关于几种行列式计算的注记

关于几种行列式计算的注记

列方程出现在解线方程组。此外，它还广泛应用于各种工程领域，如线性方程、矩阵、特征多项式等。这是一个不可缺少的工具。因此,行列式的计算具有十分重要的作用,对于n阶行列式来说,大家熟悉的计算方法是由行列式的定义和性质得到的定义法、按行(列)展开定理、化三角形法、连加法及逐行(列)加减法。本文依据行列式元素间的规律总结了下面几种比较特殊而且实用的计算方法。一、限制法加边法是把等n阶增加一行一列变为n+1阶行列式,然后再利用性质进行计算。例1计算二、+s1xnn,1+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+分解行列法的原理:如果行列式某行(列)是两行(列)之和,将行列式分解为两个行列式的和,然后再利用性质进行计算。例2计算Dn=|1+a1x12+a2x1⋯n+anx11+a1x22+a2x2⋯n+anx2⋮⋮⋮1+a1xn2+a2xn⋯n+anxn|Dn=∣∣∣∣∣∣1+a1x11+a1x2⋮1+a1xn2+a2x12+a2x2⋮2+a2xn⋯⋯⋯n+anx1n+anx2⋮n+anxn∣∣∣∣∣∣解:将行列式Dn分解为若干行列式的和,则当n>2时,每个行列式至少有两列成比例,故Dn=0;当n=2时,D2=|1+a1x12+a2x11+a1x22+a2x2|=|1a2x11a2x2|+|a1x12a1x22|=(x1-x2)(2a1-a2).D2=∣∣∣1+a1x11+a1x22+a2x12+a2x2∣∣∣=∣∣∣11a2x1a2x2∣∣∣+∣∣∣a1x1a1x222∣∣∣=(x1−x2)(2a1−a2).当n=1时,D1=1+a1x1.三、dn—递推法递推法就是利用行列式的性质,把给定的n阶行列式Dn用同样形式的n-1(或更低)阶行列式表示出来,得到递推关系,再根据递推关系式求出Dn的一般表示式。例3计算Dn=|a+bab00⋯001a+bab0⋯0001a+bab⋯00001a+b⋯00⋮⋮⋮⋮⋮⋮0000⋯a+bab0000⋯1a+b|Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a+b100⋮00aba+b10⋮000aba+b1⋮0000aba+b⋮00⋯⋯⋯⋯⋯⋯0000⋮a+b10000⋮aba+b∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣解:将Dn按第一行展开,得Dn=(a+b)Dn-1-abDn=(a+b)Dn−1−ab(n-1)阶=(a+b)Dn-1-abDn-2.把上式改写成Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)利用上述递推关系,递推得到Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)=b2(Dn-2-aDn-3)=…=bn-2(D2-aD1).而D1=a+b‚D2=|a+bab1a+b|=a2+ab+b2D1=a+b‚D2=∣∣∣a+b1aba+b∣∣∣=a2+ab+b2,将它们代入上式,得Dn-aDn-1=bn,即Dn=aDn-1+bn再由此递推关系锝Dn=aDn-1+bn=a(aDn-2+bn-1)+bn=a2Dn-2+abn-1+bn=⋯=an+an-1b+⋯+abn-1+bn={bn+1-an+1b-a,当a≠b时；(n+1)an+1,当a=b时.四、有大量积整除的因子分离线性因子法是把行列式看成含其中一个或多个字母的多项式,变换它,如果发现它可被一些线性因子所整除且这些线性因子互质,则它可被这些因子的积整除。例4计算Dn=|123⋯n1x+13⋯n12x+1⋯n⋮⋮⋮⋮123⋯x+1|解:令f(x)=Dn,当i=1,2,…n-1时,f(i)=0,即(x-1),(x-2),…(x-n+1)是f(x)的因子且它们互质,故n-1∏i=1(x-i)是f(x)的因子,比较xn-1的系数知f(x)=n-1∏i=1(x-j)=Dn.五、规则an及一个假设a构造法是根据题设条件构造一个新行列式,然后再利用性质进行计算。例5计算Dn=|1a1a21⋯an-21an11a2a22⋯an-22an21a3a23⋯an-23an3⋮⋮⋮⋮⋮1an-1a2n-1⋯an-2n-1ann-11ana2n⋯an-2nann|解:构造线性方程组{x1+a1x2+a21x3+⋯+an-11xn=an1x1+a2x2+a22x3+⋯+an-12xn=an2x1+a3x2+a23x3+⋯+an-13xn=an3⋯⋯⋯⋯x1+an-1x2+a2n-1x3+⋯+an-1n-1xn=ann-1x1+anx2+a2nx3+⋯an-1nxn=ann①(1)当a1,a2,…,an中有两个相等时,显然Dn=0.(2)当a1,a2,…,an互不相等时,由范德蒙行列式知,方程组①的系数行列式D=Ⅱi＜j(aj-ai)≠0方程组有唯一解,其中xn=DnD,∴Dn=xnD②再作n次方程tn