第二章 极限与连续(外)

第二章极限与连续§2.3变量的极限§2.4无穷大量与无穷小量§8.6

复合函数的微分法§2.8

函数的连续性§2.7利用等价无穷小量代换求极限§2.6两个重要的极限§2.5极限的运算法则§2.2

函数的极限§2.1数列的极限教学内容：数列的极限；函数的极限。（1）正确了解数列的极限；函数的极限的概念。（2）掌握数列的敛散性与有界性的关系。重点：函数极限的概念；左、右极限和极限的关系；难点：数列（函数）极限的概念。教学要求：（3）理解单侧极限的定义；掌握左、右极限和极限的关系。

（4）理解函数极限的性质（唯一性、局部有界性和局部保号性）。

第一次课函数极限的性质。第二章§2.1数列的极限

(一)数列1.

定义:无穷多个按照某种规律排列起来的称为一个数列,记作如:(1)(4)(3)(2)一列数:其中每一个数称为数列的一个项,第一项称为首项,(或一般项).项称为通项第2.关于数列概念应注意:(2)数列一般有三种表示方式:①一般形式.如(1)数列实际上是定义在自然数集合上的函数,②函数形式.如数列③简化形式.如数列函数的函数值.例如数列实际上就是因此数列也常常记作或得到的.将其函数值按自然数依次增大的顺序排列起来所先看数列变化趋势:

12345678

注意小球的变化演示(二)数列的极限为了进一步了解数列的极限,下面我们观察几个数列随着的无限增大,它能否无限趋向于一个常数.(二)数列的极限

数列的极限就是数列的变化趋势,先观察几个数列随着的无限增大,它能否无限趋向于一个常数.12345678

注意小球的变化

正在演示先看数列变化趋势:

012345678演示结束从以上演示可见:小红球随着的无限增大,越来越靠近横轴,即数列趋向于零.再观察数列的变化趋势.

12345678注意小球的变化演示

12345678

正在演示

注意小球的变化再观察数列的变化趋势.

12345678演示结束可见数列的变化趋势如下:从该数列的演示易见,随着的无限增大,小球越来越接近于直线所以数列趋向于1.

注意小球的变化1234567演示再观察数列的变化趋势.

注意小球的变化1234567

正在演示再观察数列的变化趋势.

1234567

易见小球在上下摆动中,其摆动的幅度始终不变,因此,该数列不趋于任何常数.演示结束再观察数列的变化趋势.最后,观察一下数列的变化趋势.

121086421234567注意小球的变化演示

121086421234567

正在演示最后,观察一下数列的变化趋势.

121086421234567

显见小球随着的不断增大愈来愈向上移动,永无止径,因此,数列随着的增大,趋向于无穷大.

演示结束最后,观察一下数列的变化趋势.

)()()(lim¥®®=¥®nAnfAnfn或

如数列均收敛,且列发散(或不收敛).若该数列不能够趋向于一个常数,则说该数此时称A为数列的极限,记作能够无限趋向于某一个常数A

,则称该数列收敛,定义1如果数列当趋向于无穷大时,一个常数.限趋向于某一个常数,而有些数列则不会趋向于会无的无限增大,综上可见,有的数列随着

设{yn}为一数列

如果存在常数a

对于任意给定的正数e

总存在正整数N

使得当n>N

时

不等式|yn

a|<e都成立

则称常数a是数列{yn}的极限

或者称数列{yn}收敛于a

记为数列极限的精确定义:或说数列{yn}是发散的,习惯上也说nny¥®lim不存在.如果不存在这样的常数

就说数列{

}没有极限yna

而数列和数列均发散.aynn=¥®lim或yn®a(n®¥).

极限定义的简记形式:aynn=¥®lim

0,

N

N

当n

N时

有|yn

a|

.

例1

证:

对于要使只要取则aynn=¥®lim

0,

N

N

当n

N时

有|yn

a|

.|yn-1|=e<=--+-nnnn1|1)1(|1,

§2.2

函数的极限单击开始演示让我们观察一下函数(一)当时函数的极限值无限增大时,其函数值的变化情况.当自变量的绝对

正在演示

§2.2

函数的极限让我们观察一下函数(一)当时函数的极限值无限增大时,其函数值的变化情况.当自变量的绝对演示结束§2.2

函数的极限让我们观察一下函数(一)当时函数的极限值无限增大时,其函数值的变化情况.当自变量的绝对函数值逐渐趋于零.愈靠近于轴,限增大,易见,随着的无小红球愈来即其定义2:如果存在常数A,或于无穷大时的极限,记作时,函数趋向于A,

