数

由方程F(x

y)

0所确的函数称为隐函数

例如

方程x

y3

1

0确定的隐函数为(四)隐函数的导数有些隐函数不能化成显函数,例如由直接由方程求出其导数的方法.现在,介绍一种不用将隐函数化为显函数就可以确定的隐函数.隐函数的求导方法：解之得

解：方程求导数，的两边同时对的导数.例1求由方程所确定的隐函数得到隐函数的导数.及和的一个方程从中解出即在求导过程中，把看成的函数，可得到包含将方程两边逐项对自变量求导数，即得提示:

解之得

练习:求由方程确定的隐函数的导数及y

|x=0

解:方程两边对求导，得因为当x

0时

从原方程得y

1

所以即(五)反函数的求导法则定理3.3

如果函数x

f(y)在某区间Iy内单调、可导且f

(y)

0

那么它的反函数y

f

1(x)也可导

并且

例1

证明(arcsinx)

证:

因为y=arcsinx是x=siny的反函数

所以

例2证明(arctanx)

证:

因为y=arctanx是x=tany的反函数

所以反函数的求导公式:

练习:求

y=2x·arctanx的导数.

方程两边先同时取自然对数，然后将取了对数的结果利用对数的性质进行充分化简,最后将化简后的结果看作隐函数,应用隐函数求导法求出其导数．(六)取对数求导法

解:函数两边取对数,得构成的比较复杂的函数及幂指函数的求导．用法:常用于几个因式通过乘、除、开方所例1求函数的导数.

注:即即有另解:两边同时对求导,得即(即转化为复合函数)(即转化为隐函数)于是

即上式两边对求导，得例2

求指数函数的导数.解:

两边取自然对数并化简，得特别地，当时，有同理,幂函数的导数为:于是

例3

求函数的导数.解:上式两边对求导，得两边取自然对数，得化简,得(七)

由参数方程所确定的函数的导数

设x

j(t)具有反函数t

j-1(x)

且t

j-1(x)与y

y(t)构成复合函数y

y[j-1(x)]

若x

j(t)和y

y(t)都可导

则例1求圆在对应于点处的切线方程.解:所求切线方程的斜率为切点的坐标为切线方程为(七)基本导数公式(7)(8)(3)(4)(1)(2)1.基本初等函数的导数(为常数)

(5)(6)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)

2．导数的四则运算法则(八)综合举例:例1设求解:解:例2设求例3由求解:例4设解:当时,当时,当时,不存在.

习题3-32．求下列函数的导数：(1)(2)(3)3．求下列函数的导数：1.用导数的定义求下列函数在给定点的导数在点处在点处(1)(2)(3)(4)4．求下列复合函数的导数：(7)(8)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(1)(2)(1)(2)5．求下列方程确定的隐函数的导数：求6．求下列函数的导数：7．求曲线在点处的切线方程和法线方程．§3.4高阶导数或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．函数的一阶导数．相应地，把的导数叫做它的导数为函数的二阶导数

,记作如果导函数仍是的可导函数，则称数，记作类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数.一般地函数的阶导数的导数叫做函数的阶导解:例1

求函数的二阶导数．三阶导数:解:因为所以例2

求的阶导数．特别地,当时,有解:因为所以例3

求函数的阶导数．例4

求正弦函数sinx和余弦函数cosx的n阶导数

解

y

sinx

一般地

可得§3.5函数的微分

函数的导数表示函数关于自变量变化的快慢程度(变化率)．但在许多情况下，需要考察或者估算函数改变量的大小，特别是当自变量发生微小变化时函数改变量的大小．这就需要引进微分的概念．

一、微分的概念引例已知正方形的面积一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的基本公式与运算法则四、微分的形式不变性五、微分在近似计算上的应用其边长由变化到是边长的函数若正方形的面积改变的近似则面积相应的改变量为:如图中蓝色部分区域即表示很微小时,当问正方形的面积改变了多少?值是多少?当边长由变化到可以把分成两部分:近似地表示即因此,当很少时，第二部分:(图中深的线性函数(图中浅蓝部分)，第一部分:是时，当蓝部分)，是比较高阶的无穷小量,可用

设函数y

f(x)在某区间内有定义

x0及x0

Dx在这区间内

如果函数的增量Dy

f(x0

Dx)

f(x0)可表示为Dy

ADx

o(Dx)

