第03讲 共焦点问题（解析几何）（解析版）

第03讲共焦点问题知识与方法椭圆与双曲线共焦点求解模型:结论1:已知F1,F2为椭圆和双曲线的公共焦点,P为它们的一个公共点,且∠F【证明】设椭圆方程为x2a12+y2b12=1,双曲线方程为x2a∴4c2即sin结论2:已知椭圆C1:x2a12的焦点重合,e1,e2【证明】1e典型例题类型1：已知顶角的共焦点问题【例1】已知F1,F2为椭圆和双曲线的公共焦点,33B.32C.1【答案】B【解析】由上述结论可知1e12+3e2【例2】已知e1,e2分别是具有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,P【答案】2【解析】|PO|=F【例3】已知F1,F2为椭圆和双曲线的公共焦点,P为它们的一个公共点,且【答案】e【解析】1e由t=1所以f(t)在1,43【例4】已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且A.433B.233【答案】A【解析】由上述结论可得1e解法1:利用柯西不等式由柯西不等式得1e当且仅当1e1=即1e1+1e解法2:利用三角换元由1e12则1类型2:与面积有关的共焦点问题下面几例角度不够不明显，需要用到椭圆与双曲线焦点三角形面积公式求解顶角的正、余弦值.【例5】已知椭圆C1:x2m2+y2=1(A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n【答案】A【解析】设P为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点,F1则PF由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式,可得SΔ=b所以tan⁡θ2所以1e∵【例6】记共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,【答案】5【解析】易知1e解法1:利用柯西不等式

由柯西不等式得

1

当且仅当

解法2:利用三角换元

由

则

【例7】已知F1,F2是双曲线C1:x2a2−y2A.2105B.103C.3【答案】A【解析】由题意,a2+b2=25−9=16

则

并将

又

故选:A.【例8】若椭圆x2t+10+y2t−15=1(t>15)与双曲线【答案】125【解析】依题意有F1F2由余弦定理得(8+m)2故对与椭圆来说AF1+AF2=20=2类型3：与焦半径有关的共焦点问题【例9】椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点分别为F1,F2,敉圆C1的离心率为e1,双曲线C2A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】因为F1,F2为椭圆C1P所以椭圆C1的离心率为e双曲线C2的离心率为e因此,e故选A.【例10】双曲线x2a22−y2b22=1【答案】1+【解析】设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为eP∵sin⁡∠∵又∵两边除以a22并化简得故答案为:1+【例11】已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2A.64B.33C.22【答案】D【解析】如图,作PM⊥F1根据椭圆与双曲线的定义可得PF1+由2OF2⋅OP即F1由勾股定理可得(a整理得c2=2am∴3∴e故选：D.【例12】设椭圆x2m2+y且TF1<4,若椭圆和双曲线的离心率分别为A.2,269B.7,529C.【答案】D【解析】解法1:依题意有m2−4=a∴T

解得

∴故选D.解法2:因为0<a<1,所以双曲线的离心率e1所以e设t=2e22−1(所以ℎ(t)在(9,+∞)因此e12强化训练1.已知椭圆C1:x2m2+y24b2=1A.m>n且e1e2≥C.m<n且e1e2【答案】A【解析】可得m>n,由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得4tan⁡θ所以1e12等号成立,所以e1e22.已知椭圆C1:x2m2+y2b2=1(其中A.m>n且e1e2≥45B.D.m<n【答案】B【解析】由上述解法易知m>由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得tan⁡θ2=4tan⁡θ2由0<e1<1,令t=则1所以f(t)在1,故0<1e123.已知F1、F2是双曲线C1:x2a2−y2b2=1（a>0,b>A.210+45B.210+35【答案】A【解析】由于F1、F2是双曲线故a2根据双曲线C1与椭圆C2的对称性可得,△P设点Px0,y0x0代入双曲线C1的方程,并将b2=16−a2又0<a<c所以双曲线C1的离心率为e而橢圆C2的离心率为e2=故选:A.4.如图,离心率为2的双曲线C1与椭圆C2:x2a2+y2A.34B.32C.47【答案】D【解析】设PF1=x,∴P又四边形PF1QF2设双曲线C1的实轴长为2m,焦距为2则2m(1)2+(3)将m=c2∴椭圆C2的离心率故选D.5.已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2:A.13,+∞B.32,+∞【答案】B【解析】由椭圆定义可得PF1+PF2=2a1,由双曲线定义可得PF1−P所以e1因为e2>1易得e2+1−6.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左右焦点分别为△PF1F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1A.23,+∞B.43,+∞C.【答案】A【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c,PF且r1∴e∴e27.已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点F1,F2,两曲线在第一象限的交点为P,ΔPF1FA.(4,+∞)B.(4,7)C.(2,4)D.(2【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c由椭圆和双曲线的定义可得8+2c=2a又因为PF2+F1F2所以2e8.中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点F1(−c,0),F2(c,0)(c>0),P为C1与C【答案】3【解析】设椭圆C1:x因为P为C1与C2在第一象限的交点,PF1=F1F2由(1)(2)可知,a=2因为e2=c由不等式的性质可知,e1故答案为:39.已知椭圆x22+y2=1与双曲线x2a2【答案】2+2【解析】因为椭圆x22+又因为椭圆与双曲线有相同的焦点,椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P,且F1在椭圆中:F1由椭圆的定义:P在双曲线中:PF所以双曲线的实轴长为:4−22,实半轴为则双曲线的离心率为:e=12−