2016-2017学年高二文数人教版选修1-1（第03章） Word版含解析

第三章导数及其应用3.1变化率与导数1．平均变化率设函数，我们把式子_________称为函数从到的平均变化率.习惯上用表示，即.函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为.其几何意义是函数图象上的两点所在直线的_________.注意：是一个整体符号，而不是与相乘.2．瞬时速度物体在不同时刻的速度是不同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设物体的运动规律为，则该物体在时刻的瞬时速度就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，_____无限趋近的常数.3．导数的概念一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作_________，即.注意：不可以是0.4．导数的几何意义函数在处的导数，就是曲线在处的切线的_________，即.5．导函数对于函数，当时，是一个确定的数.这样，当变化时，_______便是一个关于的函数，我们称它为的导函数（简称导数）.的导函数有时也记作______，即.注意：函数在处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数，它们之间的关系是：函数在处的导数就是导函数在处的函数值.K知识参考答案：1．斜率2．3．或4．斜率5．K—重点平均变化率的概念、导数的概念、导数的几何意义、导函数K—难点导数的几何意义K—易错（1）运用定义求导数时容易忽略增量的一致性；（2）求切线方程时，错把所给点当做切点，或者混淆“某点处”和“过某点”一、求平均变化率求函数从到的平均变化率的三个步骤：（1）求出或者设出自变量的改变量：；（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量：；（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即.【例1】求函数在附近的平均变化率，取都为，在哪一点附近的平均变化率最大？【解析】在附近的平均变化率为；在附近的平均变化率为；在附近的平均变化率为.若，则，，，由于，所以在附近的平均变化率最大.【名师点睛】由求平均变化率的步骤可知，找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键.二、求函数在某点处的导数1．求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限．2．利用定义求函数在处的导数的两个注意点：（1）在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在．（2）当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式．【例2】求函数在处的导数.【解析】∵，∴.由，得.【名师点睛】极限思想是趋近的思想，当平均变化率无限接近于瞬时变化率时，这个瞬时变化率就是平均变化率的极限.【例3】有一作直线运动的物体，其位移与时间的关系是，求此物体在时的瞬时速度.【解析】物体在到时间内，位移的改变量为.则该时间段内的平均速度为，当时，.故此物体在时的瞬时速度为.【名师点睛】（1）求瞬时速度应先求平均速度，再用公式求得瞬时速度.（2）如果物体的运动方程是，那么函数在处的导数就是物体在时的瞬时速度.三、求曲线的切线1．如果所给点就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数在点处的导数，即得切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程.2．如果所给点P不是切点，应先设出切点，再求切线方程．要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上.【例4】已知曲线.（1）求曲线上横坐标为2的点处的切线方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【解析】（1）将代入曲线的方程，得，则切点的坐标为.，则.故曲线在点处的切线方程为，即.（2）由得，解得，.从而求得公共点为，.即切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点.【名师点睛】解答第（1）小题，可先求出切点坐标及斜率，然后利用直线的点斜式方程写出切线方程；解答第（2）小题，可把（1）中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组，求方程组的解.注意：导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率.四、忽略增量的一致性【例5】设函数在处可导，则等于A．B．C．D．【错解】，故选A.【错因分析】本题分子中的增量是，而分母中的增量是，两者的增量不一致.【正解】函数在处可导，所以，所以．故选B.【名师点睛】在导数的概念中，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致.五、求切线方程时混淆“某点处”和“过某点”【例6】求过点，且与曲线相切的直线方程．【错解】因为，所以，则切线方程为，即.【错因分析】点不在曲线上，而错解中把它当做曲线上的切点求解，从而致错.【正解】点不在曲线上，设切点坐标为.因为，所以切线斜率为.又，所以或.当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即；当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即.故所求切线方程为或.【名师点睛】求关于曲线的切线方程时，一定要弄清楚是求某点处的切线方程，还是求过某点的切线方程，前者可以直接利用直线的点斜式方程求解，后者则需要先设出切点坐标，求出切点坐标后，再利用直线的点斜式方程求解.1．在平均变化率的定义中，自变量在处的增量应满足A．B．C．D．2．某物体的位移公式为，从到这段时间内，下列理解正确的是A．称为函数值增量B．称为函数值增量C．称为函数值增量D．称为函数值增量3．如图所示，函数的图象在点P处的切线方程是，则A．B．1C．2D．04．已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于A．4B．C．D．5．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是A．甲B．乙C．相同D．不确定6．已知函数，则在区间上的平均变化率为．7．设函数满足QUOTE，则_______.8．已知曲线在点M处的瞬时变化率为，则点M的坐标为________.9．曲线QUOTE在点处的切线方程为_______.QUOTE10．已知QUOTEst=12gt2，其中g＝10m/s2.（1）求t从3秒到3.1秒的平均速度；（2）求t从3秒到3.01秒的平均速度；（3）求t＝3秒时的瞬时速度.11．已知，则A．1B．2C．3D．612．已知曲线QUOTEy=fx=x2在点QUOTEP处的切线斜率为QUOTEk，则当QUOTEk=2时，点QUOTEP的坐标为A．B．C．D．13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为，其中（单位：°C）为蜥蜴的体温，t（单位：min）为太阳落山后的时间.