优质课【部优】《阅读与思考圆周率π》教学设计

正多边形和圆《阅读与思考圆周率n》教学设计辽宁省大连市中山区实验学校高彤一、内容与内容解析.内容本节课以阅读与思考的活动课形式出现，介绍了关于圆周率的计算历史、以及如何利用正多边形的周长逼近圆的周长，从而得到圆周率n的计算方法。.内容解析由于正多边形和圆的关系密切，因此圆的有关计算也与正多边形的关系密切，本节课的教学重点内容是：通过了解古人算得圆周率n的具体方法，让学生可以自己估算圆周率。本节课介绍了利用正多边形的周长逼近圆的周长，从而得到圆周率n的计算方法，其中涉及极限思想，同时通过了解关于圆周率的数学史，增强学生的探究精神以及民族自豪感。二、目标和目标解析.目标(1)了解n的计算历史；(2)了解利用正多边形的周长逼近圆的周长，从而得到圆周率n的计算方法；(3)感受数学之美以及数学与其他学科之间互相联系的和谐之美，增强学生学习数学的热情与积极性。.目标解析达成目标(1)的标志是：学生通过前期小组合作的形式，收集关于圆周率计算史的相关资料，课上以小组长汇报的形式向全班同学讲解，从而让全班同学都能全面地了解关于圆周率n的计算历史；达成目标(2)的标志是：通过了解古希腊数学家阿基米德以及三国时期数学家刘徽求圆周率的方法，学生能够站在前人的肩膀上，亲自动手实际操作，利用数学推导以及计算器辅助，通过计算体会利用正多边形的周长逼近圆的周长这一极限思想，得到圆周率n的近似值，同时体会转化、类比的数学思想；达成目标(3)的标志是：通过本节课对圆周率的学习，帮助学生体会数学中这一具体问题的发展过程，体会数学中蕴含的独特美学特征，开启学生喜欢数学、热爱数学的大门。三、教学问题诊断分析本节阅读与思考课是在学生已经学习了《正多边形和圆》之后的一节阅读课，学生在已经掌握关于关于正多边形的相关概念之后，尝试思考如何求得圆周率的近似值。学生首先要熟练掌握相关概念，比如：正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的中心角、正多边形的边心距等重要概念。同时学生还需熟练运用勾股定理及三角函数进行有关计算。在画圆的内接正多边形的过程中，其实就揭示了正多边形与圆的内在联系。本节课要帮助学生去体会，我们既可以应用圆的有关知识研究正多边形的问题，又可以利用正多边形的有关问题解决圆的有关问题。例如，本节阅读课对圆周率n的研究，其实就是对正多边形与圆内在关系的研究。基于以上分析，确定本节课的教学难点，即通过计算圆内接正多边形的周长，得到圆周率的近似值。四、教学支持条件分析本课需要呈现大量的图片和动态模型，为了帮助学生更直观、形象地观察和理解计算圆周率的方法以及相关历史，采用了多种多媒体设备相结合的方式，例如：电子白板、几何画板，同时配有PPT演示、Focusky软件演示、以及微课讲解等辅助教学，以便帮助学生更好地理解如何计算圆周率。五、教学过程设计.课程引入音乐引课师生活动师：“同学们，音乐如诗如画，可以令我们的灵魂绽放，现在让我们共同聆听一段优美的乐曲。”教师播放开篇音乐。师：“好听吗惊喜吗你留意到屏幕下面的数字了吗”生：“特别惊喜！我发现屏幕下面的数字恰好对应这段旋律的乐谱，曲谱竟然是根据圆周率谱写而成的！想不到圆周率竟然可以用音乐的形式表达出来，觉得特别美好。”师：“是的，老师第一次听也觉得特别美妙。”师：“那么在大家的印象中，圆周率是什么呢”生：“圆周率就是n、圆周率是、圆周率是无理数、圆周率是圆的周长与直径的比值、圆周率还是圆的面积与半径平方的比值……”师：“非常的好，今天就让我们走进圆周率的世界，进一步来研究一下大家喜欢的圆周率。”