深圳市XX中学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(答案解析)

一、选择题1．若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知函数，则满足函数的定义域和值域都是实数集的实数构成的集合为（）A． B． C． D．3．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（）(参考数据：)A． B． C． D．4．若x，y，z是正实数，满足2x=3y=5z，试比较3x，4y，6z大小（）A．3x>4y>6z B．3x>6z>4yC．4y>6z>3x D．6z>4y>3x5．已知，则（）A． B． C． D．6．集合的真子集的个数为（）A． B． C． D．7．一种放射性元素最初的质量为，按每年衰减．则这种放射性元素的半衰期为（）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到，已知，）A． B． C． D．8．已知，那么用表示是()A． B． C． D．9．函数的大致图象为（）A． B．C． D．10．设，，，则、、的大小关系（）．A． B． C． D．11．设是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()．A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)12．若，，，，则（）A． B． C． D．二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是___________．①函数在上是增函数；②函数的定义域是，则函数的定义域为；③已知=，且，则；④为奇函数．14．若，则______．15．方程的解为____；16．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是________．17．已知，则＝_____.18．已知，若，，则___________.19．设实数x满足，且，则______.20．函数的定义域是______，单调递减区间是______.三、解答题21．已知函数，.设函数.（1）求函数的定义域；（2）判断奇偶性并证明；（3）若成立，求的取值范围.22．计算下列各式的值：（1）（2）23．计算：(1)；(2).24．已知函数，常数.（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.25．已知函数是奇函数.（1）求实数，的值；（2）若对任意实数，都有成立.求实数的取值范围.26．设函数.（1）解不等式；（2）已知对任意的实数恒成立，是否存在实数k，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】转化为当时，函数的图象不在的图象的上方，根据图象列式可解得结果.【详解】由题意知关于的不等式在恒成立，所以当时，函数的图象不在的图象的上方，由图可知，解得.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数的图象与函数的图象求解是解题关键.2．A解析：A【分析】若定义域为实数集，则对于恒成立，可得，若值域为实数集，令，则此时需满足的值域包括，可得，再求交集即可.【详解】若定义域为实数集，则对于恒成立，即对于恒成立，因为，所以，所以，令，则若值域为实数集，则的值域包括，因为，所以，所以，故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为的等价条件即对于恒成立，分离参数求其范围，值域为的等价条件即可以取遍所有大于的数，由，所以，再求交集.3．B解析：B【分析】根据列式求解即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.4．B解析：B【分析】令，则，，，，利用作差法能求出结果.【详解】∵x、y、z均为正数，且，令，则，故，，，∴，即；，即，即成立，故选：B.【点睛】关键点点睛：（1）将指数式转化为对数式；（2）利用作差法比较大小.5．B解析：B【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果【详解】因为，，，．故选：B．【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答6．D解析：D【分析】分析指数函数与幂函数的图像增长趋势，当时，有1个交点；当时，有2个交点；即集合有3个元素，所以真子集个数为【详解】分析指数函数与幂函数的图像增长趋势，当时，显然有一个交点；当时，当时，；当时，；故时，有一个交点；分析数据发现，当x较小时，比增长的快；当x较大时，比增长的快，即是爆炸式增长，所以还有一个交点.即与的图像有三个交点，即集合有3个元素，所以真子集个数为故选：D.【点睛】结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A中含有n个元素，则集合A的子集有个，真子集有个，非空真子集有个.7．B解析：B【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期.【详解】设放射性元素的半衰期为年，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故选：B.【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路：（1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.8．B解析：B【解析】试题分析：,所以答案选.考点：指数对数的计算9．B解析：B【分析】根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案.【详解】当，，函数为奇函数，排除C；，排除A；，，故，排除D.故选：B.【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.10．A解析：A【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为在上单调递增，所以，即因为所以故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.11．A解析：A【解析】试题分析：由为奇函数，则，可得，即，又，即，可变为，解得．考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．12．B解析：B【分析】利用对数函数，结合基本不等式即可确定P、Q、R的大小关系【详解】由于函数在上是增函数，则由基本不等式可得因此，故选：B【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小二、填空题13．