浙教版数学八年级下册课题学习-格点多边形的面积计算

课题学习格点多边形的面积计算1．在格点图中，横排或竖排相邻两格点间的距离都为1，若格点多边形边界上有12个格点，图形内有4个格点，则这个格点多边形的面积为__9__．2．在格点图中，横排或竖排相邻两格点间的距离都为1，若格点多边形边界上有200个格点，面积为199，则这个格点多边形内有__100__个格点．3．在格点图中，横排或竖排相邻两格点间的距离都为1，若格点多边形内有18个格点，面积为32，则这个格点多边形边界上有__30__个格点．(第4题)4．如图，关于方格板中的两个四边形，下列叙述正确的是(C)A.四边形Ⅰ的面积大于四边形Ⅱ的面积B.四边形Ⅰ的面积小于四边形Ⅱ的面积C.这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长D.这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长【解】设每相邻两个点间的距离都是1，则Ⅰ的周长＝2＋2eq\r(2)，面积＝1×1＝1；Ⅱ的周长＝1＋2eq\r(2)＋eq\r(5)，Ⅱ的面积＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.故这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长．5．在如图所示的5×5的方格纸中，每个小正方形的边长都为1.画出三个格点多边形，使格点多边形内的格点数为4，格点多边形边界上的格点数分别为5，6，7，并求出每一个图中的格点多边形的面积．(第5题)【解】如图所示(画法较多，满足条件即可)．图①中，格点多边形内的格点数a＝4，格点多边形边界上的格点数b＝5，∴S＝a＋eq\f(1,2)b－1＝4＋eq\f(1,2)×5－1＝eq\f(11,2).图②中，格点多边形内的格点数a＝4，格点多边形边界上的格点数b＝6，∴S＝a＋eq\f(1,2)b－1＝4＋eq\f(1,2)×6－1＝6.图③中，格点多边形内的格点数a＝4，格点多边形边界上的格点数b＝7，∴S＝a＋eq\f(1,2)b－1＝4＋eq\f(1,2)×7－1＝eq\f(13,2).(第6题)6．如图，在7×8的方格纸中，已知图中每个小正方形的边长都为1，求图中阴影部分的面积．【解】将图形分成三个部分，标注序号如图，图①中，格点多边形内的格点数a＝4，格点多边形边界上的格点数b＝4，∴S①＝a＋eq\f(1,2)b－1＝4＋eq\f(1,2)×4－1＝5.图②中，格点多边形内的格点数a＝2，格点多边形边界上的格点数b＝6，∴S②＝a＋eq\f(1,2)b－1＝2＋eq\f(1,2)×6－1＝4.S③＝6×2＝12.∴阴影部分的面积为5＋4＋12＝21.(注意：本题用皮克定理计算时，一定要分成三个图形，不能看成一个图形．)7．如图，图中每个小正方形的边长都为1.把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达点A′，连结A′B，求线段A′B与线段AC的关系．(第7题)【解】如解图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达点A′，连结A′B，与线段AC交于点O.(第7题解)∵A′O＝OB＝eq\f(1,2)A′B＝eq\r(2)，AO＝OC＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(2)，∴线段A′B与线段AC互相平分，AC＝2A′B.∵∠AOA′＝45°＋45°＝90°，∴A′B⊥AC.∴线段A′B与线段AC互相垂直平分，且AC＝2A′B.8．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B在方格纸的交点(格点)上，在第四象限内的格点上找一点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有(B)(第8题)A.2个B.3个C.4个D.5个【解】由解图可知，AB∥x轴，且AB＝3.(第8题解)设点C到AB的距离为h，则△ABC的面积＝eq\f(1,2)×3h＝3，解得h＝2.∵点C在第四象限，∴点C的位置如解图所示，共有3个．(第9题)9．如图，在方格纸中，有一乡村小屋，已知图形中每个小正方形的边长均为2，求乡村小屋的面积．【解】“乡村小屋”内的格点数a＝9，边界上的格点数b＝20.∵皮克定理是在横竖两格点之间的距离为1的情况下得出的，现在距离变为了2，∴面积应扩大到原来的4倍，∴S＝4×(a＋eq\f(1,2)b－1)＝4×(9＋eq\f(1,2)×20－1)＝72.(第10题)10．如图，在5×5的方格纸中，小正方形的面积均为1，小正方形的顶点为格点，请你在图中选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连结后围成的图形面积尽可能大，并求出这个最大面积．(第10题解)【解】当7个格点的位置如解图所示时，围成的面积最大，最大面积为5×5－0.5×3＝23.5.(或∵a＝16，b＝17，∴S＝a＋eq\f(1,2)b－1＝16＋eq\f(1,2)×17－1＝23.5.)11．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为格点，顶点全在格点上的多边形为格点多边形，将格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(第11题)(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L的值．(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝N＋aL＋b，其中a，b为常数．若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的值．【解】(1)观察图形，可得S＝3，N＝1，L＝6.(2)根据格点三角形ABC及格点四边形DEFG所对应的S，N，L的值，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋b＝1，,1＋6a＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－1.))∴S＝N＋eq\f(1,2)L－1.将N＝82，L＝38代入，得S＝82＋eq\f(1,2)×38－1＝100.12．各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积？奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋eq\f(1,2)b－1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积.如图①，a＝4，b＝6，S＝4＋eq\f(1,2)×6－1＝6.(1)请在图②中画一个格点正方形，使它内部只含有4个格点，并写出它的面积．(2)请在图③中画一个格点三角形，使它的面积为eq\f(7,2)，且每条边上除顶点外无其他格点．(第12题)【解】(1)画法不唯一，如解图①或解图②.(第12题解)(2)画法不唯一，如解图③或解图④.(第13题)13．如图，在方格纸上的每一个格点处放一枚棋子，共放16枚棋子，求以棋子为顶点的正方形的个数．【解】边长为1的正方形有9个，边长为eq\r(2)的正方形有4个，边长为2的正方形有4个，边长为eq\r(5)的正方形有2个，边长为3的正方形有1个，∴以棋子为顶点的正方形的个数为9＋4＋4＋2＋1＝20.14．如图，正六边形ABCDEF的面积为54cm2，AP＝2PF，CQ＝2BQ.求四边形CEPQ的面积．(第14题)(第14题解)【解】如解图，把正六边形等分成54个小正三角形，由于正六边形ABCDEF的面积为54cm2，故每一个小正三角形的面积为1cm2，∴S四边形ABQG＝7cm2，S▱GPHQ＝8cm2，S▱PMEF＝6cm2，S▱CDEN＝18cm2.依据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，得S△PQG＝eq\f(1,2)S▱GPHQ＝4cm2，S△EFP＝eq\f(1,2)S▱PMEF＝3cm2，S△CDE＝eq\f(1,2)S▱CDEN＝9cm2，∴S四边形ABQP＝S四边形ABQG＋S△PQG＝7＋4＝11(cm2)，∴S四边形CEPQ＝S正六边形ABCDEF－S四边形ABQP－S△CDE－S△EFP＝54－11－9－3＝31(cm2)．(第15题)15．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，从点A到点B只能沿图中的线段走，那么从点A到点B的最短距离的走法共有多少种？【解】