设计意图：开篇播放一段学生从未听过的优美旋律，可以激发学生们的好奇心以及对本节课的学习热情，当学生发现这段旋律的曲谱恰好是由圆周率谱写而成时，他们的学习积极性会大大提高，同时也借此段旋律帮助学生体会数学与音乐相结合的和谐之美。.学生讲解数学史师生活动师：“课前同学们已经广泛收集了关于圆周率计算史的相关资料，下面我们有请几位组长上前来汇报你们小组的合作成果。首先有请第一组代表。”生：“大家好，我主要研究的是历史上计算圆周率的第一阶段，通过实验估计的方法获取圆周率，古人非常聪明，他们在应用轮子的过程中，想到这样一个问题：轮子滚一圈可以滚多远滚的距离与轮子的直径有什么关系为了测量圆的周长，他们采用了绕线的方法；或者将圆沿直尺滚动一周，测量长度。通过实验估计，古代中国人得到了“径一周三”这一圆周率的近似值。公元前2000多年的埃及人则采用测量圆面积的方法估算圆周率，他们在直径为9的圆中摆满谷粒，发现谷子也可以摆满边长是8的正方形，近似算出圆周率是，这和真实的圆周率已经非常的接近。古代劳动人民确实充满了智慧。”师：“很精彩，有请第二组组长上前汇报。”生：“大家好，我们组主要研究历史上计算圆周率的第二阶段，通过几何法，科学计算圆周率。其代表人物是古希腊著名数学家阿基米德，他采用圆的内接正多边形和外切正多边形来逼近圆周长的真实值，通过不断分割，求出圆周长的上下界，阿基米德从圆的内接正六边形入手，通过不断细分，借助勾股定理，最后算到圆内接与外切96边形，得到圆周率的范围是:啥'近似值是，"师：“很好，我们请第三组继续来展示。”生：“大家好，我来为大家讲一讲中国古代数学家关于圆周率的计算方法。早在东汉的《周髀算经》一书中，就记载了古率，即“周三径一”，但是此时的圆周率误差是比较大的。等到三国时期，魏国的数学家刘徽创立了“割圆术”。从而获得更精确的圆周率近似值。刘徽将圆周用内接正多边形穷竭，从而近似求圆的面积和圆的周长。他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，一直计算到圆内接192边形。用刘徽当时的原话说，就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”刘徽算到圆的内接正192边形，使圆周率精确到四位小数，得到。”师：“非常棒，还有哪个小组可以为他们补充”生：“大家好，我来为大家介绍一下著名的数学家祖冲之以及我们熟知的圆周率。祖冲之是我国南北朝时期著名的数学家、天文学家。祖冲之算到圆的内接12288边形，算出圆周率在到之间。这对于当时的人来说，已经非常不容易。史书中关于祖冲之和他所计算的圆周率是这样记载的：“南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，缺数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽。”我们能够看出，古代中国人记载数据的方式是十分繁琐的。而且古人没有现代人的计算工具，只能采用算筹，也就是刻有标记的小竹条去进行如此复杂的运算。我们可以体会，祖冲之想要将圆周率精确到小数点后7位，需要极强的聪明智慧更需要坚持潜心研究的毅力。祖冲之将圆周率精确到小数点后7位这一记录，直到一千年以后才被一位阿拉伯数学家打破。”设计意图：通过四位小组长上前汇报他们所收集到的圆周率的计算发展史，帮助学生直观了解计算圆周率的前两个阶段，即“实验估计”阶段和“几何计算”阶段。通过关于圆周率计算生动有趣的讲解，孩子们会逐渐理解“数学来源于生活，同时也要服务于生活”这一道理。同时也能体会到阿基米德、刘徽以及祖冲之在计算圆周率过程中付出的艰辛努力。尤其在讲解刘徽和祖冲之计算圆周率时，可以培养学生的民族自豪感。同时可以锻炼学生的语言表达能力。.动手操作环节师生活动：师：“刚才同学们跟着四位小历史学家了解了圆周率的计算史，下面我们也做一次小小数学家，亲自去经历“割圆术”的方法，踏着前人的足迹，动手探求n的值。”师：“我们就以最简单