则称A为函数当趋使得当无限增大穷大时的极限.此时我们称常数0是函数当趋于无可见:当趋于无穷大时,x1趋于常数0,例如:几何上为:演示演示结束注:包含

例如:类似地可定义:

自变量趋于无穷大时函数极限的精确定义:

0

M

0

当|x|

M时

有|f(x)

A|

结论:

例1

证:

0

M

0

当|x|

M时

有|f(x)

A|

对于要使只要取则当时,有

演示(二)当时函数的极限先观察函数时的变化趋势.当

正在演示

(二)当时函数的极限先观察函数时的变化趋势.当正在演示(二)当时函数的极限先观察函数时的变化趋势.当

正在演示(二)当时函数的极限先观察函数时的变化趋势.当

演示结束易见当时(二)当时函数的极限先观察函数时的变化趋势.当

如定义3:如果存在常数A,使得当无限接近于时,有趋近于A,则称A为当时函数的极限,记作

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义

如果存在常数A

对于任意给定的正数

总存在正数

使得当x满足不等式0<|x

x0|

时

对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)

A|

那么常数A就叫做函数f(x)当x

x0时的极限

记为函数极限的精确定义:定义的简记形式:

e>0

d>0

当0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

例1

证:

因为

e>0

d>0

当0

|x-x0|

d时,都有|f(x)-A|

|c-c|

0

e,

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

分析:|f(x)-A|

|c-c|

0.

e>0

d>0

当0

|x-x0|

d时,都有|f(x)-A|

e.分析

|f(x)

A|

|x

x0|

e

当0

|x

x0|

d时

有

d

e

因为

e

0

证:

只要|x

x0|

e,要使|f(x)

A|

e

e>0

例2

|f(x)

A|

|x

x0|

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

故取d

e.分析

|f(x)

A|

|(2x

1)

1|

2|x

1|

例3

因为

0

证:

|f(x)

A|

|(2x

1)

1|

2|x

1|

e

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

e>0

当0

|x

1|

时有

/2

只要|x

1|<e/2

要使|f(x)

A|<e

故取d

e/2.

注1:意思是无限靠近于但因此,无关系.函数在点有无极限与函数在该点有无定义毫注2:包含:左极限演示结束演示左极限:

若当x从x0的左侧趋近于x0时

f(x)无限接近于某常数A

则常数A叫做函数f(x)当x

x0时的左极限

记为右极限演示结束演示右极限:

若当x从x0的右侧趋近于x0时

f(x)无限接近于某常数A

则常数A叫做函数f(x)当x

x0时的右极限

记为Axfxx=+®)(lim0或两者都存在但不相等，推论：若中至少有一个不存在和则不存在。

例1设讨论极限是否存在?解因为所以极限不存在.定理1:极限存在的充分必要条件是左极限和右极限均存在,即且都等于

解因为解:因为所以存在.

例2设求讨论极限而当所以时，所以极限不存在.例3讨论极限是否存在?当所以时，定理1(函数极限的唯一性)

定理2(函数极限的局部保号性)

如果f(x)

A(x

x0)

而且A

0(或A

0)

那么在x0的某一去心邻域内

有f(x)

0

(或f(x)

0)

如果当x

x0时f(x)的极限存在,那么这极限是唯一的

如果在x0的某一去心邻域内f(x)

0(或f(x)

0)

而且

f(x)

A(x

x0)

那么A

0(或A

0)

推论:

三、极限的性质教学内容：变量的极限;无穷大量和无穷小量；极限的运算法则。第二次课难点：无穷小量的比较；极限运算法则的运用。重点：无穷小量的概念；无穷小量与无穷大量的关系；无穷小量比较的方法；极限运算法则的运用。（3）熟练掌握极限运算法则及其用法。（2）掌握高阶无穷小、同阶无穷小（等价无穷小）的含义。（1）了解无穷小量和无穷大量的概念，知道无穷小量与无穷大量的关系，了解无穷小量与函数极限的关系。教学目的：§2.3变量的极限注:该定义把前面讲的数列极限与函数极限统一起来了,y其实是一个函数.恒成立,记作定义2.6对于任意给定的正数过程中,在变量的变化总有某个时刻,在那个时刻以后,总有则称变量y在此变化过程中以A为极限,定义2.7变量y在某一变化过程中,如果存在正数M，使变量y在某一时刻之后,恒有|y|<M，则称y在那时刻之后为有界变量.定理2.4如果在某一变化过程中，变量y有极限,证:设limy=A,则对