（1）从到，蜥蜴的体温下降了多少?（2）从到，蜥蜴体温的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?（3）求，并解释它的实际意义.14．设函数QUOTE，曲线在点处的切线方程为.（1）求函数在处的导数；（2）求函数的解析式；（3）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.15．（2015·新课标全国Ⅰ文科）已知函数的图象在点处的切线过点，则______.16．（2012·广东理科）曲线在点处的切线方程为________.1．D【解析】在平均变化率的定义中，自变量在处的增量要求.2．C【解析】由自变量的增量、函数值的增量、平均变化率的概念易得C正确.3．C【解析】易知.由导数的几何意义知.故.4．B【解析】因为，所以，，则，故应选B．5．B【解析】在t0处，，但，则，所以，在相同时间内，甲厂比乙厂的平均治污率小，即乙厂的治污效果较好.故选B.6．2【解析】由平均变化率的定义得7．1【解析】由题意可得QUOTE.8．【解析】当时，QUOTE，由，得，所以点M的坐标是.9．【解析】点在曲线上.因为，所以切线方程为，即.10．【解析】（1）QUOTE，，则.（2），，则.QUOTE（3）由瞬时速度的定义，可知，，则QUOTE

.11．D【解析】原式=，解得.故选D．12．C【解析】设点的坐标为，则QUOTE，即，则，此时QUOTE，故点的坐标为.故选C.13．（1），即从到，蜥蜴的体温下降了16°C.（2）从到，蜥蜴的体温的平均变化率是（°C/min），它表示从到这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6°C.（3）QUOTE，当趋近于0时，趋近于，即，它表示时，蜥蜴体温下降的速度为1.2°C/min.14．（1）设QUOTE为函数上任意一点，则.（2）由曲线在点处的切线方程为，得，又由（1）可知QUOTEf'x0=a-1(x0+b)2，于是QUOTE，解得或.因为a，b∈Z，所以QUOTE.（3）在曲线上任取一点.由QUOTEf'x0=1-1(xQUOTEy-x02-x0+1x0-1=1-1x0-12(x-x0)令得QUOTEy令得，则切线与直线的交点为.又直线与直线的交点为，从而所围三角形的面积为QUOTE12x0+1x0所以，所围成的三角形的面积为定值2.15．1【解析】因为，所以，即曲线在点处的切线斜率为，又，所以切线方程为，因为点在切线上，所以，解得.16．【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线斜率为，则切线方程为，即.3.2导数的计算1．几个常用函数的导数几个常用函数的导数如下表：函数导数（为常数）2．基本初等函数的导数公式（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则；（7）若，则；（8）若，则.3．导数运算法则（1）；（2）；（3）.K知识参考答案：1．2．（2）（4）（7）3．（1）（2）（3）K—重点基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则K—难点导数的四则运算法则K—易错求导公式及求导法则记忆错误一、求函数的导数1．基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．2．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：（1）求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．（2）利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．（3）在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．3．应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导．【例1】求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）方法一：.方法二：因为，所以.（2）.（3）.【名师点睛】要注意区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．二、导数几何意义的应用利用导数的几何意义解题时需注意：（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解；（2）在切点处的导数值等于切线的斜率.【例2】过函数的图象上一点的切线方程是A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由易知.所给点不一定是切点，设切点为，则切线方程为，已知点在切线上，所以将点的坐标代入切线方程，解得或.当时，，则过点的切线方程为；当时，则点是切点，切线的斜率为，则切线方程为，即.综上，所求切线方程为或.故选D.【名师点睛】求切线方程时，首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出.【例3】已知曲线，直线，且直线l与曲线C相切于点，求直线l的方程及切点坐标.【解析】∵直线l过原点，∴直线l的斜率为，由点在曲线C上，得，则.又，∴，又，∴，整理得.∵，∴，此时，.因此直线l的方程为，切点坐标为.【名师点睛】求解时，注意根据题目条件舍去不合适的解，如本题需舍去.三、因公式记忆不准确致误【例4】求函数的导数.【错解】.【错因分析】，错解中因漏掉负号致误.【正解】.【名师点睛】应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误.1．下列求导运算正确的是A．B．C．D．2．已知函数在点P处的导数值为3，则P点的坐标为A．B．C．或D．或3．已知函数的导函数为，且满足，则等于A．B．C．1D．e4．曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A．B．C．D．5．已知函数，则A．B．C．1D．06．函数的导函数为.7．设函数，若，则=.8．求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）.9．已知，则等于A．B．C．D．10．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数A．B．C．D．11．若，则的解集为A．B．C．D．12．已知函数的导函数为，且满足，则.13．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为令则的值为．14．设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.15．（2016·四川文科）设直线l1，l2分别是函数图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是A．B．C．D．16．（2016·新课标高考Ⅲ文科）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.17．（2015·天津文科）已知函数，其中a为实数，为的导函数,若，则a的值为．18．