的圆内接正三角形为例，开始计算。很明显，用圆内接正三角形去逼近圆的周长，误差会很大，我们如何以圆内接正三角形为基础，获得圆内接正六边形”学生思考，给出获得圆内接正六边形的方法。教师给出方法指导和提示。生：“我们可以从圆心出发，分别向正三角形的每条边做垂线，与圆产生三个交点，顺次连接圆上六点，就得到圆的内接正六边形。”师：“非常好，我们可以顺着他的思路，获得圆的内接正二十四边形，正四十八边形，甚至正九十六边形。为了获得更多数据，我们现在分为两大组，我们请这三组同学从圆内接正三角形入手，算边数为三、六、十二的正多边形的周长与直径之比。请这三组同学算边数为四、八、十六的正多边形的周长与直径之比。”学生亲自经历动手计算、小组合作、组内交流的环节，并请两位同学到黑板板书求圆的正八边形以及正十二边形的周长与直径之比的具体过程，并请这两位同学上前讲解。同时请班级计算最快的同学上前来填写黑板上的表格，总结正多边形边数与计算出圆周率之间存在的规律。己知：圆华税为"分别求出酬内接正多边形的周长.以及周氏与直径的比值/提示；>1.414,3=1,732)己知：圆华税为"分别求出酬内接正多边形的周长.以及周氏与直径的比值/提示；>1.414,3=1,732)师：“请同学展示正八边形和正十二边形周长与直径的比值求法，有请两位同学上前讲解。”师：“哪个小组算完了，请把数据填上来。”师：“好，我们观察一下，从正三角形到正十六边形，算出的n值，有什么特点你得到什么结论”生：“我们发现，当圆的内接正多边形边数越多时，它的周长就越接近圆周长的真实值，所求的正多边形周长与直径的比值就越接近n的真值。”师：“你说的非常好，正如你们看到的那样，随着边数的增加，计算量确实越来越大，老师通过几何画板，带着大家验证一下，是不是正二十四边形比正十六边形算出来的周长与直径之比离n值更近。我们也可以通过改变几何画板中对应的参数值，来求边数更多的正多边形它的周长与直径之比。”师：“通过亲自计算圆周率，同学们有什么感受”生：“我们体会到祖冲之如果想用算筹精确到小数点后7位难度很大，不仅需要纯熟的理论和技巧，更需要一丝不苟的研究精神，才能在科学的道路上获得如此辉煌的成就。” 师：“还有呢”生：“在追求科学的道路上，我们要有严谨求实，不畏艰辛的科学态度，我们要热爱数学，当我们对数学产生了兴趣，枯燥也会变得有趣，烦琐也会变成吸引力。”师：“说的很好，其实我们所有的研究都是站在巨人的肩膀上。”设计意图：学生通过亲自动手计算圆周率，经历刘徽以及祖冲之的足迹，会对圆周率的计算有更深刻的体会和认识，同时也能感受到古代数学家在计算过程中，不仅需要纯熟的理论和技巧，更需要一丝不苟的研究精神，才能在科学的道路上获得如此辉煌的成就。在追求科学的道路上，我们要有严谨求实，不畏艰辛的科学态度，增强学生学习数学的热情。本节课的难点即计算圆周率，通过逐步引导，学生都能掌握计算圆内接正多边形的周长的方法，从而突破本节课的难点。.微课介绍圆周率计算史师生活动：教师通过播放微课，讲解计算圆周率的第三阶段，“高等数学阶段”，以及第四阶段，“计算机阶段”。微课内容：在经历了实验估算阶段和几何计算阶段之后，随着高等数学的发展，在十七世纪中叶，数学家们开始利用数学分析的方法，得到计算圆周率的公式，从而求得n的近似值。这也是计算圆周率的第三阶段。数学家们找到了很多美妙的公式来刻画n。法国数学家韦达利用三角函数，得到了冗的无穷级数展式。1656年英国数学家沃利斯给出了计算n的另一种公式，计算次数越多，计算结果就越接近n的真实值。