专题32等比数列及数列求和

专题32等比数列及数列求和№专题32等比数列及数列求和№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题32等比数列及数列求和命题解读命题预测复习建议等比数列是高考中必考重要知识点之一，每年的高考题都要涉及到这一知识点，应理解等比数列的概念，并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，解决相应问题，在近年的考试中，等比数列的定义、判定、通项公式和前n项和公式的探求以及应用都是考查的重点。预计2024年的高考等比数列主要考查等比数列的定义，通项公式，前n项和公式的应用，在出题方面灵活多变，难度以中高难度为主。集合复习策略：1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，前n项和公式等；2.会运用等比数列的有关公式和性质求解题目。→➊考点精析←一、等比数列的概念及有关公式1.等比数列的概念一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公差通常用字母q(q≠0)表示。anan-1=q(n≥2,n∈N*比中项由三个数a，G，b组成的等比数列，G叫做数列的等比中项。Ga3.等比数列的通项公式首项为a1，公比为q的等差数列{an}，通项公式为an=a1qn1.4.等比数列的前n项和公式Sn=a1-二、等比数列性质及有关计算已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.（1）若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有aman=apaq=ak2.

（2）数列Sm,S2mSm,S3mS2m,…成等比数列.

三、等比数列求和等比数列的前n项和公式当q=1时,Sn=na1当q≠1时，（1）已知等比数列的第一项和第n项求解前n项和Sn=a（2）已知等比数列的第一项和公比求前n项和Sn=a→➋真题精讲←1.（2023全国Ⅱ卷8）记为等比数列的前n项和，若，，则（）．A.120 B.85 C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．2.（2023全国理科甲卷5）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（）A. B. C.15 D.40【答案】C【解析】【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.【详解】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.3.（2023全国文科甲卷13）记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．【答案】【解析】【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.【详解】若，则由得，则，不合题意.所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得.故答案为：4.（2023全国理科乙卷15）已知为等比数列，，，则______.【答案】【解析】【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.【详解】设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，故答案为：.5.（2023北京卷14）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．【答案】①.48②.384【解析】【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，则，且，可得，则，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因为为等比数列，则，且，所以；又因为，则；空2：设后7项公比为，则，解得，可得，所以.故答案为：48；384.6.（全国理科甲卷17）设为数列的前n项和，已知．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【小问1详解】因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．【小问2详解】因为，所以，，两式相减得，，，即，．7.（2023天津卷19）已知是等差数列，．（1）求的通项公式和．（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．【答案】（1），；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，取，当时，，取，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论猜想，然后分别排除和两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.【小问1详解】由题意可得，解得，则数列的通项公式为，求和得.【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当时，，取，则，即，当时，，取，此时，据此可得，综上可得：.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，据此猜测，否则，若数列的公比，则，注意到，则不恒成立，即不恒成立，此时无法保证，若数列的公比，则，注意到，则不恒成立，即不恒成立，此时无法保证，综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，其前项和为：.【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.→➌模拟精练←1．（2023·江苏·统考二模）已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】由表示数列的前3项，根据等比数列得出，进一步计算得出，再代入已知不等式，求解的取值范围得出结果.【详解】已知，当时，，则；当时，，则；因为数列是等比数列，所以，即，整理得，解得，，公比，所以.由不等式得，即，整理得，又，所以，即，.所以正整数的最大值为11.故选：C.2．（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（

）A．30 B．10 C．9 D．6【答案】B【解析】为正数的等比数列，则，可得，∵，∴，又∵，则，可得，∴，解得，故.故选：B.3．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则依题意，所以又，所以所以故选：D4．（2023·吉林长春·统考三模）已知等比数列的公比为（且），若，则的值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【详解】已知等比数列的公比为（且），若，则，所以，解得.故选：C.5．（2023·山东日照·三模）已知数列满足，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】变换得到，得到是首项为，公比为的等比数列，，计算得到答案.【详解】，，易知，故，故是首项为，公比为的等比数列，，，故.故选：C.6.（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数，满足，.若，函数，则（

）A．3036 B．3034 C．3032 D．3030【答案】A【分析】根据题意利用累乘法可得，进而可得，再结合等差数列的性质以及函数的对称性分析运算.【详解】因为，，即，所以，则，，所以，又因为，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：累乘法：数列递推关系形如a＋1＝g(n)a，其中数列{g(n)}前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．7．（2023·河北唐山·统考三模）设为等比数列的前项和，，，则__________.【答案】【详解】设等比数列的公比为，由，得，则，由等比数列求和公式可知．故答案为：．8．（2023·安徽合肥·校联考三模）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则________．【答案】1012【详解】设等差数列的首项为，公差为，则因为，所以，即，解得.因为，，成等比数列，所以，即，解得或（舍），所以，解得，所以，所以.故答案为：.9．（2023·山东日照·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，，则（

