向量组线性相关性判定的几种常用方法

向量组线性相关性判定的几种常用方法

在线性代代相传的研究中，很难理解和掌握向量线性相关性的确定。向量相关性是线性关系和线性无关的总称，向量组的线性相关性和线性无关。只要掌握向量组的线性判断，向量组的线性判断就可以同时解决。在这项工作中，我们总结了确定向量组线性关系的一般方法，如下所示。1+2+ks2,3,4线性相关这是判定向量组的线性相关性的基本方法,既适用于分量没有给出的抽象向量组,也适用于分量已经给出的具体向量组.定义设向量组α1,α2,,αs(s≥1),若数域F中存在不全为零的数k1,k2,,ks,使得k1α1+k2α2++ksαs=0,则称向量组α1,α2,,αs线性相关,否则,则称向量组α1,α2,,αs线性无关.例1:设β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1,证明向量组β1,β2,β3,β4线性相关.证明:设存在四个数k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,将β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1,代入上式整理得(k1+k4)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=0,令k1=k3=1,k2=k4=-1,则有k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,所以由线性相关的定义知,向量组β1,β2,β3,β4线性相关.2其他向量线性表出向量组α1,α2,,αs(s≥2)的线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表出;而对于单个向量α,α线性相关的充要条件是α=0.如例1,β4=β1+β3-β2,即β4可由其余三个向量线性表出,故向量组β1,β2,β3,β4线性相关.3充要条件的确定方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题.对于各分量都给出的向量组α1,α2,,αs线性相关的充要条件是以α1,α2,,αs的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解;若齐次线性方程组只有零解,则向量组线性无关.例2:讨论向量组α1=(2,1,-1,-1),α2=(0,3,-2,0),α3=(2,4,3,-1)的线性相关性.解:以α1,α2,α3为系数的齐次线性方程组是解之得k1=-k3,k2=-k3,即k1=k2=-1,k3=1是方程组的一组非零解,故α1,α2,α3线性相关.4构造矩阵的秩与向量的关系矩阵秩法就是将向量组构成矩阵,利用矩阵的初等变换,将矩阵化为阶梯形矩阵.当矩阵的秩小于向量的个数,向量线性相关;当矩阵的秩等于向量的个数,向量线性无关.如上例2,以α1,α2,α3为列向量组的矩阵A,进行初等行变换,得由最后阶梯形矩阵的秩知原矩阵的秩为2,小于向量组的个数3.故α1,α2,α3线性相关.上面是以α1,α2,α3为列向量组构造矩阵,根据矩阵的行秩与列秩的关系,用α1,α2,α3为行向量组构造矩阵,再进行初等行(列)变换也可以得到相同的结果.5s矩阵的线性相关若向量组α1,α2,,αs是由s个s维向量所组成的向量组,且向量组α1,α2,,αs所构成的矩阵为A=(α1,α2,,αs),即A为s阶方阵.则(1)当A=0,则向量组α1,α2,,αs线性相关;(2)当A≠0,则向量组α1,α2,,αs线性无关.6判定向量组线性相关性此方法是数学中常用的证明方法,欲证命题真,先假设命题假,导出矛盾,从而原命题得证.例3:若α1,α2,,αm线性无关,若αm+1=k1α1+k2α2++kmαm且ki≠0(i=1,2,,m).证:α1,α2,,αm,αm+1中任意m个向量线性无关.证:由已知得,αm+1用α1,α2,,αm表示,且表达式唯一.设α1,,αi-1,αi+1,,αm+1(1≤i≤m+1)线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,,km+1,使得k1α1++ki-1αi-1+ki+1αi+1++km+1αm+1=0且km+1≠0,所以其中αi的系数为零,与条件中ki≠0矛盾.从而结论成立.当然,判断向量组线性相关性还有一些结