深圳市必修一第四单元《函数应用》检测卷(答案解析)

一、选择题1．关于x的方程有4个不同的解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知方程有两个实根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．设，定义在区间上的函数的值域是，若关于的方程有实数解，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．函数的图象大致是（）A． B．C． D．5．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时6．已知函数的两个极值分别为和，若和分别在区间与内，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．用二分法求方程x2–2=0在（1，2）内近似解，设f（x）=x2–2，得f（1）<0，f（1.5）>0，f（1.25）<0，则方程的根在区间()A．（1.25，1.5） B．（1，1.25） C．（1,1.5） D．不能确定8．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的，则至少需要的年数是（）A．6 B．5 C．4 D．39．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投人.若该高校年全年投入科研经费万元，在此基础上，每年投人的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过万元的年份是（参考数据：，，）（）A．年 B．年C．年 D．年10．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为()A． B． C． D．11．若函数有4个零点，则实数a的取值范围为（）A． B． C．或 D．12．下列方程在区间内存在实数解的是（）A． B． C． D．二、填空题13．函数，，若方程有3个不等的实数根，则实数的取值范围为________.14．已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.15．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．16．规定为不超过的最大整数，如，.若函数，则方程的解集是______.17．已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是______.18．函数，函数，若方程恰有三个实数解，则实数的取值范围为__________19．已知函数，给出下列三个结论：①当时，函数的单调递减区间为；②若函数无最小值，则的取值范围为；③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且．其中，所有正确结论的序号是______．20．用符号表示不超过的最大整数，例如：；；.设函数有三个零点，，且，则的取值范围是_____________.三、解答题21．对于函数，若，使成立，则称为关于参数的不动点.设函数（1）当时，求关于参数的不动点；（2）若，函数恒有关于参数的两个不动点，求的取值范围；（3）当时，函数在上存在两个关于参数的不动点，试求参数的取值范围.22．某化工厂一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为时溶液杂质含量为y（1）分别求出1次过滤、2次过滤以后的溶液杂质含量，的值．（2）写出y与x的函数关系式（要求写出定义域）（3）按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg2=0.301)23．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？24．已知函数是定义域上的奇函数，且．（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；（2）令，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）令，若对，都有，求实数的取值范围．25．为了在“双”购物狂欢节降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定：①若一次购物付款总额不超过元，则不予优惠；②若一次购物付款总额超过元，但不超过元，则按标价给予折优惠；③若一次购物付款总额超过元，其中元按第②条给予优惠，超过的部分给予折优惠.（1）若一次性购买元商品，实际付款数为，求的解析式；（2）小丽和她妈妈两人先后各去超市购物一次，分别付款为元和元.假如她俩一同去超市一次性购买上述同样的商品，则应付款为多少元？26．设函数；（1）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论；（2）画出的图象；若方程有3个不同的实数根，试写出这3个根．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由可得，转化为与的图象有4个不同的交点，作出，数形结合即可求解.【详解】由可得，令，若关于x的方程有4个不同的解，则与的图象有4个不同的交点，是偶函数，当时，在单调递增，在单调递减，所以的图象如图所示：当时，若与的图象有4个不同的交点，由图知，故选：C【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．B解析：B【分析】先将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题，再利用判别式和韦达定理即可求出实数的取值范围.【详解】设，则，则方程有两个实根可转化为方程有两个正根，则利用判别式和韦达定理得，解得：；所以实数的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点睛：将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题是解决本题的关键.3．D解析：D【分析】首先利用函数值域确定自变量范围，再初步确定，的关系，然后结合指数函数的性质整理计算即可求得最终结果．【详解】函数的值域是，，，，，，或，；又关于的方程有实数解，有解，，，则，则，故选：D【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解4．A解析：A【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，再根据，时即可得到正确的图像.