湖南省沅陵县2024届九年级数学第一学期期末统考试题含解析

湖南省沅陵县2024届九年级数学第一学期期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则cosB的值(

)A． B． C． D．2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1；④当y＞0时，﹣3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大：⑥若点E（﹣4，y1），F（﹣2，y2），M（3，y3）是函数图象上的三点，则y1＞y2＞y3，其中正确的有（）个A．5 B．4 C．3 D．23．如图，是的直径，是的弦，已知，则的度数为（）A． B． C． D．4．程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．对书中某一问题改编如下：意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个正好分完，大和尚共分得（）个馒头A．25 B．72 C．75 D．905．二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：（1）4a+b=0；（1）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+1c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y1）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y1；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x1，且x1＜x1，则x1＜﹣1＜5＜x1．其中正确的结论有（）A．1个 B．3个 C．4个 D．5个6．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C． D．7．一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和个黑球．随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在1．2附近，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．118．一元二次方程x2﹣16=0的根是（

）A．x=2

B．x=4

C．x1=2，x2=﹣2

D．x1=4，x2=﹣49．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣5x的图象上，则y1，y2，y3A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y110．如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（）A． B． C． D．11．若整数a使关于x的分式方程＝2有整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣14 B．﹣17 C．﹣20 D．﹣2312．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是()A．①④ B．①② C．②③④ D．②③二、填空题（每题4分，共24分）13．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．14．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点．若的面积为8，则的值为________．15．已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________．16．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为_____．17．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC=_____．18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是__．三、解答题（共78分）19．（8分）解下列方程：20．（8分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；(2)求证：DE=DB．21．（8分）如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD.（1）求证：ADE~ABC.（2）若点E为AB为中点，AD：AE＝6：5，ABC的面积为50，求BCD面积.22．（10分）如图，中，，以为直径作，交于点，交的延长线于点，连接,.（1）求证：是的中点；（2）若，求的长.23．（10分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．（1）求一次函数，反比例函数的表达式；（2）求证：点C为线段AP的中点；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形．如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．24．（10分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？25．（12分）如图，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数（x>0）的图象交于点A（m,3）和B（3,n）.过A作AC⊥x轴于C，交OB于E，且EB=2EO（1）求一次函数和反比例函数解析式（2）点P是线段AB上异于A，B的一点，过P作PD⊥x轴于D，若四边形APDC面积为S，求S的取值范围.26．如图，反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝mx+n的图象过格点（网格线的交点）B、P．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是：．（3）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】先由勾股定理求得BC的长，再由锐角三角函数的定义求出cosB即可；【题目详解】由题意得BC=则cosB=；故答案为：B.【题目点拨】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解题的关键.2、C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性逐个进行判断，得出答案．【题目详解】由抛物线的开口向上，可得a＞0，对称轴是x＝﹣1，可得a、b同号，即b＞0，抛物线与y轴交在y轴的负半轴，c＜0，因此abc＜0，故①不符合题意；对称轴是x＝﹣1，即﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，因此②符合题意；抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0），可知与x轴的另一个交点为（﹣3，0），因此一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，故③符合题意；由图象可知y＞0时，相应的x的取值范围为x＜﹣3或x＞1，因此④不符合题意；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，因此当x＞0时，y随x的增大而增大是正确的，因此⑤符合题意；由抛物线的对称性，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，∵﹣4＜﹣2，∴y1＞y2，（3，y3）l离对称轴远因此y3＞y1，因此y3＞y1＞y2，因此⑥不符合题意；综上所述，正确的结论有3个，故选：C．【题目点拨】考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握a、b、c的值决定抛物线的位置，抛物线的对称性是解决问题的关键．3、C【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【题目详解】∵，∴．故选：C．【题目点拨】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、C【分析】设有x个大和尚，则有（100-x）个小和尚，根据馒头数=3×大和尚人数+×小和尚人数结合共分100个馒头，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；【题目详解】解：设有x个大和尚，则有(100−x)个小和尚，依题意，得：3x+(100−x)=100，解得：x=25，∴3x=75；故选：C.【题目点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用是解题的关键.5、B【解题分析】根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-4a，变形为4a+b=0，所以（1）正确；由x=-3时，y＞0，可得9a+3b+c＞0，可得9a+c＞-3c，故（1）正确；因为抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a﹣3b+1c=7a+11a-5a=14a，由函数的图像开口向下，可知a＜0，因此7a﹣3b+1c＜0，故（3）不正确；根据图像可知当x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x增大而减小，可知若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y1）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y1，故（4）不正确；根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x1，且x1＜x1，则x1＜﹣1＜x1，故（5）正确．正确的共有3个.故选B.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax1+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．

抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b1﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b1﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b1﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6、D【分析】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．【题目详解】解：∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝,∴AD＝OA＋OD＝5＋3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝，故选D．【题目点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．7、C【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【题目详解】解：依题意有：=1.2，

解得：n=2．

故选：C．【题目点拨】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．8、D【解题分析】本题考查了一元二次方程的解法，移项后即可得出答案．【题目详解】解：16=x2，x=±1．故选：D【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．9、C【解题分析】将点A（-1，y1），B（1，y2），C（3，y3）分别代入反比例函数y＝﹣5x，并求得y1、y2【题目详解】根据题意，得

y1=-5-1=5，即y1=5，

y2=-51=-5，即y2=-5，

y3=-53=-53，即【题目点拨】本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟记点的横纵坐标满足反比例函数的解析式．10、C【分析】先根据圆周角定理求出∠ACD的度数，再由直角三角形的性质可得出结论．【题目详解】∵，∴∠ABD=∠ACD=40°，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-40°=50°．

