江西省重点中学盟校高三下学期第一次联考数学（文）试题

江西省重点中学盟校2023届高三第一次联考数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，可知集合是集合的子集且包含元素3，若，则可得正确选项.【详解】根据可得是集合的子集，且；当时，满足题意．若，则，故A错误；若，则，所以，故B正确；若，则，故C错误；若，则，故D错误.故选：B.2.已知，均为实数，复数，，，则（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的四则运算直接计算.【详解】由，得，所以，，，故选：C.3.已知，则是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式结合同角三角函数解析式化简求值，进而判断其充分性与必要性.【详解】当时，，解得，又，所以，即是的充分条件；当时，，故是的必要条件，综上所述，是的充要条件，故选：A.4.据央视新闻报道，据国家电影局初步统计，2023年春节档（1月21日至1月27日）电影票房为亿元，同比增长11.89%.春节档观影人次为亿，同比增长13.16%；国产影片票房占比为99.22%.2023年春节档共12部电影上映，其中主打的6部国产影片累计票房如下：据上述信息，关于2023年春节档电影票房描述不正确的是（）A.主打的6部国产影片总票房约占2023春节档电影票房的.B.2023年春节档非国产电影票房约亿元.C.主打的6部国产影片票房的中位数为亿元.D.电影《交换人生》的票房约为主打的6部国产影片外的其他春节档电影票房总的3倍.【答案】B【解析】【分析】根据图中数据逐项计算分析即可求解.【详解】对于A，由图可知：主打的6部国产影片总票房为亿元，2023春节档电影票房亿元，占比约为，正确对于B，因为2023年春节档国产影片票房占比为99.22%，所以非国产电影票房占比为，其票房为亿元，不正确；对于C，由图可知：主打的6部国产影片票房的中位数为亿元，正确；对于D，由图可知：电影《交换人生》的票房为亿元，而主打的6部国产影片外的其他春节档电影总票房为亿元，所以电影《交换人生》的票房约为主打的6部国产影片外的其他春节档电影票房总的3倍.故选：B.5.已知向量，，则向量在上的投影等于（

）A. B. C. D.7【答案】A【解析】【分析】先求，再根据投影的定义即可求解.【详解】又所以向量在上的投影.故选：A6.设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（）A.直线对称 B.直线对称C.直线对称 D.直线对称【答案】B【解析】【分析】根据函数图象的平移关系，结合与的对称性，即可求解.【详解】函数是由向右平移一个单位得到，函数是由向右平移一个单位得到，又函数与关于轴对称，所以函数与关于直线对称，又是由向右平移个单位，所以函数与函数关于直线对称，故选：B.7.设函数在的图像大致如下图，则f()=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设的最小正周期为，则由图可得，结合，可得范围，后由，可确定，即可得答案.【详解】设的最小正周期为，由图可得，又，则.又由图可得，则，故，得.故，则f()=.故选：D8.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且成首项为的等差数列，若直线的斜率为，则该数列公差等于（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意将题目转化为等差数列，按照等差数列性质计算即可.【详解】不妨设则由题意知即设数列公差为，，解得.故选：B.【点睛】将题目数学信息提取，转化为等差数列是本题的难点和突破点.9.已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性确定的解析式，再利用导数的几何意义求得切线方程.【详解】函数为奇函数，当时，，所以，，即，则，，，所以切线斜率，切线方程为，即，故选：C.10.已知球是正三棱锥的外接球，D是的中点，且，侧棱，则球O的表面积为（）A.12 B.8 C.32 D.48【答案】D【解析】【分析】由题意作图，补形，根据正方体外接球直径的求解公式，可得答案.【详解】由题意，作图如下：正三棱锥为棱长为的正方体的一个角，显然平面，平面，，符合题意，显然正三棱锥的外接球就是图中正方体的外接球，该外接球的半径为，外接球的表面积为.故选：D.11.已知抛物线的焦点F与双曲线=1的右焦点重合，该抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）A. B.2 C. D.5【答案】D【解析】【分析】先利用双曲线的性质求得，再根据抛物线的定义，运用坐标表示关系式，然后借助于方程来求解点A的坐标.【详解】因为抛物线的焦点F与双曲的右焦点重合，而双曲线中，，,,可知右焦点，所以，即抛物线的方程为.则抛物线的准线,故点K.设点,满足，由，可知，解得，故点A的横坐标为5.故选：D12.已知函数，其导函数的两根为，，若不等式的解集为，且，则极大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的解集情况可设，再根据极值点情况求得的值，进而确定函数解析式，求得其极大值.【详解】由已知为三次函数，且时的解集为，得，则，又的两根为，，所以，解得，所以，，令，则，，所以单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数在处取极大值为，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数，满足约束条件则的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】作出可行域，采用平移直线的方法即可求出z的最小值.【详解】如图阴影部分为不等式确定的可行域，，由,得，所以则当直线过时，.故答案为：.14.已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，请写出一个符合上述条件的椭圆的标准方程__________.【答案】【解析】【分析】设出椭圆方程，由离心率求出，和之间的关系，设出的值，即可得出一个符合上述条件的椭圆的标准方程.【详解】由题意，在椭圆中，椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，设，∵离心率为，∴，即，∵，∴，当时，，此时，.故答案为：.15.记数列的前项和为，则________.