【详解】，，因此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除，又当时，，，排除.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数图像，考查利用函数的奇偶性看图形，排除法的应用，考查学生的分析问题的能力，是中档题.5．C解析：C【分析】根据题意求得和的值，然后计算出的值即可得解.【详解】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，所以，得．又由知，，所以当时，，故选：C．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，求出和的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A【分析】由极值点的所在区间即可知的导函数的零点区间，应用根的分布可得，结合目标式的几何意义即可求其范围.【详解】由题意知：，而两个极值点和分别在区间与内，∴方程两个根在与内，开口向上，∴，可得，即，∴令，问题转化为在的可行域内的点与原点所成直线斜率的取值范围，如下图示：有，故选：A【点睛】本题考查了根据函数极值点的所在区间求目标式的范围，应用了极值点与导数关系、根的分布、不等式的性质，结合线性规划及目标式的几何意义求范围，属于中档题.7．A解析：A【分析】根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论.【详解】已知,所以,可得方程的根落在区间内,故选A.【点睛】该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题，涉及到的知识点有二分法，函数零点存在性定理，属于简单题目.8．C解析：C【分析】设这种放射性物质最初的质量为1，经过年后，剩留量是，则有，然后根据物质的剩留量不超过原来的，建立不等关系，利用对数运算性质进行求解即可.【详解】设这种放射性物质最初的质量为1，经过年后，剩留量是，则有，依题意得，整理得，解得，所以至少需要的年数是4，故选C.【点睛】该题考查的是有关放射性物质的剩留量的求解问题，在解题的过程中，注意根据条件，列出相应的关系式，之后将其转化为指数不等式，结合指数函数的性质，求得结果，属于简单题目.9．C解析：C【分析】由题意知，年是第年，则第年全年投入的科研经费为万元，然后解不等式，将指数式化为对数式，得出的取值范围，即可得出答案.【详解】若年是第年，则第年全年投入的科研经费为万元，由可得，，所以，得，则正整数的最小值为，所以第年，即年全年投入的科研经费开始超过万元，故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解题的关键就是列出指数不等式，考查函数思想的应用与计算能力，属于中等题.10．D解析：D【解析】函数在区间上的零点就是函数与函数的交点的横坐标．∵∴，即函数的周期为，且函数的图象关于直线对称．又可得，从而函数的图象关于点(π,0)对称．函数的图象关于点(π,0)对称．画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称．所以函数在区间上所有零点之和为2π+2π=4π．选D．点睛：解答本题的关键是将函数零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象．同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用．11．D解析：D【分析】令，可得，作出的图象，令直线与的图象有4个交点，可求出实数a的取值范围.【详解】令，则，构造函数，作出的图象，如下图，在上的最大值为，当时，直线与的图象有4个交点，所以函数有4个零点，实数a的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查函数的零点，注意利用数形结合方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．B解析：B【分析】利用方程和函数之间的关系分别进行判断即可得到结论.【详解】A：令，因为抛物线开口向上，，所以在区间内无实数解；B：令，解得，所以在区间内有实数解；C：令，则在成立，所以函数在上单调递增，又，故在区间内无实数解；D：当时，，，则，此时方程在内无解.故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程以及零点存在定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】作出函数的图象及与函数的图象求出相切时的值即可得答案；【详解】分别作出函数的图象即当与相切时方程有3个不等的实数根两函数图象有3个交点由图可知时符合题意故答案为：【点睛】利用数形结合思想作出解析：【分析】作出函数的图象及与函数的图象，求出相切时的值即可得答案；【详解】分别作出函数的图象，即当与相切时，，,方程有3个不等的实数根，两函数图象有3个交点，由图可知时符合题意，故答案为：.【点睛】利用数形结合思想，作出两函数的图象，首先找到临界位置，即相切位置.14．【分析】作出函数f(x)的图象将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点转化为y=f(x)y=k的图象又两个不同的交点求解【详解】函数的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点等解析：【分析】作出函数f(x)，的图象，将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，转化为y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点求解.【详解】函数的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，由图知：故答案为：【点睛】方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．15．【分析】问题等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点画出函数的图象然后结合图象求解即可【详解】关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根等价于函数y=f(x)的图象与函数y＝k的图象有三个解析：【分析】问题等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，画出函数的图象，然后结合图象求解即可．