所以|y|<|A|+1.因此变量y在那个时刻之后是有界变量.在那个时刻以后，恒有总有那么一个时刻,则变量y是有界变量.2.4无穷大量与无穷小量(一)无穷大量恒成立,定义:如果对于任意给定的正数E,化过程中,变量y在其变总有那么一个时刻，在那个时刻之后,不等式则称变量y是无穷大量,于无穷大，记作或称变量

y趋如果一个变量在它的变化过程中,其绝对值可以无限增大,例如是当时的无穷大量.记为是当时的无穷大量.记为是当时的无穷大量.记为是当时的无穷大量.记为则称该变量为其变化过程中的无穷大量.

(1)无穷大量并不是很大的数，而是其绝对值可以无限增大的变量.(2)说一个量是不是无穷大量，也必须指出其变化过程.(3)无穷大量包括:正无穷大量和负无穷大量.注意几点:即例如当时,变量是一负无穷大量.注意:(1)两个无穷大量的和不一定是无穷大量;无穷大量的性质:性质1两个无穷大量的乘积还是无穷大量.性质2有界量与无穷大量的和还是无穷大量.(2)有界量与无穷大量的乘积也不一定是无穷大量.(二)无穷小量1.无穷小量的定义定义:

如果变量的极限是零,则称变量为无穷小量.例1因为所以是当时的无穷小量.例2因为所以是当时的无穷小量.例3因为所以是当时的无穷小量.例4因为所以是当时的无穷小量.

(1)一般地,一个变量是无穷小量,必须指出其变化过程.因同一个变量在不同的变化过程中会有不同的变化趋势.

(2)由于无论在什么样的变化过程中,数0的极限永远为零,所以它是无穷小量,且只有它可以不指出变化过程.

(3)不能把无穷小量理解为是很小的数,关键是要看其极限是否为零.注意几点:(2)无穷小量的变化过程相同时,以上性质才成立.

否则不能相加减及乘积的.2.无穷小量的性质性质2

两个无穷小量的乘积还是无穷小量.注意:(1)这两个性质均可以推广到有限上去;性质1

两个无穷小量的和还是无穷小量.定理2.5变量y以A为极限的充分必要条件是变量y可以表示为A与一个无穷小量的和.即且

性质3

有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量.注意:有界量包括:例如

常量

有界函数有极限的函数有界量①常量;③在无穷小量的变化过程中有极限的函数.②有界函数;(三)无穷小量与无穷大量之间的关系(四)无穷小量阶的比较

无穷小量是极限为零的变量,虽然它们均趋向于零,但是趋向于零的速度有快有慢,那么如何比较它们趋向于零的速度的快慢呢?定理:(1)若是无穷大量,则必是无穷小量;

(2)若是无穷小量,则必是无穷大量.例如因为定义设和是同一变化过程中的两个无穷小量.(1)若则说是比较高阶的无穷小量,记作(2)若则说是比较低阶的无穷小量,或者说是比较高阶的无穷小量;(3)若则说和是同阶的无穷小量;(4)若则说和是等价无穷小量;记作~所以因为所以和是同阶的无穷小量.因为所以是比较低阶的无穷小量.解：因为即例1设当求时，所以有因为所以

法则1.代数和的极限等于极限的代数和.即法则2.乘积的极限等于极限的乘积.即§2.5极限的运算法则(一)运算法则定理:如果则有注：法则1可推广到有限上去,得注：法则2可推广到有限上去,得

推论1常数因子可以提到极限号的外边,即推论2函数n次幂的极限等于极限的n次幂.即以后可以证明,如果n是正整数,则有

(1)只有当法则中所有的极限均存在时,法则才成立.

法则3.

商的极限等于极限的商(当分母的极限不等于零时).即注意几点:

(3)上述的极限运算法则对数列的极限也成立.和均成立.符号下面没有写变化过程,意思是对(2)

(二)应用举例

解原式解原式例1求极限例2求极限方法:用运算法则3.

解显然该函数是一初等函数,且点0在其定义域内,因此,有

注意:显然例1、例2中的极限值就等于其函数在极值点处的函数值.一般当为初等函数且点在其定义域内时有解原式例3求极限例4求极限原式转化为方法:因式分解或有理化(含有根式)

例6求极限方法:先求其倒数的极限为0.例5求极限解原式

解因为根据无穷大量与无穷小量的关系知:所以是无穷小量。解:例8求极限例7求极限所以根据无穷小量的性质知即是有界量,解原式方法:分子分母同除以的最高次幂.特点:型,且分子分母中的最高次幂相等.

