二次函数在给定区间的最值课件

闭区间上二次函数的最值导航：能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值二次函数在给定区间的最值O-2xy2-1练习、分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值(2)(3)(1)R(4)31ymin=-4，无最大值ymax=5ymin=-4ymax=12ymin=0二次函数在给定区间的最值O-2xy2-1练习：分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值(2)(3)(1)R(3)(4)①当-2≤a<-1时aymax=-3,ymin=a2+2a-3二次函数在给定区间的最值O-2xy2-1练习：分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值(2)(3)(1)R(4)②当-1≤a≤0时a①当-2≤a<-1时ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-3二次函数在给定区间的最值O-2xy2-1练习：分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值(2)(1)R(4)③当a>0时a②当-1≤a≤0时①当-2≤a<-1时(3)ymax=a2+2a-3，ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-4二次函数在给定区间的最值二次函数在给定区间的最值二次函数在给定区间的最值二次函数在给定区间的最值例1、求函数y=-x2-2x+3在区间[-2,3]上的最值oxyX=-1-313-24-12解：∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4∴函数的对称轴为直线x=-1∴

-2≤-1≤3∴当x=-1时，y的最大值为f(-1)=4当x=3时，y的最小值为f(3)=-12一、定函数定区间二次函数在给定区间的最值例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值yx10-1a＞0解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）当a≠0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=21二、定区间定轴动函数二次函数在给定区间的最值例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值yx10-1a＜0(2)当a<0时，f(x)max=f(0)=1-a=2，

∴a=-1二次函数在给定区间的最值例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）当a≠0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=(2)当a<0时，f(x)max=f(0)=1-a=2，

∴a=-12121综上所述：a=或a=-1(1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=21yx10-1a＞0yx10-1a＜0二次函数在给定区间的最值解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最大值为f(0)=1-a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.

yOx10X=a三、定区间动轴动函数二次函数在给定区间的最值(2)当0＜a＜1

时y的最大值为f(a)=a2-a+1

例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.

Oxy10X=a二次函数在给定区间的最值(3)当a≥1

时y的最大值为f(1)=4+a

例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.

xy10X=a二次函数在给定区间的最值例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.

解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0

时

y的最大值为f(0)=1-a(2)当0＜a＜1

时

y的最大值为f(a)=a2-a+1(3)当a≥1

时

y的最大值为f(1)=4+a

yOx10X=aOxy10X=axy10X=a二次函数在给定区间的最值思考1：函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2，求a的值.解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤

0时当x=0时y的最大值为2∴a=-1(2)当0＜

a＜1时当x=a时y的最大值为2∴a=-1（舍去）(3)当a≥1时当x=1时y的最大值为2∴a=2综上所述：a=-1或a=2yOx10X=aOxy10X=axy10X=a二次函数在给定区间的最值思考2：求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最小值.yOx10X=aOxy10X=axy10X=a二次函数在给定区间的最值思考2：求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最小值.1）当＜时，

y的最小值为f(1)=4+a2）当≥时，

y的最小值为f(0)=1-a

2121Oxy10X=a解：∵函数的对称轴为直线x=a二次函数在给定区间的最值解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0

时y的最小值为f(1)=4+ay的最大值为f(0)=1-a変题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.

yOx10X=a二次函数在给定区间的最值(2)当0＜

a＜1

时y的最大值为f(a)=a2-a+11）当0＜

a＜时，

y的最小值为f(1)=4+a2）当1＞

a≥

时，

y的最小值为f(0)=1-a

2121変题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.

Oxy10X=a二次函数在给定区间的最值(3)当a≥1

时y的最大值为f(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a

変题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.

xy10X=a二次函数在给定区间的最值変题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.

解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤

0时

y的最大值为f(0)=1-ay的最小值为f(1)=4+a(2)当0＜

a＜1时

y的最大值为f(a)=a2-a+11）当0＜

a＜时，

y的最小值为f(1)=4+a2）当1

＞

a≥

时，

y的最小值为f(0)=1-a(3)当a≥1时

y的最大值为f(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a2121yOx10X=aOxy10X=axy10X=ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a二次函数在给定区间的最值二次函数在给定区间的最值[解析]二次函数在给定区间的最值[解析][答案]D二次函数在给定区间的最值函数f(x)=x2-2x-3在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为g(t),试写出g(t)的函数表达式，并求出g(t)的最小值。解：f(x)=(x-1)2-41)当t＞

1时，g(t)=f(t)=t2-2t-32)当t≤

1≤

t+1时，g(t)=f(1)=-43)当1＞

t+1时，g(t)=f(t+1)=t2-4∴g(t)=t2-2t-3t＞

1-40≤

t

≤

1

t2-4

t＜

0∴g(t)min=-4四、定函数动区间二次函数在给定区间的最值1.求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值析:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=

xyo-1a(2)当a<时,即-1<a<0时,

五、动轴动区间二次函数在给定区间的最值∵f(x)

在区间[0,2]上的最小值为

3,∴可分情况讨论如下:

2.已知函数

f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2

在区间[0,2]上有最小值

3,

求实数

a

的值.解:

由已知

f(x)=4(x

-)2-

2a+2.a2a2(1)当≤0,即

a≤0

时,函数

f(x)

在[0,2]上是增函数.

∴

f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)当

0<<2,即

0<a<4

时,a2f(x)min=f()=-2a+2.由

-2a+2=3

得:a=-

12

(0,4),舍去.a2(3)当≥2,即

a≥4

时,函数

f(x)

在[0,2]上是减函数.

∴

f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由

a2-2a+2=3

得:a=1

2

.∵a≤0,∴a=1-

2.

由

a2-10a+18=3

得:a=5

10.∵a≥4,∴a=5+

10.

综上所述,a=1-

2

或

a=5+10.二次函数在给定区间的最值回顾小结：1、数学结合在求闭区间上二次函数的最值中的应用2、分类讨论在求闭区间上