故选：C．【题目点拨】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．11、A【解题分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出a的范围，从而确定a满足条件的所有整数值，求和即可.【题目详解】不等式组整理得：,由不等式组至少有4个整数解，得到a+2＜﹣1，解得：a＜﹣3，分式方程去分母得：12﹣ax＝2x+4，解得：x＝，∵分式方程有整数解且a是整数∴a+2＝±1、±2、±4、±8，即a＝﹣1、﹣3、0、﹣4、2、﹣6、6、﹣10，又∵x＝≠﹣2，∴a≠﹣6，由a＜﹣3得：a＝﹣10或﹣4，∴所有满足条件的a的和是﹣14，故选：A．【题目点拨】本题主要考查含参数的分式方程和一元一次不等式组的综合，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法，是解题的关键，特别注意，要检验分式方程的增根.12、D【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．【题目详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：，把代入得，解得，∴函数解析式为，把代入解析式得，，解得：或，∴小球的高度时，或，故④错误；故选D．【题目点拨】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意二、填空题（每题4分，共24分）13、或或1【题目详解】如图所示：①当AP=AE=1时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=；②当PE=AE=1时，∵BE=AB﹣AE=8﹣1=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===；③当PA=PE时，底边AE=1；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或1；故答案为或或1．14、【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．【题目详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．的面积与四边形的面积相等，∴四边形DEAB＝8，设D点的横坐标为x，纵坐标就为∵D为OB的中点．∴∴四边形DEAB的面积可表示为：∴故答案为：【题目点拨】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．15、2或1【解题分析】分析：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．详解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=1cm．∴AB与CD之间的距离为1cm或2cm．故答案为2或1．点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．16、4【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【题目详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE．在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=×6=2，根据勾股定理得：x2=（6﹣x）2+（2）2，解得：x=4，∴EC=4，则S△AEC=EC•AD=4．故答案为4．【题目点拨】本题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．17、90°﹣α．【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．【题目详解】连接OC．∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=α，∴∠BOC=2α．∵OB=OC，∴∠OBC故答案为：．【题目点拨】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．18、（47，）【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．【题目详解】解：∵OA1=1，∴OC1=1，∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，∴C1的纵坐标为：sim60°.OC1＝，横坐标为cos60°.OC1＝，∴C1，∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，∴A1C2=2，A2C3=4，A3C4=8，…∴C2的纵坐标为：sin60°A1C2=，代入y求得横坐标为2，∴C2（2，），∴C3的纵坐标为：sin60°A2C3=，代入y求得横坐标为5，∴C3（5，），∴C4（11，），C5（23，），∴C6（47，）；故答案为（47，）．【题目点拨】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．三、解答题（共78分）19、x1=5，x2=1．【解题分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【题目详解】x2-10x+25=2（x-5），

（x-5）2-2（x-5）=0，

（x-5）（x-5-2）=0，

x-5=0，x-5-2=0，

x1=5，x2=1．【题目点拨】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．20、（1）35°；（2）证明见解析.【分析】（1）由点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，易得∠CAD=，进而得出∠CBD=∠CAD=35°；(2)由点E是△ABC的内心，可得E点为△ABC角平分线的交点，可得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，可推导出∠DBE=∠BED，可得DE=DB.【题目详解】（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，∴∠CAD=，∵，∴∠CBD=∠CAD=35°；（2）∵E是内心，∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．∵∠CBD=∠CAD，∴∠CBD=∠BAD，∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，∴∠DBE=∠BED，∴DE=DB.【题目点拨】此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性较强,注意数形结合思想的应用.21、(1)详见解析；(2)14【分析】（1）根据可得，又因，由相似三角形的判定定理即可证；（2）设，根据得，由点E是AB的中点得，可求出的值，根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方可得的面积，因等底等高得，的面积等于的面积，从而可得答案.【题目详解】（1）在和中，（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）（2）设又点E是AB的中点由题（1）知又又和的边，且边上对应的高是同一条高答：的面积为14.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，熟记判定定理和性质是解题关键.22、（1）详见解析；（2）.【分析】（1）根据题意得出，再根据三线合一即可证明；（2）在中，根据已知可求得，，，再证明，得出，代入数值即可得出CE.【题目详解】（1）证明：是的直径，，又是中点.（2）解：，，，，，，.,.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握定理是解题的关键.23、（1）y＝x＋1；y＝（2）证明见解析；（3）存在，D（8，1）．【分析】（1）由点A与点B关于y轴对称，可得AO＝BO，再由A的坐标求得B点的坐标，从而求得点P的坐标，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式；(2)由AO＝BO，PB∥CO，即可证得结论；（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝的图象于点D，分别连结PD、BD，如图所示，即可得点D（8，1），BP⊥CD，易证PB与CD互相垂直平分，即可得四边形BCPD为菱形，从而得点D的坐标．【题目详解】解：（1）∵点A与点B关于y轴对称，∴AO＝BO，∵A(－4，0)，∴B(4，0)，∴P(4，2),把P(4，2)代入y＝得m＝8，∴反比例函数的解析式：y＝把A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b得：，解得：，所以一次函数的解析式：y＝x＋1；（2）∵点A与点B关于y轴对称，∴OA=OB∵PB丄x轴于点B，∴∠PBA=90°，∵∠COA=90°，∴PB∥CO，∴点C为线段AP的中点.（3）存在点D，使四边形BCPD为菱形∵点C为线段AP的中点，∴BC=，∴BC和PC是菱形的两条边由y＝x＋1，可得点C(0，1)，过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝的图象于点D