解原式解因为例9求极限例10求极限特点:型,且分子<分母.特点:型,且分子>分母.方法:分子分母同除以的最高次幂.方法:先求其倒数(分子<分母)的极限为0.所以

综合例8、例9、例10的结论,得到例11求极限解原式例12求极限解:方法:通分或有理化(含根式)转化为例13设求特点:分段函数的极限问题,分界点处的极限要讨论左右极限.解:

§2.6

两个重要极限(一)两个极限存在的判别准则则极限必存在且等于(2)

存在，(1)准则Ⅰ如果函数满足(2)该准则常称为两边夹定理。注:(1)该准则对于和时的函数极限,以及数列的极限均成立;证:当时,有

由

从而得例2证明证:

由

得

即例1证明

得解:因为所以例3求又因为所以数列单调递减。例如数列单调递增；因为对任意自然数n,

恒有例如数列有界。意的自然数n,

均有成立.则称该数列有界。对于数列使得对于任来说,如果存在正数准则Ⅱ单调有界数列必有极限.单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列.增(递减)的.成立,则称数列是单调递对于数列如果对于任意自然数n恒有

(二)

两个重要极限1.证明:首先易见所以只须证即可(如图作单位圆,并

作角见右图)由图中易见有S△OACS△OABS扇形OAB注意右图演示各图形大小

S△OABS扇形OABS△OAC

(二)

两个重要极限1.证明:首先易见所以只须证作角

S△OABS扇形OABS△OAC见右图)由图中易见有即可(如图作单位圆,并于是有即因为所以即从而故同除以得解原式例1求极限用法:常用于求含有三角函数的极限.

♠①分子必须是正弦函数或者正切函数;♠③

在自变量的变化过程中必须是无穷小量,使用时应满足以下三个条件：极限和均可当公式使用.即但分母也必须是即极限形式为:♠②分子上的后面可以跟一个函数和例2求极限该极限为1例3求极限解原式类似可求得可当公式记住使用练习:求解:原式解原式解原式例4求极限练习:求解原式例5求极限解原式根据准则II

数列{xn}必有极限,

此极限用e来表示,第二个重要极限:

e是个无理数

它的值是e=2

718281828459045

2.第二个重要极限准则II

单调有界数列必有极限

可以证明:

(2)xn

3

(1)xn

xn+1

n

N

,即第二个重要极限:

我们还可以证明:这两个也是第二个重要极限

或对连续自变量,也有注意第二个重要极限应满足以下三个条件:①幂底数为的形式,为任一函数;②幂指数为的倒数,即;③

在自变量的变化过程中为无穷小量.例6求极限解原式练习:求解利用上题结果,令得,可当公式记住使用即用法:常用于求幂指函数的极限思考题:解原式练习:求解原式例7求极限例8连续复利本利和公式:其中为本金,为年数,为利率,为年末的本利和.解:如果每年结算一次,按复利计算,则年末的本利和为:如果每年结算则年末的本利和为:次,按复利计算,如果每年结算无穷多次(即立即产生立即结算),按复利计算,则年末的本利和为:§2.7利用等价无穷小量代换求极限的方法关于等价无穷小量,有下面定理.

定理:如果在同一过程中,都是无穷小量,存在,和则且～～本定理的意义:

求某些无穷小量乘除运算的极限时

可使用等价无穷小量来代替

因此

如果用来代替的无穷小量选取得适当

则可使计算简化

下面是一些在求极限时常用的无穷小量:～～～～～～～～～

例1

解:当x

0时

tan2x~2x

sin5x~5x

所以

当时，

例2求

解:当时,～～～

所以

练习:求

解:

例3求

解:当时,

所以

～～

注意:等价无穷小量代替,只能用于乘除运算,对加,减项的无穷小量不能随意代替.如例4用下面的解法是错误的.§2.8

函数的连续性(一)函数的改变量△x△y注1可正可负.记作即称终值与初值之差为变量的改变量,当变量从初值点变化到终值点时,对于函数例如函数的改变量为:③变量在点取得改变量②变量从点变化到①变量从点

变化到所以下面三种说法均等价:注2

因为当必有成立.时,记作

即称其为函数的改变量,处取得改变量则因变量就会有相应的改如果其自变量在点变(二)函数连续的概念

定义11.函数在一点处连续的定义设x=x0+△x

则当△x

0时

x

x0

因此

设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义

则称函数y=f(x)在点x0处连续

△y=f(x0+△x)-f(x0)

