如何认识矩阵计算中的基本技巧

如何认识矩阵计算中的基本技巧

1数学中的最基本的技巧是打洞技巧,是最重要的技巧矩阵计算不仅在线性数学中，而且在所有数学、物理和其他学科中都发挥着重要作用。刘绍学先生曾说:“1962年在颐和园龙王庙会议期间,万哲先学兄对我说:‘搞典型群研究我们掌握一些基本手法和招数,你们搞环论的有哪些手法和招数?’”“(20世纪)70年代在一次出数学竞赛题的会议中与华罗庚先生在他的房间闲谈.他对我说:‘国外把我说(骂)成是玩矩阵的魔鬼.……表面上你看我搞的是多复变函数、偏微分方程,实际上骨子里还是我的矩阵技巧.’”可见矩阵技巧是在华罗庚学派的“基本手法和招数”之一.许以超先生说“打洞”是“矩阵计算中的最基本的技巧”.数学中最基本的技巧,也是最重要、最有用的技巧.冯克勤先生有段很有趣的回忆:“20世纪70年代,当我成为科大的一名教员时,曾肯成先生对当年科大的情景说过几句格言,我只记得其中的两句.一句是‘科大是放羊,而不是喂猪’,另一句是‘龙生龙,凤生凤,华罗庚的学生会打洞’.”我们想在此谈谈对打洞技巧的一些认识,以求大家的指导.2打洞法debt什么是打洞技巧?我们介绍许以超先生的讲法.以Ik表示域F上的k阶单位矩阵.设A是域F上的m×n阶矩阵(即A∈Fm×n),且A=(BCDE)(2.1)于是当B是r阶方阵,且detB≠0时有(Ιr0-DB-1Ιm-r)(BCDE)=(BC0E-DB-1C),(2.2)(BCDE)(Ιr-B-1C0Ιn-r)=(B0DE-DB-1C).(2.3)以上两式分别将(2.1)式中的D,C变成了0,而0在电报语言中称为“洞”,因此这种方法称为“打洞”.类似地,当E是k阶方阵,且detE≠0时有(Ιm-k-CE-10Ιk)(BCDE)=(B-CE-1D0DE),(2.4)(BCDE)(Ιn-k0-E-1DΙk)=(B-CE-1DC0E),(2.5)如果A是2阶方阵,这时(2.1)式变为A=(bcae).(2.1′)如果b≠0,(2.2)式与(2.3)式分别变为(10-db-11)(bcae)=(bc0e-db-1c),(2.2′)(bcde)(1-b-1c01)=(d0de-db-1c),(2.3′)类似地,当e≠0时,(2.4)式与(2.5)式分别变为(1-ce-101)(bcde)=(b-ce-10de),(2.4′)(bcde)(10-e-1d1)=(b-ce-1dc0e).(2.5′)(2.2′)式与(2.4′)式是将(2.1′)式中矩阵A进行一次初等行变换,(2.3′)式与(2.5′)式是将(2.1′)式中矩阵A进行一次初等列变换.因此打洞技巧是矩阵一行减另一行的若干倍,或一列减另一列的若干倍这两类初等变换的推广.由此可知,若在(2.1)中,C或D可逆,也可将B,E打成洞.注如果我们将域F改为含幺元的交换环,将条件detB≠0,detE≠0分别换为B,E为可逆方阵,打洞法仍然有效.条件detB≠0,detE≠0并不等价于B,E为可逆方阵.3例如，洞绩效能力的应用本节我们用一些例子来说明打洞技巧的应用.3.1detn,bb打洞技巧的应用当首推“将高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算”.例1设A∈Fn×n,且A=(BCDE)‚B∈Ρr×r,detB≠0.试证detA=detB·det(E-DB-1C).(3.1)证明因为detB≠0,故B可逆.于是(Ιr0-DB-1Ιn-r)(BCDE)=(BC0E-DB-1C).而det(Ιr0-DE-1Ιn-r)=1.所以(3.1)式成立.矩阵计算中另一个技巧是所谓“摄动法”,常与打洞技巧一起用.例2设A、B、C、D∈Fn×n,F的特征为0,且AC=CA.试证|ABCD|=|AD-CB|.(3.2)证明令A(λ)=λIn+A.则detA(λ)是λ的n次多项式,至多n个根.由AC=CA,有A(λ)C=CA(λ).若detA(λ)≠0,则A(λ)可逆,且有(Ιn0-CA(λ)-1Ιn)(A(λ)BCD)=(A(λ)B0D-CA(λ)-1B).于是det(A(λ)BCD)=detA(λ)det(D-CA(λ)-1B)=det(A(λ)D-CB).由于det(A(λ)BCD)‚det(A(λ)D-CB)都是λ的有限次多项式,且若detA(λ)≠0,则det(A(λ)BCD)=det(A(λ)D-CB),(3.3)故(3.3)对任何λ成立.特别地,对λ=0也成立,于是结论成立.注如果F的特征不是0,用摄动法时要特别当心.如果F是实数域或复数域时,在(3.3)中令λ→0,则可知(3.2)成立.摄动法实际是源于此.矩阵乘法的结合性导致对一个矩阵的行变换和列变换的交换性,于是行、列变换可同时进行,在打洞技巧中要求(2.1)中的B,C,D,E至少有一个可逆,对特殊情况也不一定.例3设A,B∈Fn×n.