其中A是不依赖于Dx的常数

o(Dx)是比Dx高阶的无穷小

那么称函数y

f(x)在点x0是可微的

而ADx叫做函数y

f(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分

记作dy

即dy

ADx

微分的定义

函数f(x)在点x0可微

函数f(x)在点x0可导

函数在点x0的微分一定是dy

f

(x0)Dx

可微与可导的关系:y

f(x)在点x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=ADx

这是因为

一方面

另一方面其中a

0(当Dx

0)

且A=f(x0)是常数

aDx

o(Dx)

,

函数y

f(x)在任意点x的微分

称为函数的微分

记作dy

或df(x)

即dy

f

(x)Dx

例如

dcosx

(cosx)

Dx

dex

(e

x)

Dx

自变量的微分

因为当y=x时

dy=dx=(x)

Dx=Dx

所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分

记作dx

即

dx

Dx

因此

函数y

f(x)的微分又可记作

dy

f

(x)dx

exDx

sinx

Dx

例1求下列函数的微分解:(1)因为所以可见,函数的导数即是函数的微分与自变量的微分的商,因此常常把导数也称为微商.的关系.它反映了函数的微分与其导数之间到注:对两边同时除以得解:解之得故并把看作的函数,得(2)

方程两边同时对求导,例2

已知求及二、微分的几何意义当x从x0变到x0+Dx时

Dy是曲线上点M的纵坐所以dy是过点(x0

f(x0))的切线上点的纵坐标

当|Dx|很小时

|Dy

dy|比|Dx|小得多

因此

在点M的邻近

我们可以用切线段来近似代替曲线段

标的增量;而的增量.同时有

根据定义，函数微分就是函数导数与自变量微分之积，所以由导数的基本公式和运算法则得到相应的微分基本公式和运算法则．

（9）

三、微分的基本公式与运算法则d(x

)

x

1dx

d(sinx)

cosxdx

d(cosx)

sinxdx

d(tanx)

sec2xdx

d(cotx)

csc2xdx

d(secx)

secxtanxdx

d(cscx)

cscxcotxdx

d(a

x)

ax

lnadx

d(e

x)

exdx

(x

)

x

1

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx(tanx)

sec2

x

(cotx)

csc2x

(secx)

secxtanx

(cscx)

cscxcotx

(a

x)

ax

lna

(ex)

ex微分公式:

导数公式:

1.基本初等函数的微分公式

三、微分的基本公式与运算法则微分公式:

导数公式:

2.函数和、差、积、商的微分法则

公式d(u

v)

vdu

udv

的证明

因为d(uv)

(u

v

uv

)dx

u

vdx

uv

dx

而u

dx

du

v

dx

dv

所以d(uv)

vdu

udv

(u

v)

u

v

(Cu)

Cu

(u

v)

u

v

uv

d(u

v)

du

dvd(Cu)

Cdu

d(u

v)

vdu

udv求导法则

微分法则

四、微分形式的不变性其微分为:设函数可导，当是自变量时，代入上式得而函数的微分则为复合函数,且若其微分为为微分形式的不变性．这一性质称其微分的形式均保持不变．的函数，是自变量还是其它变量由此可见，无论例3

求解:解:

对方程两边求微分,得dxyxdyyxy)2()23(2+=--ydyydxxdyxdxdyy2232+++=所以的微分．例4

求由方程所确定的隐函数五、微分在近似计算方面的应用可以用该式计算函数增量的近似值.

又因为所以近似公式又可写作

即由微分的定义知，当很小时，有近似公式:该式可以用来计算函数在点附近的近似值．若分别令在中,取时,上式又变为:则会得到以下近似计算公式(当比较小时成立):解:令解:由例7求的近似值.例6求的近似值.代入上述公式(5)中,得得例8求的近似值.解:由于角度较大,所以不能使用公式可令习题3－41．已知函数,当，求，．2．求下列函数的微分：3．求下列函数的近似值：时间路程欲求时刻的瞬时速度可见这一小段的路程为因此,这一小段时间内小球运动的平均速度为已知路程和时间之间的函数关系物体作变速直线运动示意图从而得到小球在点的瞬时速度为结论演示先让时间发生微小的改变,即从变化到已走过路程为已走过路程为先让时间发生微小的改变,即从变化到运动方向解因此切线方程为，即

法线方程为

即五、可导与连续的关系定理2.1如果函数在点处可导，则它在处必连续．证明因为函数在点处可导，则存在所以有即函数在点处连续．

注意:这个定理的逆命题不一定成立．即连续是可导的必要条件，不是充分条件．如函数