向量组的线性相关性

向量组的线性相关性

矩阵a-12，矩阵a=（12，m）=（ij）nxm，向量组a的线性相关性，矩阵a的秩，以及排列方程a的zs=0的解决方案（包括x=（x1、q2、…，xn）和非零子矩阵的概念之间的内在联系。这可以加深对这些概念的理解和应用，并从不同角度和深度来处理问题。一、高齐次线性方程组和n维列向量组的关系1.向量组的线性相关性的定义:若存在一组不全为零的数λi=(i=1,2,…,n),使得,λ1⇀α1+λ2⇀α2+⋯+λn⇀αn=n∑i=1λi⇀αi=⇀0‚则称向量组A线性相关,否则,称向量组A线性无关。2.若向量组(或矩阵)A的秩R(A)=r,则r<m时,向量组A线性相关,r=m时,向量组线性无关。3.若齐次线性方程组XA=⇀0有非零解,则向量组A线性相关,否则(方程组只有零解),向量组A线性无关。4.若m=n,若矩阵A可逆,则向量组A线性无关,否则向量组A线性相关。5.m>n时,向量组A必线性相关。6.若矩阵A有一个m阶非零子式,则向量组A线性无关。7.向量组等价的概念:若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示;若向量组A与向量组B能互相线性表示,则称向量组A与向量组B等价,记为A～B。8.所含向量个数相等的两个等价的向量组具有相同的线性相关性。9.矩阵乘积后秩不可能变大,即对任意矩阵A和B,有R(AB)≤R(A),R(AB)≤R(B)10.矩阵A乘一个非奇异阵(可逆阵)P后,不改变矩阵A的秩,从而不改变向量组A的线性相关性。11.对任意实矩阵A,有矩阵ATA与矩阵A秩相等,即R(ATA)=R(A)12.设有n维列向量组A:⇀α1‚⇀α2‚⋯‚⇀αr线性无关,显然r<n。即矩阵A=(⇀α1‚⇀α2‚⋯‚⇀αr)=(αij)nxr的秩为r,则ATA是r阶非奇异的对称阵。二、向量组b线性相关【例1】设向量组⇀α1‚⇀α2‚⇀α3‚⇀α4线性无关,⇀β1=⇀α1+⇀α2‚⇀β2=⇀α2+⇀α3‚⇀β3=⇀α3+⇀α4‚⇀β4=⇀α4+⇀α1‚试证向量组B:⇀β1‚⇀β2‚⇀β3‚⇀β4,线性相关。[证Ⅰ]因为,β1⇀-β2⇀+β3⇀-β4⇀=0⇀‚所以向量组B:β1⇀‚β2⇀‚β3⇀‚β4⇀线性相关。[证Ⅱ]记λ1β1⇀+λ2β2⇀+λ3β3⇀+λ4β4⇀=0⇀,则有(λ1+λ4)α1⇀+(λ1+λ2)α2⇀+(λ2+λ3)α3⇀+(λ3+λ4)α4⇀=0⇀因为α1⇀,α2⇀,α3⇀,α4⇀线性无关,所以上式的系数全为零,即得线性方程组{λ1+λ4=0‚λ1+λ2=0‚λ2+λ3=0‚λ3+λ4=0其系数行列式|B|=|1001110001100011|=0方程组有非零解,所以向量组B:β1⇀,β2⇀,β3⇀,β4⇀线性相关。[证Ⅲ]记(β1⇀,β2⇀,β3⇀,β4⇀)=(α1⇀,α2⇀,α3⇀,α4⇀)Κ,由行列式|Κ|=|1001110001100011|=r1+r3‚r2+r4|1111111101100011|=0所以向量组B:β1⇀,β2⇀,β3⇀,β4⇀线性相关。例1给出的三种证明方法.证法Ⅰ正好凑成向量组线性相关的条件,这种方法具有很大的偶然性;证法Ⅱ利用了向量组线性相关性的定义,来寻找可以存在非零的系数λi(i=1,2,3,4),从而说明向量组是线性相关的,这种方法具有一般性,是讨论向量组线性相关性的基本方法;证法Ⅲ的立脚点就比较高,得到的结论是因为|K|=0,由B=AK,可知向量组B的秩小于向量组A的秩,而R(A)=4,则R(B)<4,即向量组B的秩小于它的向量的个数,所以向量组B线性相关。【例2】设向量组A:α1⇀,α2⇀,⋯‚αr⇀线性无关,β1⇀=α1⇀,β2⇀=α1⇀+α2⇀,⋯‚βr⇀=α1⇀+α2⇀+⋯+αr⇀则向量组B:β1⇀,β2⇀,⋯‚βr⇀线性无关。[证Ⅰ]记λ1β1⇀+λ2β2⇀+⋯+λrβr⇀=0⇀‚则有(λ1+λ2+⋯+λr)α1⇀+(λ2+λ3+⋯+λr)α2⇀+⋯+λrαr⇀=0⇀因为α1⇀,α2⇀⋯,αr⇀线性无关,所以上式的系数全为零,即得线性方程组{λ1+λ2+λ3+⋯+λr=0‚λ2+λ3+⋯+λr=0‚⋯⋯⋯⋯λr=0其系数行列式|B|=|11⋯101⋯1⋯⋯⋯⋯00⋯1|=1≠0,方程组只有零解,即λ1=λ2=…=λr=0所以向量组B:β1⇀,β2⇀,⋯‚βr⇀线性无关。[证Ⅱ]记(β1⇀,β2⇀,⋯‚βr⇀)=(α1⇀α2⇀,⋯‚αr⇀)Κ,由行列式|Κ|=|11⋯101⋯1⋯⋯⋯⋯00⋯1|=1≠0,所以向量组B:β1⇀,β2⇀,⋯‚βr⇀线性无关。例Ⅱ的证明方法沿用了例Ⅰ的证法Ⅱ和证法Ⅲ。【例3】已知向量组A:α1⇀,α2⇀,⋯‚αr⇀线性无关,向量β⇀=k1α1⇀+k2α2⇀+⋯+krαr⇀‚k1≠0,试证向量组B:β⇀,α2⇀,⋯‚αr⇀线性无关。[证Ⅰ]用反证法.假设向量组B:β⇀,α2⇀,⋯‚αr⇀线性相关,则存在不全为零的数λi(i=1,2,…,r),使得λ1β⇀+λ2α2⇀+⋯+λrαr⇀=0⇀,显然λ1≠0(否则α2⇀‚⋯‚αr⇀线性相关,从而向量组A:α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αr⇀线性相关),于是有λ1Κ1α1⇀+(λ1Κ2+λ2)α2⇀+⋯+(λ1Κr+λr)αr⇀=0⇀,λ1Κ1≠0,即向量组A:α1⇀,α2⇀,⋯‚αr⇀线性相关,与题设相矛盾,所以向量组B:β⇀,α2⇀,⋯‚αr⇀线性无关。