因为：如果因此,函数在一点处连续也可定义为:注2:定义2实际包含有三个条件:定义2如果则称函数在点处连续.(3)其极限值等于点的函数值,即(2)函数的极限存在;(1)函数在点的某一邻域内有定义;

注意:一般在证明一个式子所给出的函数在某一点处的连续性时,使用定义1;而在证明或判断或研究分段函数在分段点处的连续性时,使用定义2.处左连续;若时,则称函数处右连续.在点注3:若时,则称函数在点结论

函数y=f(x)在点x0处连续

函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续

则有于是有例1证明函数在点处连续.例2研究函数在点的连续性.证:给自变量在点处一个增量故函数在点处连续.且

解:该函数在点处及附近有定义,又因此该函数在点处连续.可见存在,且2.函数在区间上的连续定义(三)初等函数的连续性定义如果函数1.连续函数的运算法则处右连续,如果函数在开区间上连续,且在左端点而在右端点处左连续,则称该函数在闭区间上连续.连续,则称该函数在开区间上连续.上的每一点在区间2.初等函数的连续性初等函数在其定义域内均连续.3.连续性的应用(1)如果函数和在点均连续,则在处也必连续.在点也必连续.在点也连续,且则复合函数如果函数在点连续,而函数1.是初等函数;2.点在的定义域内.例3求极限解:(2)条件例4求极限解:间断点的定义:

设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义

在此前提下

如果函数f(x)有下列三种情形之一

(1)在x0没有定义

则函数f(x)在点x0不连续或间断

(四)函数的间断点(2)虽然在x0有定义

但极限不存在;(3)虽然有定义,且存在,但f(x)的不连续点或间断点

而点x0称为函数间断点举例例1

的无穷间断点.故称为

例2

当x

0时

函数值在-1与+1之间变动无限多次

所以点x=0是函数的间断点

所以点x=0称为函数的振荡间断点

所以点x=1是函数的间断点

如果补充定义

令x=1时y=2

则所给函数在x=1成为连续

所以x=1称为该函数的可去间断点

例3

所以x=1是函数f(x)的间断点

如果改变函数f(x)在x=1处的定义

令f(1)=1

则函数在x=1处连续

所以x=1称为此函数的可去间断点

例4

因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象

我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点

例5

都存在

那么x0称为函数f(x)的第一类间断点

间断点的类型通常把间断点分成两类

在第一类间断点中

左、右极限相等者称为可不属于第一类间断点的间断点

称为第二类间断点

的间断点

如果左极限及右极限是函数设无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点

去间断点

不相等者称为跳跃间断点

函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点所以,解:该函数在点处没有定义.所以它是无穷间断点.又因为是该函数的间断点,点所以,是该函数的间断点,点又因为存在,所以是可去间断点.例6求函数的间断点.练习:求函数的间断点.解:该函数在点处没有定义.解:且该函数在点处有定义,但所以为跳跃间断点.即例7讨论函数处的连续性.在点且是可去间断点.解:且该函数在点处有定义,

又存在,但由于所以是函数的间断点,讨论函数处的连续性.在点练习:说明:定理1(最大值与最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值与最小值

又至少有一点x2

[a

b]

使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一点x1

[a

b]

使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理说明

如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

那么(五)

闭区间上连续函数的性质应注意的问题:

如果函数仅在开区间内连续

或函数在闭区间上有间断点

那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

例如

函数f(x)=x在开区间(a

b)

内既无最大值又无最小值

定理1(最大值与最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值与最小值

又如如下函数在闭区间[0

2]内不连续,它在闭区间[0

2]内既无最大值又无最小值

定理2(介值定理)

设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

且f(a)

f(b)

那么

对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C

在开区间(a

b)内至少有一点x

使得f(x)=C

上连续,则函数在上一定有界.推论(有界性定理)

如果函数在闭区间注:

如果x0使f(x0)=0

则x0称为函数f(x)的零点

设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

且f(a)与f(b)异号

那么在开区间(a

b)内至少一点x

使f(x)=0

推论(零点定理)注:该推论常用于证明:(1)某方程在某一区间上至少存在一个根的问题.(2)某曲线在某一区间上至少与x轴有一个交点的问题.(3)两条曲线在某一区间上至少有一个交点的问题.

例1

证明方程x3+1=4x2在区间(0

1)内至少有一个根

证明

设f(x)=x3-4x2+1

则f(x)在闭