（2015·新课标全国Ⅱ文科）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则.1．B【解析】因为，所以A项应为；由知B项正确；由可知C项错误；D项中，，所以D项是错误的，综上所述，正确选项为B.2．D【解析】由得，令，则，故P点的坐标为或.3．B【解析】∵函数的导函数为，且满足，∴，把代入可得，解得.4．A【解析】因为，所以切线的斜率为，切线方程为，令得；令得，故围成的三角形的面积为，故选A.5．C【解析】由题意得，，令，则，解得，即，所以，故选C．6．【解析】，则.7．【解析】由题意得，又，解得．8．【解析】（1）因为，所以.（2）.（3）.（4）∵，∴.9．C【解析】令，则，，因此，则根据求导公式有，所以.故选C.10．B【解析】的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得．故选B．11．C【解析】要使函数有意义，则，∵，∴，若，则，即，解得或（舍去），故不等式的解集为，故选C.12．【解析】∵，∴，令，则，∴；令，则，∴，∴.13．【解析】导函数，切线斜率，所以切线方程为，可求得切线与横轴的交点为，则，所以有.14．【解析】（1）由得.当时，，则①.又，则②.由①②得，解得.故.（2）设为曲线上任一点，由，知曲线在点处的切线方程为，即.令得，从而得切线与直线的交点坐标为；令得，从而得切线与直线的交点坐标为，所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为.故曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.15．A【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程为，切线的方程为，即.分别令得与的交点为，故选A.16．【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．17．3【解析】因为，所以.18．8【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线方程为，即.又切线与曲线相切，当时，，显然与平行，故，由，得，则，解得.

3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数1．函数的单调性与其导数的关系在某个区间内，如果_______，那么函数在这个区间内单调递增；如果_______，那么函数在这个区间内单调递减.注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0.2．函数图象与之间的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较______，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.K知识参考答案：1．2．大K—重点利用导数判断函数的单调性K—难点利用导数判断函数的单调性K—易错（1）由函数的单调性确定参数的取值范围时，不要忽略的情况；（2）求函数的单调区间时，一定要在定义域范围内求解一、利用导数判断函数的单调性1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论．2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接．【例1】求下列函数的单调区间：（1）；（2）.【解析】（1）由题意得.令，解得或.当时，函数为增函数；当时，函数也为增函数.令，解得.当时，函数为减函数.故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）函数的定义域为..令，解得；令，解得.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【名师点睛】由于在某区间上，个别点使导数为零不影响函数的单调性，故单调区间也可以写为闭区间的形式.【例2】已知函数其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间.【解析】（1）当时，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令，解得或.因为，所以分两种情况讨论：①若，则.当变化时，，的变化情况如下表：+–+所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.②若，则.当变化时，，的变化情况如下表：+–+所以的单调递增区间是，；的单调递减区间是.【名师点睛】对于含有参数的函数的单调性，要注意分类讨论的标准及函数的定义域.二、函数与导函数图象之间的关系判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.【例3】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为ABCD【答案】D【解析】本题主要考查导数图象的判定.根据题意，已知函数的图象，结合函数的单调性可知，在y轴左侧为增函数，导数恒大于等于零，排除A，C，然后在y轴右侧，函数先增后减再增，导数值先正后负再正，故可知排除B，满足题意的为D.【名师点睛】常见的函数值变化快慢与导数的关系为：对于①，函数值增加得越来越快，且越来越大；对于②，函数值增加得越来越慢，且越来越小；对于③，函数值减少得越来越快，且越来越小，绝对值越来越大；对于④，函数值减少得越来越慢，且越来越大，绝对值越来越小.三、导数在解决单调性问题中的应用1．已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将或的参数分离，转化为求函数的最值问题.2．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.【例4】已知函数，.若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围.【解析】方法一：函数的定义域为，，∴.∵函数在上单调递增，∴，即对都成立，∴对都成立.当时，，当且仅当，即时，取等号.∴，即，∴的取值范围为.方法二：函数的定义域为，，∴.方程的根的判别式为.①当，即时，，此时，对都成立,故函数在定义域上是增函数.②当，即或时，要使函数在定义域上为增函数，只需对都成立.设，则，得.故.综合①②得的取值范围为.【名师点睛】函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0.求解时一定要注意.【例5】（2016·北京文科）设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.【解析】（I）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．（II）当时，，所以．令，得，解得或．与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（III）当时，，，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．当时，只有一个零点，记作．当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递增．所以不可能有三个不同零点．综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．