赵树嫄第四版线代答案更新版

〇1.计算下列二阶行列式：(1)按定义(2)按定义，(3)按定义，(5)按定义〇2.计算下列三阶行列式：=1+8+27-6-6-6=18.(3)按定义，(4)按定义，按第1行展开，或按第1列展开，◎3.证明下列等式：证明根据定义，左端b₂b₃而右端a=a₁(b₂c₃-b₃c₂)-b₁(a₂c₃-a₃c₂)+c₁=a;b2cs-a;bscz-azGbascxazbbzas左端=右端，等式得证.解解解所以x≠0且x≠2.O6.O6.解为7.9(-1)⁸=+1,则该乘积应取正号.(-1)⁵=-1,则该乘积应取负号.(-1)=-1,则该乘积应取负号.(-1)⁸=+1,则该乘积应取正号.(-1)¹⁵=-1,则该乘积应取负号.N(12345)+N(3k42l)=N(3k42l)欲使aisaza₃4azas带负号，必须N(3k42l)为奇数，由于k,l只能取1,5或5,1,那么所以k=1,l=5时，α₃azaz₄azass带有负号.式的每一项都是行列式的n个不同行不同列的元素的乘积，其中至多有n-1个非零元素，即行列式至少有一行全为零，因而行列式的每一项均为零，故行列式为零.有两行相同)有两行相同)(3)应用行列式性质(2)将左端行列式分为8个行列式之和=其中6个行列式均为两列相同的行列式，都等于零.首先将行列式|a,|按行分块写作交换|a,I的第一行与第五行后的行列式转置此行列式，值不变用2乘此行列式的所有元素再以(-3)乘第二列加于第四列，行列式值不变用4除此行列式第二行的各元素所以，经过五次变换后的行列式的值是-8m.得上三得上三角行列式=160.f(x)=0,即(1-x²)(4-x²)=0解得x=±1,±2.元素2的代数余子式元素-2的代数余子式将ais=-1,ax=2,ax=0,aaMs-18其中1,3两行=a+b+d.=3×4-4×(-44)+(-36)-2×=160.从第二行开始每一行乘以(-1)加到上一行然后原方程化为=(x-2)(x²-4)...解得x=0或者y=0=-48(范德蒙行列式)38略39略而方程组的系数行列式所以这个齐次线性方程组方程组的系数行列式而所以方程组整理为行列式因为a,b,c全不为零，则D≠0.将方程组整理为计算行列式系数行列式,,系数行列式,系数行列式,,(1)方程组的系数行列式将将代入方程组(c为任意常数)是该齐次线性方程组的解.齐次线性方程组的系数行列式所以该齐次线性方程组仅有零解.齐次线性方程组的系数行列式该齐次线性方程组有非零解.齐次线性方程组的系数行列式因齐次线性方程组仅有零解，0,所以k≠1且k≠-2时，该齐次线性方程组仅有零解.第二章12(3)由A+X=B,求出(4)由(2A-Y)+2(B-Y)=0,求出3,得到方程组解得x=-5,y=-6,u=4,v=-2.5三1X(-2)+2×(一2)+3×2678则该厂各月份总产值为(2)该厂各月份生产数量是各月份总产值为令X=(30271.25则三种金属的数量为=(3232吨、9吨和9吨.因为单位成本;件数总成本=MN=所以由工厂Ⅱ生产的成本最低.(1)令,则解之得x=2,(2)设所求矩阵据题意得x₃2=7,x₃3=-4.(3)设所求矩阵据题意据此得方程组则所求矩阵12略设与A可交换的矩阵为根据矩阵可交换定义，知AC=CA即解得c₃=0,c₁=c₄,c₂任意.所以与A可换的矩阵为为任意常数)因为所以又所以故(AB)T=BTAT.