【答案】##【解析】【分析】由式子可知，可知的最小正周期，验证对，都有的值为一个定值，求出，又由即可求解.【详解】设，可知的最小正周期，令（，），则当时，则；当时，则；当时，则；对于，都有.所以又所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题观察数列通项公式中猜想数列的周期，并验证周期的数值.16.在正四棱柱中，，E为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为_____.【答案】##【解析】【分析】过做与直线垂直的平面，则点的轨迹的长即为平面与正四棱柱的交线长.详解】如图，连接，，由题可知，，平面.因平面，则.又平面，平，，则平面.又平面，则；如图，过E做平行线，交于F，则F为中点.连接，过做垂线，交于G.由题可得，平面，又，则平面.因平面，则.又平面，平面，，则平面.因平面，则；因平面，平面，，则平面.连接，则点P轨迹为平面与四棱柱的交线，即.注意到，，则，故.则点的轨迹的长为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题为立体几何中的轨迹问题，难度较大.本题关键为做出轨迹，即过定点做空间直线的垂面，因直接做出平面难度较大，故转化为做空间直线所在平面的垂线.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.为了提高学习数学的兴趣，形成良好的数学学习氛围，某校将举行“‘象山杯’数学解题能力比赛”，每班派人参加，某班级老师已经确定参赛名额，第个参赛名额在甲，乙同学间产生，为了比较甲，乙两人解答某种题型的能力，现随机抽取这两个同学各次之前该题型的解答结果如下：，，，，，，，，，，其中，分别表示甲正确和错误；，分别表示乙正确和错误．（1）若解答正确给该同学分，否则记分．试计算甲、乙两人之前的成绩的平均数和方差，并根据结果推荐谁参加比赛更合适；（2）若再安排甲、乙两人解答一次该题型试题，试估计恰有一人解答正确的概率.【答案】（1）甲的平均数为，方差为，乙的平均数为，方差为，推荐乙参加比赛更合适（2）【解析】【分析】（1）根据平均数与方差的公式分别计算甲、乙两人的平均数与方程，进而推荐人选；（2）利用古典概型的概率公式估计恰有一人正确的概率.【小问1详解】由已知得甲的平均数，方差；乙的平均数，方差，因为，且，所以推荐乙参加比赛更合适；【小问2详解】由已知的个结果中，恰有一人解答正确的结果是，，，共个，所以恰有一人正确的概率为.18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）若的面积为，D为BC边上一点，且BD=2CD，求AD的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换可得到，从而可得出答案；（2）由已知结合三角形的面积公式可求得，根据向量的线性表示及向量的数量积的性质和基本不等式即可求解．【小问1详解】由正弦定理得，又，则，化简得，又，则，所以，所以；【小问2详解】由（1）得，则，得，又BD=2CD，则，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．19.如图：在四棱锥中，底面为平行四边形，为线段上一点，且，平面与侧棱交于点.（1）求；（2）平面将四棱锥分成了上下两部分，求四棱锥和多面体的体积之比.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理，结合平行线的性质进行求解即可；（2）根据棱锥的体积公式，结合棱锥的性质进行求解即可.【小问1详解】因为为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面与侧棱交于点，所以平面平面，而平面，于是有，所以；【小问2详解】设四棱锥的体积为，由（1）可知：，所以到平面距离与到平面的距离满足：，因此，因为，所以，即，，因为，所以，由，所以，所以.20.设函数．（1）当时，求函数在定义域内的最小值；（2）若求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】(1)对求导判断其单调性，从而可求得最小值；(2)令，则问题转化为当恒成立求实数的取值范围.对求导，分类讨论判断可知当时有最小值从而可求；当时没办法确定最小值，可通过确定来判断不成立.【小问1详解】当时，，其定义域为，则.令.当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增.故函数在定义域内的最小值为.【小问2详解】令，即恒成立.①当时，令.当时，，单调递减；当时，单调递增.所以，原不等式成立.②当时，时，单调递增.所以当时，，所以不成立.③当时，时，单调递减.所以当时，，所以不成立④当时，令又，，所以不成立.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：第二问可以转化为恒成立.从而确定的最小值.当时没办法确定最小值，可通过确定来判断不成立.21.已知圆过点，，.（1）求圆标准方程；（2）若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得圆一般方程，再将其转化为标准方程；（2）求出点，的坐标，设，根据，得出，的坐标，当直线斜率存在时，设直线方程为，与圆方差联立方程组，利用根与系数关系化简得出与的关系，进而得出直线恒过的定点坐标，再验证斜率不存在时仍成立.【小问1详解】设圆的一般方程为，又圆过点，，，则，解得，所以圆的一般方程为，即其标准方程为；【小问2详解】由题意得，所以直线，点，点，设点，，，所以，，所以，又，，，又，在圆上，所以，，，即，所以，整理得：，当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入，得，则，，所以，即，即，得或，当时，直线的方程为，过点，当时，直线的方程为，过点，在直线上，不成立，当直线斜率不存在时，，即，解得或（舍），所以直线过成立，综上所述，直线恒过点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线和曲线的直角坐标方程;（2）若曲线和曲线交于、两点，且点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用消参法可得的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的转化公式可得的直角坐标方程；（2）利用直线参数方程的几何意义直接计算.【小问1详解】由的参数方程为（为参数），消参可得，即；又的极坐标方程为，即，，所以，即【小问2详解】由