【详解】关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y=f(x)的图象与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16．【分析】先计算出的取值再结合题目中的规定计算出结果【详解】由方程可得或若则故或由题目中的规定为不超过的最大整数当时可得当时可得;若则无解综上方程的解集是故答案为:【点睛】本题考查了新定义内容结合函数解析：【分析】先计算出的取值,再结合题目中的规定计算出结果.【详解】由方程,可得或,若,则,故或,由题目中的规定为不超过的最大整数,当时,可得,当时,可得;若,则无解,综上方程的解集是.故答案为:【点睛】本题考查了新定义内容,结合函数思想来解题,需要理清题意,抓住题目的核心,通常考查函数的性质、零点等问题.17．且【分析】先化简函数再由过定点（02）在同一坐标系中作出两个函数的图象利用数形结合法求解【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示:因为函数的图像与函数的图像恰有两个交点所以且故答案为：且【点解析：且【分析】先化简函数，再由过定点（0,2），在同一坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合法求解.【详解】，，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示:因为函数的图像与函数的图像恰有两个交点，所以且，故答案为：且，【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.18．【分析】要使方程恰有三个实数解则函数的图像恰有三个交点再分别作出函数的图像观察图像的交点个数即可求解【详解】依题意画出的图像如图：直线过定点由图像可知函数的图像与的图像相切时函数的图像恰有两个交点下解析：【分析】要使方程恰有三个实数解，则函数，的图像恰有三个交点，再分别作出函数，的图像，观察图像的交点个数即可求解.【详解】依题意，画出的图像，如图：直线过定点，由图像可知，函数的图像与的图像相切时，函数，的图像恰有两个交点，下面利用导数法求该切线的斜率，设切点为，由，得，化简得：，解得或（舍去）,要使方程恰有三个实数解，则函数，的图像恰有三个交点，结合图像可知.所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属于中档题.19．②③【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设进而可得令验证后即可判断③；即可得解【详解】对于①当时由所以函数在区间不单调递减故①解析：②③【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设，进而可得，，，令验证后即可判断③；即可得解.【详解】对于①，当时，由，，所以函数在区间不单调递减，故①错误；对于②，函数可转化为，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数无最小值，则的取值范围为，故②正确；对于③，令即，结合函数图象不妨设，则，所以，，，所以，令即，当时，，存在三个零点，且，符合题意；当时，，存在三个零点，且，符合题意；故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.20．【分析】由题意可知得；令可知单调递增区间为单调递减为作出的草图由图可知所以而所以即可得由此即可求出结果【详解】因为所以①或②由①得由②得令则所以当时单调递增时单调递减事实上当时当时由图显然所以而所以解析：【分析】由题意可知，得；令，可知单调递增区间为，单调递减为，作出的草图，由图可知，，所以，，而，所以，即，可得，由此即可求出结果.【详解】因为，，所以①或②.由①得，由②得.令，则，所以.当时，，单调递增，时，，单调递减.事实上，当时，，当时，.由图显然，，所以，，而，所以，即.所以，即解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了导函数在函数零点中的应用，属于难题.三、解答题21．（1）和4；（2）；（3）.【分析】（1）当，时，结合已知可得，解方程可求；（2）由题意可得，恒有2个不同的实数根，结合二次方程的根的存在条件可求；（3）方法一：问题转化为在上有两个不同解，再利用二次函数的图象列式可得．方法二，当，时，转化为问题在上有两个不同实数解，进行分离，结合对勾函数的性质可求．【详解】（1）当时，令，可得即解得或当时，求关于参数1的不动点为和4（2）依题意得，，关于的方程都有两个不等实数根从而有对都成立即关于的不等式对都成立故有解得（3）依题意，得方程在上恒有两个不等实数解法一：即在上恒有两个不等实数根(*)令，要使(*)成立法二：即在上恒有两个不等实数根令则直线与函数的图象有两个不同交点由于函数在上单调递减，在上单调递增且，结合函数的图象可知.【点睛】思路点睛：本题考查了二次函数的性质与图象，以及根据函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些．22．（1），；（2），；（3）7．【分析】（1）1次过滤后，，2次过滤后，，化简即可；（2）由每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半得，；（3）结合，解不等式，即可得到的范围．【详解】（1）1次过滤后，溶液杂质含量，2次过滤后，溶液杂质含量；（2）因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，所以过滤次数为时溶液杂质含量，．（3）设至少应过滤次才能是产品达到市场要求，则，即，所以，又，所以，即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求．【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.23．（1）y＝－＋29(m≥0)；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．.【分析】（1）根据(万件)求出，求出每件产品的销售价格，则可得利润关于的函数；（2）利用基本不等式可求得最大值.【详解】(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×(元)，所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方24．（1）；函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性；（2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可；（3）由对任意的，都有恒成立，可得，求出，进而可