行列式的例题

行列式的例题一．直接用行列式的性质计算行列式1．试证明b+b+c c+a a+babcb+cc+aa+b=2abc证明:i i i i i ii i ib+cc+aa+babc222222222再用初等变换化简得先用行列式的加法性质拆第一列，bc+aa+bcc+a a+b左=c+aa+b+cc+aa+biiiiiiiiic+aa+bcc+aa+b2222222222bc+aacaa+b=c+aa+caa+biiiiii ic+aacaa+b22222222bcacab=ca+caiiiicaca222222bcabcabca=ca+bca=2bca二右iiiiiicacaca222222222nnbb++12

a1nnbb++12

a1aAAb2b2++A12b1b1++12aa-Da+ba+bAa+bn1n2nn解：当n=1时，D]=a]+bi,当n=2时，D2=(a1+b1)(a2+b2)-(a1+b2)(a2+b1)=(a1-a2)(b1-b2)当n〉3时，将第一行乘(-1)加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即a+ba+bAa+bi1121na—aa—aAa—a21212iD=a—aa—aAa—a=0n31313iMMMa—aa—aAa—an1n1 n1综上所述

a+b,ii=<(a-a)(b-b),12120,3.n阶行列式D中每一个元素aij分别用数b侶0）去乘得到另一个行列式D1,ij 1试证明D1=D。证明：首先将行列式D的每行分别提出bi,b2…,bn再由每列分别提出b-"...,b-n可得abi-iabi-iabi-2Aiii2D=ab2-iab2-2A2i22iMMabn-i abn-2 An1 n2ab1-n1nab2-n2nMabn-nnnabib-abib-iiiab2b-i2iMb1b-2ai2ab2b-222Mabib-ninab2b-n2nMabnb-ini=abnb-ini=(bib2Abn)abnb-2n2ab-iiiab-i2iMb-2ai2ab-222Mabnb-nnnAab-ninab-n2nMaaAiii2aaA2i22MMaaAnin2A=(bib2Abn)(b-ib-2Ab-n)ab-nnnaina2nMannab-ab-2n2ab-ini=aiia2iManiai2a22Man2AAAaina2nMann=Di2345555334.已知|A|=32542,求222ii46523i)A51+2A52+3A53+4A54+5A55；

2)A31+A32+A33及A34+A35。解：由行列式的性质可知1234555533(1)A51+2A52+3A53+4A54+5A55=32542=02221112345(2)12345555335A31+5A32+5A33+3A34+3A35=55533=0222114652312345555332A31+2A32+A33+A34+A35=22211=02221146523解出A31+A32+A33=0，A34+A35=0。二．利用行列式的性质化为上（下）三角形行列式计算1．计算n阶行列式x-1x-1D=00nx-1ana An-1a2a+x1解：（解法1）依次按第i列的x倍加到第i-1列去（i=n,n-1,…,2）,再将最后1行依次换到第一行得D=-1-100n-1xn+axn-1+A+a1nA a+x1xn+axn-i+A+a1 nA-1a+x1=(―1)"-10M-1=xn+a1x+.+a.n-1 n(解法2)直接按第n行展开Dn=an(-1)n+1(-1)n-1+ani(-1)n+2x(-1)n-2+...+(-1)n+n(a1+x)xn-1=a+ax+.+axn-1+xnnn-1 1(解法3)递推法，按第一列展开得Dn=xDn-1+an(-1)n+1(-1)n-1=xDn-1+annn-1n n-1n,n=X(D+aJ+a=...=Xn-lD7+OyXn-2+...+Q,n=xn-1(a1+x)+a2xn-2+.+an=xn+axn-1+axn-2+.+a。1 2 n2．计算n阶行列式123An234A1D=MMMMnn—1n1An—2n12An—1解：依次将第i行乘(-1)加到第i+1行(i=n-l,n-2,・：l),再将第2,3,…列全加到第1列。123An111A1一nD=MMMMn111—nA111—n1A1n(n—1)23An11A1—n=MMMM011—nA101—n1A111A1—nn(n+1)MMM211—nA11—n1A1

11A1—nD-n(n+1)一nnn 2NM—nn11A—n(n+1)—n2—nN=n(n+1)/2(-1)(n-1)(n-2)/2(-n)n-2(-1)=n(n+1)/2(-1)(n-1)n/2nn-2三．利用递推法计算行列式计算n阶行列式a+xaaAaa一yx0A000一yxA00MMMMM000A一yx将行列式按第n列展开可得一yx一yx1．解：00D=nD=xD+a(—l)i+nn n—1再将再将n-1阶行列式的第1行乘（-1）加到其余各行后，将第1，2,…，n-2列全加到第n-1列，得xx-y=xDn-1+ayn-1Dn=xDn1+ayn-i=x(xDn2+ayn-2)+ayn-1=xn-iD1+ayn-i+ayn-2x+…+ayxn-2=xn+a(xn-i+xn-2y+•••+xyn-2+yn-i)注：此题可按第一行展开即得结果。2．计算n阶行列式

a+PaP0A001a+PaPA00D=01a+PA00/0MMMMM000A1a+P解：将行列式按第一行展开，可得。料+邛叽-叫-2・°・Dn-aDn-1=P(Dn-1-aDn-2)=^Dn-2-aDn-3)=…=Pn-2(D2-aDJ•:D=a+B,D2=(a+p)2—ap,・Dn~aDn-1=Pn，Dn-1-aDn-2=P曲，-，D2-aD1=P2将上述n-1个子式分别乘1,a,a2,…,an-2后再相加得+an-2p2Dn=an-1D1+pn+ap+an-2p2=an+an-1p+an-2p2+…+apn-1+pn.四．利用范德蒙行列式计算和证明1．计算n阶行列式an(a-1)nA(a-n)nan-1(a-1)n-1A(a-n)n-1D=Mn+1MMaa-1Aa-n11A1解：把Dn+1的第n+1行换到第1行，第n行换到第2行，…，同时将Dn+1的第n+1列换到第1列，第n列依次换到第2列，…，再有范德蒙行列式，得n+1(a-n+1(a-n)n1A1a-n+1AaMM(a-n+1)nAan二n!(n-1)!A2!= n (i-j)。1<j<i<n+12．已知方程111111111111-1123+2125+1248=0，求X。1141511415025121xx2X31xx2X31XX2X3解：由行列式的加法性质，原方程可化为1111111112481+24811415025121xx2X31xx2X3111111111248123X13927149X21xx2X31827X3=(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0得x=1或x=2或x=3。五．行列式的应用1．证明三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0。证明先证“必要性”：设三直线交于一点，即方程组厂ax+by+cz二0<bx+cy+az二0有一解(x0,y0,1),即方程组有非零解，cx+ay+bz二0abc由克莱姆法则知bca二0cababca+b+ca+b+ca+b+c即bca=bcacabcab111111=(a+b+c)bca=(a+b+c)0c-ba-bcab0a-cb-c=(a+b+c)[(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)]=(a+b+c)(ab+ac+bc-a2-b2-c2)=-(a+b+c)/2[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2)]=0当a=b=c时等号成立，这时与三直线互异矛盾故只能a+b+c=0.再证“充分性”：abc当a+b+c=0时，bca=0cabax+by+cz=0即＜bx+cy+az=0有非零解，不妨取（x0,y0,1）,所以三直线有交点，而三直线cx+ay+bz=0互异，故必有唯一交点。2•求一个一元二次多项式fx),使满足f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28。解：设所求多项式为f(x)=ax