故是有三个不同零点的必要条件．当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．【名师点睛】此题综合了导数、零点、充要条件等知识，这就要求同学们在学习时，要注意与前面的知识综合，做到知识的灵活运用.第（III）问在证明必要而不充分条件时，一定分清谁是条件，谁是结论.四、求函数单调区间时忽略函数的定义域【例6】函数的单调递增区间为．【错解】由得，令，得或，则或.故函数的单调递增区间为，.【错因分析】错解中忽略了函数的定义域为.【正解】由得，且，令，得，则.故函数的单调递增区间为．【名师点睛】讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，一定要在函数的定义域范围内求解，即要遵循定义域优先的原则.1．函数在内是A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是ABCD3．定义域为的可导函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为A．B．C．D．4．若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是A．B．C．D．5．函数，的单调递减区间为．6．已知定义在上的可导函数满足，若，则实数的取值范围是__________．7．已知，证明：.8．已知函数，试讨论的单调性.9．已知函数在上不单调，则的取值范围是A．B．C．D．10．已知函数为定义在实数集上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，，，则A．B．C．D．11．已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是______.12．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数a的最小值．13．（2015·陕西文科）设，则A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数14．（2016·新课标全国Ⅰ文科）若函数在单调递增，则a的取值范围是A．B．C．D．15．（2016·新课标全国Ⅰ文科）已知函数QUOTE.（I）讨论的单调性；（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.1．A【解析】因为恒成立，所以函数在内是增函数，故选A.2．B【解析】由的图象及导数的几何意义可知，当时，；当时，；当时，，故B符合.3．C【解析】构造函数，则，在上单调递减，又等价于，从而.4．D【解析】，∵函数在区间上单调递增，∴在区间上恒成立，∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．5．（也可写为）【解析】由题意得，令且，则．6．【解析】令,则,故函数在上单调递减,又由题设知，则,故,即．7．【解析】令，则.∵，∴，∴在上单调递增，∴.从而，命题得证．8．【解析】，.当时，易知在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数.9．D【解析】由得.因为函数在上不单调，所以在上存在零点，而，所以，解得.故选D.10．A【解析】因为是奇函数，则，则不等式为，即.设，则是偶函数，又，所以是上的减函数，是上的增函数，，，又，所以，即．故选A．11．1【解析】令，得.设，则，∵时，有，∴时，有，即当时，，此时函数单调递增，；当时，，此时函数单调递减，，结合函数的图象，可知在区间上函数和的图象有一个交点，即的零点个数是.12．【解析】（1）由已知得函数的定义域为,,当时,，所以函数的单调递增区间是；当且时,，所以函数的单调递减区间是.（2）因为在上为减函数，且，所以在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．13．B【解析】因为，所以是奇函数.又，所以单调递增，故既是奇函数又是增函数.14．C【解析】对恒成立，故，即恒成立，即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．15．【解析】（I）（i）设，则当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.（ii）设，由得或.①若，则，所以在上单调递增.②若，则，故当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.③若，则，故当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）（i）设，则由（I）知，在上单调递减，在上单调递增.又，取b满足b<0且，则，所以有两个零点.（ii）设a=0，则，所以只有一个零点.（iii）设a<0，若，则由（I）知，在上单调递增.又当时，，故不存在两个零点；若，则由（I）知，在上单调递减，在上单调递增.又当时，故不存在两个零点.综上，a的取值范围为.【名师点睛】本题第（I）问是用导数研究函数的单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数的取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性破解.一日，期中考试，所有题目都是选择题，所以甲生就带了一个骰子去，乙生坐在他旁边，以下是考试情形：甲生丢骰子，甲：3，1，1，3，4，2，4，2，1，然后甲生就写完了，开始睡觉。不久，甲生起来了，又开始丢骰子。乙：你在干嘛?甲：验算啊!3.3.2函数的极值与导数3.3.3函数的最大（小）值与导数1．函数的极值与导数（1）函数极值的概念若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.（2）可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是________.充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号.（3）函数极值的求法一般地，求函数的极值的方法是：解方程.当时：①如果在附近的左侧，右侧，那么是________；②如果在附近的左侧，右侧，那么是_________.2．函数的最值与导数一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.K知识参考答案：1．（1）（2）（3）①极大值②极小值K—重点利用导数求函数的极值和最值的方法K—难点函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系K—易错（1）对函数取得极值的充要条件理解不到位；（2）求最值时，易忽略函数的定义域一、求函数的极值1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）.【例1】已知函数（且），求函数的极大值与极小值.【解析】由题设知，.令得或.当时，随的变化，与的变化如下：0+0–0+极大值极小值则，.当时，随的变化，与的变化如下：0–0+0–极小值极大值则，.故，.【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小.二、极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值.