(2)AAT的第k行第l列的元素即元素乘积之和(3)ATA的第k行第l列的元素元素乘积之和比较(1)与(2),可得出18略19略所以所以必要性因为所以有即所以充分性同阶同结构的上三角矩阵.证因为与AAT均为对称矩形.29略30略(1)令故可逆，所以(2)因ad-bc≠0,故则(5)因矩阵的行列式(6)因a;≠0,i=1,2,…,n,所以35略36略37略(1)令求出,于是(2)令所以求出于是因为所以有则证作矩阵乘法，并注意到A⁵=0根据逆矩阵定义可知46略47略48略49略50略所以(1)令(2)令-所以r(A)=4(满秩)所以r(A)=3令58,初等行变换得到因为秩为2必有2-1=0,Ω=1.当a=1,r(A)=2;当a≠1,r(A)=3.解得a=-1,b=-2第三章1得同解方程组将x₃=1代入第2个将x₃=1,x₂=2代入第1个方程，得x₁=1,于是有方程组的惟一解(2)应用消元法所以方程组无解.得同解方程组或令x₂=c₁,x₄=c₂,则解得其中c₁,c₂为任意常数.对于齐次线性方程组Ax=0,只需对其系数矩阵A作初等行变换次线性方程组Ax=0只有零解x₁=x₂=x₃=x₄=0.对齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A作初等行变换，r(A)=3恰好等于未知数的有零解x₁=x₂=x₃=0对该齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A作初等行变换2所以α=5时方程组有解.a=5时与原方程组的同解方程组为1)当a=1时个数),方程组有无穷个解.这时的方程组为令x₂=c₁,x₃=c₂,则x₁=的解为其中c₁,c₂为任意常数2)当a≠1且a≠-2时，r(A)=r(B)=3(未知数个数),由最后一个方程,'代入求得.所以当a≠1,r(A)=r(B)=2<4(未知数个数),这时方程组有无穷个解.求解a=1,b=-1时方程组令x₃=c₁,x₄=c₂,于是有方程组所以方程组的解出x₁=-4c₂,所以方程组的无穷个解是其中c₁,c₂是任意常数.3=(3,6,9)+(6,4,2)一(1)因α+5=β,所以(2)因3a-2η=5β,所以)56应用消元法求k;,于是于是即k₁(1,0,0,0)+k₂(0,1,0,0)78间的线性关系用矩阵表示为间的线性关系用矩阵表示为9示的关系式写成矩阵表示式而则代入线性表示的关系式为r(A)=n(向量个数)r(A)=n(向量个数)设有数k₁,k₂,k₃使代入房与a;的关系，则令该方程组系数矩阵r(A)=2<3.则方程组有非零k₁β+k₂β₂+k₃β3=0.如,k₃=1,使设有一组数k₁,k₂…,k,使由最后一个方程知k,=0,逐步回有当k;=0(i=1,…,n)时才有a₂+…+a,线性无关.<3,a₁,α2,α₃线性相关.k≠3,且a₃线性无关.a⁴施以初等行变换，得到关组，α₄=2a-α₂+3α施以初等行变换，得到218略19略(1)对增广矩阵B=(AO)原方程组的同解方程组是则该方程组的一个基础解系是(2)对增广矩阵B=作初等行变换r(A)=r(B)=3<5.由最后矩阵知原方程组的同解方程组是其中x₄,xs为自由未知量，取得方程组的一个基础解系(3)对增广矩阵B=(AO)作初等行变换r(B)=r(A)=4<5.由最后的矩阵得原方程组的同解方程组xs为自由未知量，取xs=1,代入以上方程组解出x₄=1,x₃=0,x₂=0,x₁=0.由此，得到一个基础解系(1)设B=(b₁b₂…b,).因AB…,n)皆为Ax=O的解.