行列式性质的证明与应用

行列式性质的证明与应用

0逆序数的定义定理n级行列式的定义和性质是一门线性代数的入门课程。在过去的教材中，n级行列式的一些性质的证明使用了相应的定义和方程式。他们非常抽象，学生很难理解。他们形成了学习后续的障碍，容易失去学习兴趣。在这种情况下，本文件将通过引用原理获得理论1。n级行列式的所有性质都可以通过系数1或上述性质的事先推理来确认。1mi+s计算n-1.2.4.2a引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…pn的逆序数之和,若行标排列与列标排列同时作相应的对换,则t的奇偶性不变·证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性·若行标排列与列标排列同时作相应的对换,则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变,因而它们的逆序数之和的奇偶性不变·定理1n阶行列式也可定义为D=∑(-1)ra1p1a2p2⋯anpn=∑(-1)raq11aq22⋯aqnn证明由定义1和引理即可证得·性质1行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)·(根据性质1知对行成立的性质对列也成立)性质2行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和·证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得·性质3如果行列式中有两行(两列)元素对应相等,则此行列式等于零·证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等,由性质2可知D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin(i≠k,i≠j)又Ais=(-1)i+s(s=1,2,…,n),根据性质2,Mi+s又可以展开成n-1项的和,每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积,以此类推,Mi+s总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和,即Μi+s=n!2∑i=1miDi(mi为实数,Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式),这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素,由于这2行对应元素相等,根据二阶行列式的定义可知Di=0,所以Mi+s=0,因此D=0,证毕·性质4行列式的某行(列)的每个元素与另一行(或列)的对应元素的代数余子式乘积之和为零·证明设D1=|a11a12⋯a1n⋮⋮⋮ai1ai2⋯ain⋮⋮⋮aj1aj2⋯ajn⋮⋮⋮an1an2⋯ann|由性质2可知:ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=|a11a12⋯a1n⋮⋮⋮ai1ai2⋯ain⋮⋮⋮aj1aj2⋯ajn⋮⋮⋮an1an2⋯ann|=0(根据性质3)性质5行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一数K,等于用数K乘以此行列式·证明设D=|a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann|的第i行的所有元素都乘以数K,得行列式A,根据定理1,A=∑(-1)ra1p1a2p2…Kaipi…anpn=K∑(-1)ra1p1a2p2…aipi…anpn=KD,证毕·性质6行列式中如果有两行(列)对应元素成比例,则此行列式等于零·证明利用性质5和性质3即可证得·性质7行列式的某一列(行)的元素都是2数之和,设D=|a11a12⋯a1i+a′1i⋯a1na21a22⋯a2i+a′2i⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1an2⋯ani+a′ni⋯ann|,则D等于下列2个行列式之和:D=|a11a12⋯a1i⋯a1na21a22⋯a2i⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1an2⋯ani⋯ann|+|a11a12⋯a′1i⋯a1na21a22⋯a′2i⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1an2⋯a′ni⋯ann|=D1+D2证明由定理1知:D=∑(-1)raq11aq22⋯(aqii+a′qii)⋯aqnn=∑(-1)raq11aq22⋯aqii⋯aqnn+∑(-1)raq11aq22⋯a′qii⋯aqnn=D1+D2,证毕[JX*4]⋅[JX-*4]性质8把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式值不变·证明设D=|a11⋯a1i⋯a1j⋯a1na21⋯a2i⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1⋯ani⋯anj⋯ann|,D′=|a11⋯a1i+ka1j⋯a1j⋯a1na21⋯a2i+ka2j⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1⋯ani+kanj⋯anj⋯ann1j|,由性质7可知D′=|a11⋯a1i⋯a1j⋯a1na21⋯a2i⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1⋯ani⋯anj⋯ann|+|a11⋯ka1j⋯a1j⋯a1na21⋯ka2j⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1⋯kanj⋯anj⋯ann|由性质5可知|a11⋯ka1j⋯a1j⋯a1na21⋯ka2j⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1⋯kanj⋯anj⋯ann|=0,所以D′=D,证毕·性质9互换行列式的两行(列),行列式变号·证明由性质8、性质7,根据性质3可证·2序数的相关概念n阶行列式的性质1、2、5、7只运用定理1证明,化繁为简·以往教材,性质3和性质9必有一个性质用逆序数的有关概念来证,非常抽象,本文改进了行列式的定义后,性质3运用性质2证得,