需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件.【例2】已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）求在点处的切线方程．【解析】（1），令，根据题意，得2，3是方程的两根，则有.此时，，经检验，在处取得极值.（2），则，得.又由，得.从而，得所求切线方程为，即．三、求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．【例3】已知函数，其中，为自然对数的底数.设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值.【解析】由，有，所以.因此，当时，.当时，，所以在区间上单调递增.因此在上的最小值是；当时，，所以在区间上单调递减.因此在上的最小值是；当时，令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.于是，在上的最小值是.综上所述，当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是.【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值.（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个.四、最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值.【例4】已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）当时，的最小值是，求实数的值．【解析】（1），，当时，在上恒成立，则的单调递减区间为；当时，令，得，则的单调递减区间为．（2）当时，在上单调递减，则；当时，在上单调递增，则，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增，则，解得，舍去.综上，得．【名师点睛】本题中的参数对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对进行分类讨论.五、恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立．【例5】已知函数.（1）求的极小值；（2）对恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1），令，得.当变化时，与的变化情况如下表：则的极小值为.（2）当时，恒成立.令，则，令，得..当变化时，与的变化情况如下表：则，故实数的取值范围是.【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成或的形式，然后利用导数求出函数的最值，则由或即可求出参数的取值范围.六、因未验根而致误【例6】已知在时有极值0，求常数a，b的值．【错解】因为在时有极值0且，所以，即，解得或.【错因分析】解出a，b的值后，未验证两侧函数的单调性而导致产生增根．【正解】因为在时有极值0，且.所以，即，解得或.当，时，，所以在上为增函数，无极值，故舍去．当，时，．当时，为增函数；当时，为减函数；当时，为增函数．所以在时取得极小值，因此，.【名师点睛】可导函数在处的导数为0是该函数在处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由求出的参数需要检验，以免出错．1．下列说法正确的是 A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2．设函数，则A．x＝1为的极大值点B．x＝1为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点3．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值4．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为_________.5．已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是_________.6．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为_________.7．已知函数，求函数SKIPIF1<0在上的最大值和最小值.8．已知函数.（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；（2）求函数SKIPIF1<0的极值.9．已知函数，，若至少存在一个，使成立，则实数a的范围为A．B．C．D．10．函数在内有极小值，则A．B．C．D．11．已知函数在处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值.12．已知函数（为实数），.（1）讨论函数的单调区间；（2）求函数的极值；（3）求证：.13．（2016·四川文科）已知a为函数的极小值点，则a=A．–4B．–2C．4D．214．（2016·山东文科）设.（I）令，求的单调区间；（II）已知在处取得极大值，求实数a的取值范围.15．（2015·新课标全国Ⅱ文科）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围.1．D【解析】由极值与最值的概念可知应选D.2．D【解析】本题考查函数的极值点.由题意得，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点.3．D【解析】由函数的图象可知，，，并且当时，；当时，，则函数有极大值．又当时，；当时，，则函数有极小值．故选D．4．【解析】，则由，得或；由，得，所以是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以，即，解得.5．或【解析】由题意得有两个不相等的实根，则或.6．【解析】由题意知，由得或，当或时，；当时，，则在上单调递增，在上单调递减，由条件知，故，，从而最小值为.7．【解析】.当变化时，的变化情况如下表：1+0–0+递增极大值递减极小值递增因此，当时，有极大值，为；当时，有极小值，为，又，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为2，最小值为.8．【解析】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，.（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则，，故SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为，即SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0可知：①当SKIPIF1<0时，，函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，函数SKIPIF1<0无极值;②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.当时，；当时，.故SKIPIF1<0在处取得极小值，且极小值为，无极大值.综上，当SKIPIF1<0时，函数无极值；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0，无极大值.9．