试证|ABBA|=|A+B|⋅|A-B|(3.4)证明注意到(ΙnΙn0Ιn)(ABBA)(Ιn-Ιn0Ιn)=(A+BA+BBA)(Ιn-Ιn0Ιn)=(A+B0BA-B).于是(3.4)成立.3.2h可逆矩阵判断矩阵是否可逆及求可逆矩阵是线性代数中的重要问题.打洞技巧也是很有用的.例4设A∈Fn×n,detA≠0,B∈Fr×r,detB≠0,且A=(BCDE),试证A-1=(Ιr-B-1C0Ιn-r)(B-100(E-DB-1C)-1)(Ιr0-DB-1Ιn-r).(3.5)证明因为detA≠0,detB≠0,故A,B可逆.又(BCDE)(Ιr-B-1C0Ιn-r)=(B0DE-DB-1C).故det(E-DB-1C)=detA/detB≠0.因此E-DB-1C可逆.再由(B0DE-DB-1C)(B-100(E-DB-1C)-1)=(Ιr0DB-1Ιn-1),(Ιr0DB-1Ιn-r)(Ιr0-DB-1Ιn-r)=Ιn.得(3.5)成立.例5设A,D分别为F上m阶,n阶可逆方阵.则矩阵Η=(ABCD)为可逆矩阵当且仅当A-BD-1C与D-CA-1B都是可逆矩阵.证明因为A,D可逆,于是有(Ιm0-CA-1Ιn)(ABCD)=(AB0D-CA-1B)‚(ABCD)(Ιm0-D-1CΙn)=(A-BD-1CB0D).因此detH=detAdet(D-CA-1B)=detDdet(A-BD-1C).因而,H可逆,当且仅当D-CA-1B可逆,当且仅当A-BD-1C可逆.打洞技巧与数学归纳法结合在一起使用是很常见的情形.例6设A=(aij)n×n∈Rn×n满足条件:aij≤0(i≠j);A(12⋯k12⋯k)＞0(1≤k≤n).则有:A-1的所有元素非负;存在X=(x1,…,xn)′,xi>0(1≤i≤n)使得AX中每个元素皆正.证明对n作归纳证明.n=1时,命题显然成立.设n-1时命题已成立.对A作如下分块A=(An-1αβann).于是有An-1可逆,且An-1-1中每个元素非负.且(Ιn-10-βAn-1-11)(An-1αβann)=(An-1α0ann-βAn-1-1α).令d=ann-βAn-1-1α.则d=detA/detAn-1>0.又(Ιn-1-1dα01)(An-1α0d)=(An-100d).因而有A-1=(An-1-100d-1)(Ιn-1-1dα01)(Ιn-10-βAn-1-11).由于An-1-1中每个元素非负,d>0,α,β中元素非正,于是上式右面三个矩阵中元素都非负.因而A-1中元素非负.记A-1=(bij).于是bij≥0.令X=∑j=1ncoljA-1=(x1,⋯,xn)′.则xi=∑j=1nbij.由A-1可逆,故xi>0,且AX=∑j=1nAcoljA-1=∑j=1ncoljAA-1=(1,1,⋯,1)′.故AX中每个元素为正数.注本例中的矩阵A及其性质在线性不等式理论和Kac-Moody代数理论中是很重要的.3.3n0-ca-1n用线性代数研究二次型是将二次型化为对称矩阵.将高阶对称矩阵化为低价对称矩阵既是基本方法也是基本任务.例7设A,B,C,D∈Fn×n,A可逆对称,B′=C,证明存在可逆方阵T,使Τ′(ABCD)Τ为准对角方阵.证明因为A可逆对称.于是A-1对称.注意到(Ιn0-CA-1Ιn)(ABCD)(Ιn-(A-1)′C′0Ιn)=(AB0D-CA-1B)(Ιn-(A-1)′C′0Ιn)=(A00D-CA-1B).因此结论成立.注在此题中,若D也是对称的,则整个矩阵(ABCD)是对称的.例8设Q为n阶实正定对称矩阵,X为n维实列向量.证明0≤X′(Q+XX′)-1X<1.(3.6)证明设A=Q+XX′.因Q正定,XX′半正定,故A正定,因此A-1也正定.因而0≤X′(Q+XX′)-1X.再由A正定,知detA>0,而且有可逆矩阵P使得Q=P′P.因此(Ρ′X01)(Ρ0X′1)=(Ρ′Ρ+XX′XX′1)=(AXX′1).又(Ιn0-X′A-11)(AXX′1)=(AX0-X′A-1X+1).于是(-X′A-1X+1)detA=|AXX′1|=(detΡ)2＞0.因此(3.6)式成立.3.4未知矩阵的建立下面的例子说明用打洞法可将线性方程组中未知数个数减少,即消元.例9设A∈Fn×n,且A=(A1A2A3A4).其中A1∈Fk×k,A4∈F(n-k)×(n-k),且A4可逆.又X=(X1X2)‚B=(B1B2),其中B1∈Fk×1,B2∈F(n-k)×1.X1,X2分别为k×1,(n-k)×1的未知矩阵.则线性方程组AX=B(3.7)中前k个未知数,即X1满足线性方程组(A1-A2A4-1A3)X1=B1-A2A4-1B2.(3.8)证明在(3.7)的两边左乘(Ιk-A2A4-10Ιn-k),则由(Ιk-A2A4-10Ιn-k)(A1A2A3A4)(X1X2)=(Ιk-A2A4-10Ιn-k)(B1B2),知(A1-A2A4-1A30A3A4)(X1X2)=(B1-A2A4-1B2B2).于是X1满足(3.8)打洞技巧的要害