山西省太原市第二十二中学高三数学文联考试题含解析

山西省太原市第二十二中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个参考答案：B【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵=（﹣1，﹣1，1），∴=（2，2，1）．∴|PA|=|PC|=|PB1|==，|PD|=|PA1|=|PC1|=，|PB|=，|PD1|==．故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．故选：B．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键．2.（5分）已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（

）

A．B．C．D．参考答案：A【考点】：函数的图象．函数的性质及应用．【分析】：先由f（x）的函数表达式得出函数f（2﹣x）的函数表达式，由函数表达式易得答案．解：∵函数f（x）=，则y=f（2﹣x）=，故函数f（2﹣x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有A符合，故选：A．【点评】：本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑．3.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）参考答案：A【分析】由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得：=b==2cosA，∴＜2cosA＜，则b的取值范围为（，）．故选A【点评】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．5.函数在区间上的大致图象为（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x→0时，xsinx+lnx＜0，分析可得答案．【详解】根据题意，f（x）＝xsinx+ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+ln|（﹣x）|＝xsinx+ln|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于y轴对称，排除A、D；又由x→0时，xsinx+lnx＜0，排除C；故选：B．【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析．6.已知

，那么

(

）A．

B。

C。

D。参考答案：C

7.曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=5．设点P，Q分别在曲线C1和C2上运动，则|PQ|的最小值为（）A．B．2C．3D．4参考答案：A8.设集合，集合，若，则实数的取值范围是（

）．A．(－∞,－1] B．(－∞,－1) C．[－1,+∞) D．[1,+∞) 参考答案：A本题主要考查集合的运算．因为且为空集，所以，即，所以当时，满足与的交集为空集的条件．故选．9.对任意实数a，b，c给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”充要条件;

②"a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件;④“a＜5”是“a＜3”的必要条件.其中真命题的个数是(

)A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B10.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出的是（

）A．，，

B．，，C．，，

D．，，参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数，给出函数下列性质：①函数的定义域和值域均为[－1,1]；②函数的图象关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④(其中为函数在定义域上的积分下限和上限)；⑤为函数图象上任意不同两点，则，则关于函数性质正确描述的序号为(

)A．①②⑤

B．①③⑤

C.②③④

D．②④参考答案：D12.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为__________．参考答案：9作可行域，则直线z=x+y过点A(5,4)时取最大值9.

13.已知平面向量且，则x=

.参考答案：

14.一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为

▲

．参考答案：215.执行如图所示流程图，得到的结果是

▲

．

参考答案：16.已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，，若四面体ABCD的体积为，球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为__________．参考答案：分析：确定外接圆的直径为圆心为的中点，求出球心到平面的距离，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．详解：∵，外接圆的直径为，圆心为的中点

∵球心恰好在棱上，，则为球的直径，则由球的性质，平面，则平面，即为三棱锥的高，由四面体的体积为，可得，

∴球的半径为∴球的表面积为．

即答案为．点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，正确求出球的半径是关键．17.不等式的解集为

.参考答案：得，即，所以不等式的解集为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知椭圆的两个左、右焦点分别是，且经过点.（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上两点M，N使面积的最大值.参考答案：

19.（本小题满分13分）已知函数.（I）当时，求函数的单调区间；（II）设，且函数在点处的切线为，直线//，且在轴上的截距为1.求证：无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方.参考答案：（I）函数的单调递增区间为；单调递减区间位；（II）祥见解析.试题分析：（I）求出函数的导函数，在的条件下列出的单调性与符号的变化情况，即可写出函数的单调区间；（II）首先利用导数的几何意义求出函数在点处的切线为的斜率，从而就可写出直线的方程为；构造函数则无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方，等价于，再利用导数证明即可.试题解析：（I）解：................2分所以，时，与的变化情况如下：因此，函数的单调递增区间为；

单调递减区间位

......................6分（II）证明：所以所以的斜率为

...................7分因为//，且在轴上的截距为所以直线的方程为

.................8分令则无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方，等价于

...............................9分而

............................10分当时，，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减从而当时，取得最大值即在上，取得最大值

.....................12分所以因此，无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方.................13分考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.导数的几何意义；3.利用导数证明不等式．20.已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．

（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（2）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较与的大小．参考答案：

(1）函数f（x）的导数f′（x）=a﹣．通过在x=1处取得极值，得出a=1；将f（x）≥bx﹣2恒成立，即（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b＜1﹣，令g（x）=1﹣，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．（2）由（1）g（x）=1﹣在（0，e2）上为减函数，g（x）＞g（y），1﹣＞1﹣，整理得＞，考虑将1﹣lnx除到右边，为此分1﹣lnx正负分类求解．

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．∵函数在x=处取得极值，∴a=1，f（x）=x﹣1﹣lnx，∵f（x）≥bx﹣2，移项（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b＜1﹣，令g（x）=1﹣，则令g′（x）=，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0，∴g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1﹣，所以b≤1﹣．（1）由（1）g（x）=1﹣在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e时，有g（x）＞g（y），1﹣＞1﹣，整理得＞①当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，由①得，＞当e＜x＜e2时，1﹣lnx＜0，由①得＜．

略21.（本小题满分12分）已知数列是等差数列，

（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；

（2）如果，试写出数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。参考答案：（1）设的公差为，则 数列是以为公差的等差数列…………3

（2）

两式相减：…………6分 …………8分 …………8

（3）因为当且仅当时最大…………12分 即 …………1222.设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．（Ⅰ）求函数g（x）=的定义域；（Ⅱ）若存在实数，满足f（x）≤mx+1．试求实数m的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数的定义域及其求法．【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）的解析式，可得f（x）≤2，即|x﹣3|+|x﹣4|≤2，再根据绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）设g（x）=mx+1，如图红线所示，f（x）的图象如图蓝线所示，由题意可得，故红线必有一部分位于蓝线的上方，故有m≥0，或m＜﹣2，从而得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|