B【解析】由题意得在上有解，即，设，则，因此当时，，则.故选B．10．C【解析】，令，得，当时，，函数是增函数；当时，，函数是减函数；当时，，函数是增函数，是极小值点，故选C．11．【解析】（1）因为，所以.由于在点处取得极值，故有，即，化简得，解得.（2）由（1）知，.令，得.当时，，故在上为增函数；当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数.由此可知在处取得极大值，在处取得极小值.由题设条件知，得，此时，因此在上的最小值为.12．【解析】（1）由题意得，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由可得，由可得，故函数在上单调递增，在上单调递减.（2）函数的定义域为，，由可得；由，可得.所以函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极大值，为.（3）当时，，由（1）知，在处取得极小值，也是最小值，则，故，得到.由（2）知，在处取得最大值，且，故，得到.综上，.13．D【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.14．【解析】（I）由可得，则，当时，时，，函数单调递增；当时，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.所以当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（II）由（I）知，.①当时，单调递增.所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以在x=1处取得极小值，不合题意.②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，可得当时，，时，，所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以在x=1处取得极小值，不合题意.③当时，，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，所以当时，，单调递减，不合题意.④当时，，当时，，单调递增,当时，，单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.15．【解析】（Ⅰ）的定义域为，，若，则，所以在上单调递增.若，则当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；当时，在处取得最大值，最大值为.因此，.令，则在上是增函数，，于是，当时，；当时，，因此a的取值范围是.开心开心一刻一次，上美术课。不知道老师说了什么，只知道老师说了一句：“我只想说4个字‘我的天’。”有一个同学，听见了后说了一句：“老师，你说错了，那根本是2个字。”沉默了一会，全班爆笑。天啊，我们班的数学怎么了？老师也无语了。3.4生活中的优化问题举例1．利用导数解决优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.______是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：K知识参考答案：1．导数K—重点利用导数解决生活中的优化问题K—难点利用导数解决利润最大、用料最省、效率最高等问题K—易错求利润最大、用料最省、效率最高等问题时，易忽略实际意义一、最大值问题实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.【例1】如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【解析】设箱子的底边长为xcm，则箱子高cm，箱子容积，得，令，解得（不合题意，舍去），.当x在内变化时，的正负如下表：因此在处，函数取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值.将代入，得最大容积为.所以，箱子底边长取40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3.【名师点睛】（1）求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．（2）注意根据实际意义对求出的解进行取舍.二、最小值问题实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．【例2】一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为10海里/小时时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？【解析】设速度为海里/小时时的燃料费是每小时元，那么由题设的比例关系得，其中k为比例系数，又时，p＝6，则QUOTEk=6103=0.006，于是有.又设当船的速度为每小时海里时，航行1海里所需的总费用为q元，因为每小时所需的总费用是(元)，而航行1海里所需的时间为QUOTE小时，所以，航行1海里的总费用为QUOTE，所以QUOTE，令，解得.当时，；当时，，故当时，q取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小.【名师点睛】本题是费用最少问题，若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左减右增，则此时唯一的极小值就是最小值.1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为，那么速度为零的时刻是A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末2．现做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为A．cmB．100cmC．20cmD．cm3．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为QUOTE48m3，高为3m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为A．900元B．840元C．818元D．816元4．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为__________.5．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.6．请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.7．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为．8．如图1，，，过动点A作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示）．则当的长为多少时，三棱锥的体积最大？图1图29．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（）千元．设该容器的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的