）A．B．若对任意，都有，则的取值范围是C．若方程恰有三个实数根，则的取值范围是D．函数在区间上的最大值为，若存在，使得成立，则【答案】ABD【分析】由，可判断A，解出不等式可判断B，当时的图像有3个交点，即可判断C，根据条件可得当时，然后可得，然后可得，判断出数列的单调性可判断D.【详解】函数的定义域为，满足，即，且当时，，当时，，即，当时，，即，依次，当时，即作出函数图象对于A，代入，故正确；对于B，对任意，都有，，，解得，对任意，都有，则的取值范围是，正确；对于C，当时，的图像有3个交点，故错误；对于D.最大值存在，使得成立，的最大值，，则增，减，，即，正确.故选：ABD10．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列【答案】（I）略（II）（III）略【详解】（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列．（II）解：由（I）得（III）证明：①②②－①，得即③④④－③，得即是等差数列．11．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，；，(2)．【分析】（1）设等比数列的公比为，由求得公比，再由求解；进而由求解.（2）由对于任意的恒成立，令，，求得其最小值即可.【详解】（1）解：设等比数列的公比为，由，显然，所以，解得，由于，所以的通项公式为，；所以，，所以的通项公式为，．（2）因为恒成立，即对于任意的恒成立．令，，则，当时，所以，即的最小值为，所以实数的取值范围为.12．（2023·广东湛江·统考一模）已知，为数列的前n项和，．(1)证明：数列为等比数列；(2)设数列的前n项和为，证明：．【解析】（1），，．由，得，，所以，故，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．（2），故，所以．13．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列中，，．(1)求证：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和．【解析】（1）因为，所以，因为，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，所以，又由题知.14．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知数列满足：，对，都有．(1)设，求证：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求．【解析】（1）因为，所以．又，所以，化简得：．因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）可得：，所以，所以．15．（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足．(1)证明：和都是等比数列；(2)求的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，两式相加、相减，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）可得，，即可求出和的通项公式，从而得到，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.【详解】（1）因为，，所以，，又由，得，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．→➍专题训练←题型一：分组求和1．（2023·重庆·统考三模）已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，当时，，所以，当时，也适合，故.（2），所以数列的前n项和为.2．（2023·湖南邵阳·统考三模）记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足.(1)求数列{}与数列{}的通项公式；(2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为d，，即，，.，①，②所以①②得，，.当时，，符合..（2），依题有：.记，则.记，则.所以.3．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知数列的前项的积(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求.【答案】(1)(2)【详解】（1），当时，.当时，，满足上式，.（2）.4．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析.【详解】（1）由题意,所以,因为,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即,而,所以（2）方法一：由得方法二：因为所以.题型二：裂项相消法5．（2023·山西运城·统考三模）已知数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2).【详解】（1）①，当时，，解得.当时，②，①②，得，所以，又，符合上式，故.（2）由（1）知，则，所以，则.6．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知数列的前项和满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意可知：，则时有，∴，∴，∵，∴.经验证符合题意；∴时，，经验证，符合题意.∴.（2）由（1）可知，∴∵，∴∴∴.7．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知数列中，，．(1)记，证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)记，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）因为，故数列是公比为2的等比数列.（2）因为，所以，所以，所以.（3）因为，所以．题型三：错位相减法8．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）已知数列各项都不为，前项和为，且，数列满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)令，求数列的前项和为【答案】(1);;(2)【详解】（1）由，可得，两式相减得，整理得，因为数列各项都不为，所以数列是以为公比的等比数列．令，则，解得，故．由题知，所以（2）由（1）得，所以，，两式相减得，所以．题型四：奇偶项讨论求和9．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得，当n为偶数时，；当n为奇数时；综上所述：.题型五：数列求积10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列的前项和为，满足，等差数列中.(1)求和的通项公式；(2)数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积.【答案】(1)，；(2).【详解】（1），，当时，，两式相减得：，即，而，解得，因此数列是首项为3，公比为3的等比数列，，在等差数列中，由，得，解得，则公差，，所以和的通项公式分别为，.（2）令数列的第m项与数列的第k项相同，即，于是，显然是4的正整数倍，要成立，当且仅当为正偶数，因此数列与的共同项为，即，所以.题型六：数列中的结构不良题11．（2023·安徽黄山·统考三模）已知数列的前项和为，.(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.从①和②这两个条