①④【分析】根据指数的运算性质且恒成立求出函数图象所过的定点可判断①；根据抽象函数的定义域的求法可判断②；根据奇函数的图象和性质求出可判断③；根据奇函数的定义及判定方法可判断④【详解】解：当时且恒成解析：①④【分析】根据指数的运算性质且恒成立，求出函数图象所过的定点，可判断①；根据抽象函数的定义域的求法，可判断②；根据奇函数的图象和性质，求出，可判断③；根据奇函数的定义及判定方法，可判断④【详解】解：当时，且恒成立，故（1）恒成立，故函数且的图象一定过定点，故①正确；函数的定义域是，则函数的定义域为，故②错误；已知，且，则，故③错误；的定义域为，且，故为奇函数，故④正确；故答案为：①④【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．14．16【分析】由通过对数运算得出由此再求的值要注意定义域【详解】∵∴解得∴故答案为：16【点睛】本题主要考查对数的运算还考查了运算求解能力属于基础题解析：16【分析】由，通过对数运算得出，由此再求的值．要注意定义域.【详解】∵，∴，解得，∴．故答案为：16【点睛】本题主要考查对数的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题．15．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【详解】解：可得即：解得（舍去）可得经检验是方程的解故答案为：【点睛】本题考查方程的解的求法对数的运算法则的应用考查计算能力解析：【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【详解】解：可得，即：，，解得（舍去），可得．经检验是方程的解．故答案为：．【点睛】本题考查方程的解的求法，对数的运算法则的应用，考查计算能力．16．【分析】分两种情况讨论当时结合图象可知；当时再分两种情况讨论分离参数后化为函数的最值可解得结果【详解】当时则恒成立等价于恒成立函数的图象如图：由图可知；当时所以恒成立等价于恒成立若则若则恒成立所以综解析：【分析】分，两种情况讨论，当时，结合图象可知；当时，再分，两种情况讨论，分离参数后化为函数的最值可解得结果.【详解】当时，，则恒成立等价于恒成立，函数的图象如图：由图可知；当时，，所以恒成立等价于恒成立，若，则，若，则恒成立，所以，综上所述：.故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；17．【分析】根据指数与对数之间的关系求出利用对数的换底公式即可求得答案【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系掌握对数换底公式:是解本题的关键属于基础题解析：【分析】根据指数与对数之间的关系,求出,利用对数的换底公式,即可求得答案.【详解】∵，∴，∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:是解本题的关键.属于基础题.18．9【分析】由对数的运算性质解并整理得由可求出的值【详解】解：整理得解得或因为所以则即因为所以所以解得或因为所以所以所以故答案为：9【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算解题的关键是由得出再解析：9【分析】由对数的运算性质解并整理得，由可求出的值.【详解】解：，整理得，解得或，因为，所以，则，即，因为，所以，所以，解得或，因为，所以，所以，所以.故答案为：9.【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算，解题的关键是由得出，再根据指数运算求解.19．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应解析：【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为，解方程求得或，进而结合的范围求得结果.【详解】即，解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.20．【分析】由表达式可知解出对应即可求解定义域再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间【详解】由题可知可看作在定义域内为减函数根据复合函数增减性当内层函数为增函数则在对应区间为减函数故函数的定义域是解析：【分析】由表达式可知，解出对应，即可求解定义域，再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间【详解】由题可知，，可看作，，在定义域内为减函数，根据复合函数增减性，当，内层函数为增函数，则在对应区间为减函数，故函数的定义域是，单调递减区间是故答案为：；【点睛】本题考查对数型函数具体定义域和对应增减区间，属于基础题三、解答题21．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）【分析】（1）由可解得结果；（2）是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确；（3）根据对数函数的单调性可解得结果.【详解】（1）由，解得，所以函数的定义域为.（2）是奇函数.证明如下：，都有，因为，∴是奇函数.（3）由可得，得，即，由对数函数的单调性得，解得.【点睛】易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域.22．（1）；（2）.【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.【详解】（1）原式.（2）原式.【点晴】本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算，属于中档题.指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）23．(1)10；(2)3.【分析】（1）根据根式定义化根式为分数指数幂，再由幂的运算法则计算；（2）由对数运算法则计算．【详解】(1)解：原式.(2)解：原式.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，考查幂和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题关键．24．（1）证明见解析；单调增区间为，；（2）.【分析】（1）时，，求其定义域，计算即可.（2）将不等式整理为，，只需要.利用单调性即可求出，进而可得.【详解】（1）证明：当时，.的定义域为.当时，.∴，∴是奇函数，是由和复合而成，单调递减，在和单调递减，所以在和单调递增，所以的单调增区间为，.（2）由，得，令，若使题中不等式恒成立，只需要.由（1）知在上是增函数，单调递减，所以在上是增函数，所以.所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的单调性求最值，考查了恒成立问题，属于中档题.25．（1）；（2）.【分析】（1）根据是奇函数，即即可求解实数，的值；（2）利用换元法，转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数的取值范围.【详解】（1）当时，，因为为奇函数，，，即总成立.，，又当时，同理可得，综上：.（2），，原不等式化为，令，则，原不等式进一步化为在上恒成立.记，①当时，即时，，合理；②当时，即时，，显然不成立.综上实数的取值范围为：.【点睛】本题考