[证Ⅱ]因为α1⇀能用向量组B线性表示为α1⇀=1Κ1β⇀-Κ2Κ1α2⇀-⋯-ΚrΚ1αr⇀,即向量组A能用向量组B线性表示,从而向量组A与向量组B等价。向量组A与向量组B中所含向量个数相等,且向量组A线性无关,所以向量组B线性无关。【例4】定义n维向量a⇀=(a1‚a2‚⋯‚an)Τ和β⇀=(b1‚b2‚⋯‚bn)Τ的内积〈α⇀‚β⇀〉=a1b1+a2b2+⋯+anbn。证明向量组α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀线性无关的充分必要条件是Gram行列式不等于零,即G=G(α1⇀,α2⇀,⋯‚αm⇀)=|〈α1⇀‚α1⇀〉〈α1⇀‚α2⇀〉⋯〈α1⇀‚αm⇀〉〈α2⇀‚α1⇀〉〈α2⇀‚α2⇀〉⋯〈α2⇀‚αm⇀〉⋯⋯⋯⋯〈αm⇀‚α1⇀〉〈αm⇀‚α2⇀〉⋯〈αm⇀‚αm⇀〉|≠0[证Ⅰ]充分性,由行列式G≠0证明向量组α1⇀,α2⇀‚⋯‚αm⇀线性无关。用反证法,假设向量组α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀线性相关,则其中必有一个向量可由其它m-1个向量线性表示,不妨设α1⇀=Κ2α2⇀+⋯+Κmαm⇀,于是,对行列式G做初等行变换r1-(k2r2+k3r3+…+kmrm)后,G中第一行元素〈α1⇀‚αj⇀‚〉变为〈α1⇀-(k2α2⇀+k3α3⇀+⋯+kmαm⇀)‚αj⇀-(k2α2⇀+k3α3⇀+⋯+kmαm⇀)〉=〈0‚αj⇀-(k2α2⇀+k3α3⇀+⋯+kmαm⇀)〉=0从而得行列式G=|00⋯0〈α2⇀‚α1⇀〉〈α2⇀‚α2⇀〉⋯〈α2⇀‚αm⇀〉⋯⋯⋯⋯〈αm⇀‚α1⇀〉〈αm⇀‚α2⇀〉⋯〈αm⇀‚αm⇀〉|=0与条件G≠0相矛盾,故假设向量组α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀线性相关不能成立。所以向量组α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀‚线性无关。必要性,由向量组α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀‚线性无关,证明行列式G≠0。也用反证法。假设G=0,则用高斯消元法,经过初等行变换可以使它的最后一行全变为零。不妨设所做全部行变换(不考虑行对调,若需要做行对调,则下标相应调换不影响问题的结论)。rm+(k1r1+k2r2+…+km-1rm-1),则G中最后一行元素〈αm⇀‚αj⇀‚〉变为〈αm⇀-(k1α1⇀+k2α2⇀+⋯+km-1α⇀m-1)‚αj⇀-(k1αj⇀+k2αj⇀+⋯+km-1αj⇀)〉=0,对j=1,2,…,m均成立。显然ki不全为零并且αj⇀≠0,由α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀‚线性无关,知α1⇀-(k2α2⇀+k3α3⇀+⋯+kmαm⇀)=0。于是可知αm⇀可由α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀‚线性表示,即得向量组α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀‚线性相关,与题设相矛盾。故假设G=0不能成立。所以G≠0。[证Ⅱ]记矩阵A=(α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀),则Gram行列式G=|AΤA|。充分性,由行列式G≠0证明向量组α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀,线性无关。因为G=|AΤA|≠0,则矩阵ATA为满秩矩阵,即R(ATA)=m。于是有m=R(ATA)≤R(A)≤m,即得R(A)=m,所以向量组α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀线性无关。必要性,由向量组α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀线性无关,证明行列式G≠0。因为矩阵A=(α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αm⇀)的秩为m,所以矩阵ATA为非奇异的对称阵,即得G=|AΤA|≠0。例4的两种证明方法,分别采用了抽象度及理论性不同的两种证法。很容易看出证法Ⅱ比证法Ⅰ简捷得多。【例5】设向量β⇀可由向量组A:α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αr⇀‚线性表示,但不能由向量组α1⇀‚α2⇀‚⋯‚α⇀r-1,线性表示,试证向量组A:α1⇀‚α2⇀‚⋯‚αr⇀与向量组B:β⇀α1⇀‚α2⇀‚⋯‚α⇀r-1等价。[证]显然向量组