321单调性与最大（小）值省赛一等奖

人教2019A版必修第一册321单调性与最大（小）值第三章函数概念与性质二、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？一、观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？

能用图象上动点P（，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？xyoxyoxyo

在某一区间内，图像在该区间内逐渐上升——y随着x的增大而增大；图像在该区间内逐渐下降——y随着x的增大而减小。函数的这种性质称为函数的单调性局部上升或下降下降上升初步感知x…-4-3-2-101234…f（x）…16941014916…对区间内的1，2，当1<2时，有f1<f2，称f在是增函数都任意在内随着的增大，y也增大图象在区间逐渐上升1、思考：如何利用函数解析式描述“随着的增大，相应的f也增大？”xyo2、你能类似地描述在区间上是减函数吗？

在区间上，任取两个，得到，当时，有这时，我们就说函数在区间上是减函数.单调性概念：对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值当时,都有就说函数在区间D上是增函数.这个给定的区间就为单调增区间。都有当时,就说函数在区间D上是减函数.这个给定的区间就为单调减区间。如果函数y=f在区间D是增函数或减函数，那么就说函数y=f在区间D上具有严格的单调性,区间D叫做y=f的单调区间。思考：思考：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？12345-1-2-3-4-2-323o函数各有怎样的单调性Oxy思考：如图是定义在闭区间上的函数y=f的图象，根据图象说出y=f的单调区间，以及在每一个单调区间上,f是增函数还是减函数。在区间上是增函数。函数f的单调区间有,其中f在区间[-5,-2,[1,3上是减函数，牛刀小试：例1根据定义，研究函数则①当>0时，于是②当<0时，于是函数的单调性用定义证明函数的单调性的步骤:1取数:任取1，2∈D，且1<2；2作差:f1－f2；3变形:通常是因式分解和配方；4定号:判断差f1－f2的正负；5结论:指出函数f在给定的区间D上的单调性

例2物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数在区间上是减函数.证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域0，∞上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈0，∞且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差变形结论例3根据定义证明函数在区间上单调递增。证明：所以，函数在区间上单调递增。下列两个函数的图象：图1ox0xMyyxox0图2M观察

观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？思考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？思考f≤Mƒ0=1O122、存在0，使得ƒ0=11、对任意的都有ƒ(x)≤1.1是此函数的最大值知识要点M是函数y=f的最大值（maimumvalue）：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数m满足：（1）对于任意的的x∈I，都有f(x)≥m;（2）存在 ，使得，那么我们称m是函数y=f(x)的最小值（minimunvalue）.

能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？思考解：做出函数的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.oth43215101520由二次函数的知识，对于函数，我们有当时，函数有最大值所以，是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为29m例5已知函数，求函数的最大值与最小.分析：由函数的图象可知道，此函数在的两个端点上分别取得最大值与最小值

解：设是区间[2，6]上的任意两个实数，且，则由于得于是即所以，此函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值为0.4.达标检测

课堂小结