大数学家欧拉同样得到了关于n的优美展开式。利用这些公式，我们就可以免去很多繁琐的几何运算过程。计算机的出现使圆周率的计算进入了一个更新的时代，这也许是它的最后一个时期。1949年第一代计算机ENIAC（埃尼阿克）用七十分钟，将n计算到了小数点后2037位；1961年利用晶体管计算机，数学家们将n计算到了小数点后两万位；1999年东京大学的金田康正和高桥大介二人用了七十三个小时，把圆周率计算到了小数点后六百八十七亿一千九百四十七万位；2021年近藤茂把n计算到了小数点后五兆位。由于单纯的通过计算机去追求更高的位数已经毫无意义，现如今，我们进行n值的运算主要目的是用于：测试或检验超级计算机的各项性能。特别是用来测试运算速度与运算过程的稳定性，以及算法的准确性。设计意图：通过播放微课，可以简洁明了的帮助学生了解圆周率计算史的第三阶段以及第四阶段，帮助学生认识了解圆周率的作用不仅仅局限在计算圆的周长以及面积上，还可以利用圆周率来检测计算机的运行速度、运行稳定性以及算法的准确性。开阔学生的视野，让学生体会数学源于生活同时也服务于生活的道理，培养学生学习数学的热情和兴趣。.游戏环节师生活动：由于圆周率的无限不循环特性，背诵圆周率可以作为开发和锻炼记忆力的好方法。教师在电子白板上展示圆周率的前200位，给学生1分钟时间，激发学生的学习热情，比赛谁在1分钟内背诵位数最多。师：“同学们，我国著名的桥梁学家茅以升在青年时期就能背诵到小数点后100位，背诵圆周率可以开发人脑的记忆力和存储能力，可以说，背诵圆周率既有用，又有趣。在本节课的最后，我们进行一个小游戏，一起来记圆周率，看看谁是我们班今天的最强大脑。”设计意图：通过设置背诵圆周率这一游戏环节，激发学生的学习热情，培养学生追求成功的韧性。.小结实际上我们求圆周率一共经历了四个阶段，分别是第一阶段“实验估算阶段”、第二阶段“几何计算阶段”、第三阶段“高等数学分析阶段”、第四阶段“计算机阶段”；大家都知道，我们在做题时，通常n都取到，即使是非常精密的计算，我们也只取到小数点后7位，那么我们探索小数点后万位甚至亿位的精确度，对我们实际的生产生活又有什么作用呢（1）圆周率的精确度越高，我们求圆的周长就越精确，生活中我们需要这种严谨性；（2）我们学数学就需要这样的严谨性，不能浅尝辄止，我们要去猜想，更要去验证；（3）数学来源于生活，我们学习数学就是要学以致用，为了更好的服务于生活，我们可以利用计算圆周率来检测计算机的运行速度、以及运行时的准确性、稳定性；（4）数学很美，我们竟然可以利用圆周率来谱写乐曲……教师总结：师：“确实如此，数学中有很多美妙的数字，比如n,比如我们学过的黄金分割，数学与其他学科也有紧密的联系，比如数学和音乐、和美术、和艺术，数学和物理、和化学。如果你对数学充满了兴趣，希望你从今天起，认认真真地把基础打好，凭借毅力与智慧去体会数学的多彩世界和无限风光！”师：“让我们再次聆听圆周率之歌，在曼妙的音乐声中结束今天的课程……”教师播放《圆周率之歌》，学生在歌曲欣赏中结束本节课的学习。设计意图：总结提升阶段，让学生自由发表自己的看法，教师从知识和情感两个方面进行引导，让学生归纳本节课所学知识，同时培养学生学习数学的热情与兴趣，激发学生学习数学的动力，让学生以饱满的热情继续进一步学习，激励学生勇于攀登科学界的重重险峰，体会数学的别样风采。.布置作业利用课余时间查找关于圆周率的其他妙闻趣事，组织同学交流。设计意图：让有兴趣的同学进一步加深对圆周率的了解，培养学生学习数学的热情与兴趣，让学生在学中玩，在玩中学。教学反思：《阅读与思考圆周率n》是一节活动课，教学内容比较轻松，本节课主要要求学生了解圆周率的计算史及相关知识、数学史上做出重要贡献的人物以及数学家求圆周率的方法，其中“割圆术”为本节