解三角形题型总结(原创)

..解三角形题型总结中的常见结论和定理：角和定理及诱导公式：1．因为，所以；；因为所以，，…………2．大边对大角3.在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.正弦定理：文字：在中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。符号：公式变形：①(边转化成角〕②〔角转化成边〕③④余弦定理：文字：在中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。符号：变形：四、面积公式：〔1〕〔2〕〔其中为三角形切圆半径〕〔3〕五、常见三角形的根本类型及解法：〔1〕两角和一边〔如边〕解法：根据角和求出角；根据正弦定理求出其余两边〔2〕两边和夹角〔如〕解法：根据余弦定理求出边；根据余弦定理的变形求；根据角和定理求角.〔3〕三边〔如：〕解法：根据余弦定理的变形求；根据余弦定理的变形求角；根据角和定理求角〔4〕两边和其中一边对角〔如：〕〔注意讨论解的情况〕解法1：假设只求第三边，用余弦定理：；解法2：假设不是只求第三边，先用正弦定理求〔可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一〕；再根据角和定理求角；.先看一道例题：例：在中，，求角C。〔答案：或〕六、在中，，那么解的情况为：法一：几何法〔不建议使用〕〔注：表中，为锐角时，假设，无解；为钝角或直角时，假设，无解.为锐角为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解法二：代数法〔建议使用〕通过例子说明步骤：大角对大边结合正弦定理一起使用〔见题型一〕题型总结：题型一、利用正弦定理解决"两边一对角〞的类型模型：在中，边和角,假设不是求第三边c，用正弦定理。例1：在中，，求∠C。〔答案：〕例2：在中，，求∠C。〔答案：或〕例3：在中，，求∠A。〔答案：无解〕例4：〔3〕在中，，求∠A。〔答案：一解〕练习：1。在中，解三角形。2．在中，解三角形。3．在中，解三角形。题型二、利用正弦定理解决"两角一边〞的类型两角一边〔两角一对边，两角一夹边〕模型1：在中，角和边,解三角形。模型2：在中，角和边,解三角形。用正弦定理例题：例题1：在中，解三角形。解析：根据三角形角和定理，得，再根据正弦定理，得，再根据余弦定理，得，所以综上：。例题2：在中，解三角形。解析：根据三角形角和定理，得，再根据正弦定理，得，再根据正弦定理，得。综上，。练习：1在中，解三角形。2在中，解三角形。题型三、利用余弦定理解决"两边一夹角〞的类型模型：在中，边和角,解三角形。用余弦定理例题1：在中，解三角形。解析：根据余弦定理，得，所以，再根据余弦定理，得，又因为，所以，再根据角和定理，得。综上，。练习：1在中，解三角形。题型四、利用余弦定理解决"三边〞的类型模型：边解三角形。根据余弦定理，，，，分别求得角〔或根据角和定理求得角)。例题1：在中，解三角形。解析：根据余弦定理，得，又因为，所以，再根据余弦定理，得，又,所以,再根据三角形角和定理，得。综上，。练习：1在中，解三角形。题型五、利用余弦定理解决"两边一对角〞的类型模型：在中，边和角,假设只求第三边c，用余弦定理。模型：在中，边和角,假设不是只求第三边c，用正弦定理。例题：例题1：在中，，求边b。解析：根据余弦定理，得，既，解得或〔舍去〕，练习：在中，，求边a。〔答案：〕题型六、三角形面积例1．在中，，，，求的值和的面积。解：由计算它的对偶关系式的值。=1\*GB3①,=2\*GB3②=1\*GB3①+=2\*GB3②得，=1\*GB3①－=2\*GB3②得。从而。以下解法略去。练习1．在中,角,,对应的边分别是,,..(I)求角的大小;(II)假设的面积,,求的值.解:(I)由条件得:,解得,角

(II),由余弦定理得:,练习2.的周长为，且．〔=1\*ROMANI〕求边的长；〔=2\*ROMANII〕假设的面积为，求角的度数．解：〔=1\*ROMANI〕由题意及正弦定理，得，，两式相减，得．〔=2\*ROMANII〕由的面积，得，由余弦定理，得，所以．练习3．在中，角对边的边长分别是，，．〔Ⅰ〕假设的面积等于，求；〔Ⅱ〕假设，求的面积．解：〔Ⅰ〕由余弦定理及条件得，，又因为的面积等于，所以，得．联立方程组解得，．〔Ⅱ〕由题意得，即，=1\*GB3①当时，，，，，=2\*GB3②当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．题型七：看到"a2=b2+c2－bc〞想到余弦定理例1：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。解法一：∵b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=。解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。∴=sinA=。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状——边角互化问题例1.在中，，那么一定是〔〕A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．应选(B)．解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．∴＝，即a2＝b2，得a＝b，应选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．例2.在中，假设，试判断△ABC的形状。答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。练习1.在中，，判断△ABC的形状。答案：为等腰三角形或直角三角形。练习2、在中,，这个三角形是__________三角形。练习3、题型九：三角形中最值问题例1．的三个角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=π，得eq\f(B+C,2)=eq\f(π,2)－eq\f(A,2)，所以有coseq\f(B+C,2)=sineq\f(A,2)。cosA+2coseq\f(B+C,2)=cosA+2sineq\f(A,2)=1－2sin2eq\f(A,2)+2sineq\f(A,2)=－2(sineq\f(A,2)－eq\f(1,2))2+eq\f(3,2)；当sineq\f(A,2)=eq\f(1,2)，即A=eq\f(π,3)时,cosA+2coseq\f(B+C,2)取得最大值为eq\f(3,2)。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。练习.设锐角的角的对边为，求∠B的大小。〔2〕求的取值围。题型十、边角互化问题例1、在中，2b=a+c，证明：2sinB=sinA+sinC例2、在中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB例3、为的三个角的对边，向量，．假设，且，那么角．例4、在中，BC=a，AC=b，且a，b是方程的两个根，求：⑴角C的度数⑵AB的长例5.的周长为，且．⑴求边的长；⑵假设的面积为，求角的度数．练习1．设的角所对的边长分别为，且，．⑴求边长；⑵假设的面积，求的周长．练习2.在中，角对边的边长分别是，，．〔Ⅰ〕假设的面积等于，求；〔Ⅱ〕假设，求的面积练习3.在中分别为的对边，假设，〔1〕求的大小；〔2〕假设，求和的值。题型十一：正余弦定理的实际应用例6．〔2009卷文，理〕如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离〔计算结果准确到0.01km，1.414，2.449〕解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－