又(B为Ax=0的增广矩阵)所以Ax=0只有零解，即b;(2)由AB=A知A(B-I)=0由(1)知B-I=0,所以B=1.(1)对方程组的增广矩阵B=(AO)作初等行变换一由最后矩阵得同解方程组=24,x₃=-4.则该方程组的基础解系为方程组的全部解为-4,2)(c为任意常数)(2)对方程组的增广矩阵B=(Ab)作初等行变换由最后一个矩阵得同解方程组令自由未知量取值,得方程组的一个解原方程的导出组与方程组同解.对自由未知量取值,即得导出组的基础解系因此所给方程组的通解为其中c₁,c₂为任意常数.(3)对方程组的增广矩阵B(Ab)作初等行变换b)=b)=自由未知量，方程组有无穷个解.原方程组的同解方程组为令xs=0,得非齐次方程组的一个解求解其导出组的同解方程组令自由未知量xs=1,则解出线性齐次方程组的基础解系为任意常数)讨论如下：(1)当λ=-2时，方程组无解；x₁+x₂+x₃=-2.基础解系为必要性设方程组有解xi,x2,充分性在α1+a₂+a₃+a₄+as=0的条件下对方程组求解.对方程组的增广矩阵B=(Ab)作初等行变换=4<5,方程组有解，且有无穷个解.由最后一个矩阵可得原方程组的同解方程组x₁=a₁+a₂+a₃+a₄+c.其中c为任意常数26略证设u₁,u₂,…,u,是非齐次线+cu,代入Ax=b的左端所以x=cu₁+c₂u₂+…+cu,也是Ax=b的解.29略30略第四章1(1)矩阵的特征方程为解得λ₁=1,λ2=3.①当λ₁=1时，求解由此得齐次线性方程组令x₂=1,得x₁=-1,得基础解系,得特征向量为(c为非零的任意实数)得到齐次线性方程组由此可得λ2=3的全部特征向量是(2)矩阵A的特征方程为由此得齐次方程组则可得λ=2时的基础解系为所以矩阵A的对应于λ₁=λ2=λ3=2的全部特征向量是其中c₁,c₂是不全为零的常数.(3)设本题矩阵为A.矩阵A的特征多项式为由(λ-2)³(λ+2)=0解得A的特征值①当λ₁=λ2=λ₃=2时，得到齐次方程组则由上面方程解得x₁=1,1,1.所以矩形A的对应于特征值λ₁=λ₂=λ₃=2的全部特征向量为其中c₁,c₂,c₃是不全为零的任意常数.初等行变换得齐次同解方程组x₂=1,x₃=1,得基础解系为ξ=(-1,1,1,1),由此得矩阵A对应于特征值λ₄=-2的全部特征值为(c为非零的任意常数).(4)设本题矩阵为A,矩阵A的特征多项式解齐次方程组则解得其基础解系为51=由此得λ₁=λ2=1时矩阵A的全部特征向量为其中c₁,c₂是不全为零的任意常数则解得其基础解系为5=特征值λ₃=-1的全部特征向量为A的特征多项式为：解得特征值λ₁=1,λ₂=-1,令x₁=1则基础解系ξ=(1,0,0,0)T其中c₁是不为零的任意常数.②当特征值λ2=-1有故则解得其基础解系为5由此可知λ₂=-1时矩阵的全部特征向量为则解得其基础解系为ξ=(6,1,3,0)F,由此可知λ₃=λ₄=2时矩阵的全部特征向量为为不为零的任意常数，3设对应于λo的特征向量为x,则Ax=λox故kA的特征值为kλo.即故I+A的特征值为1+λo.4证明设α为对应λ的A的特征向量，则因为故所以，幂等矩阵的特值只能是0或1.5以λ=0代入,得到x=2.所以其他特征值为2=3,3=4.8逆矩阵A-110略存在可逆矩阵Q,使Q-'CQ=D取,则M可逆且(1)特征值λ=1,特征向量C1为不为0的任何常数).数)λ₂=3,特征向量(c₂为不为0的任意常数)满足P-¹AP=A(2)特征值λ₁=λ₂=λ₃=2对应的特征向量c₁(