浙江省之江教育评价联盟2021届高三上学期8月返校联考数学试题含答案

之江教育评价2020学年第一学期高三返校联考（2020.08）数学试题卷考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.选择题部分（共40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.集合，集合，则（）A. B. C. D.2.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.3.若实数，满足，则的最小值是（）A.2 B.4 C.6 D.84.函数（为自然对数的底数）的图象可能是（）A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（）A. B. C. D.6.设，是实数，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.有9本不同的书，其中语文书2本，英语书3本，数学书4本.现从中随机拿出2本，记拿出数学书的本数为，则（）A.， B.，C.， D.，8.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位9.已知，若函数有4个零点，则方程的实数根个数为（）A.0 B.1 C.2 D.与的取值有关10.设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（）A.存在数列为单调递增的等差数列 B.存在数列为单调递增的等比数列C.恒成立 D.恒成立非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.）11.已知，（是虚数单位），则______，______.12.二项展开式，则______，______.13.已知为第二象限角，，则______，______.14.已知圆：和圆：相交于，两点，则直线的方程是______，线段的长度是______.15.已知单位向量，若向量满足，则______.16.已知椭圆：的左右焦点分别为，.直线过椭圆的左顶点且与椭圆相切，为直线上任意一点，若的最大值为，则椭圆的离心率是______.17.若函数（为自然对数的底数）在区间上存在最小值，则实数的取值范围是______.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值.19.如图，在三棱台中，平面平面，，，，，点是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20.等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）数列的前项和为，证明.21.如图，已知抛物线：与圆：有四个不同的公共点，，，.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求四边形面积的最大值.22.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若函数存在极大值点与极小值点，当时，有恒成立，求实数的取值范围.之江教育评价2020学年第一学期高三返校联考（2020.08）数学参考答案一、选择题1-5：CDABB 6-10：ACACD二、填空题11.，12.80，24313.，14.，15.16.17.三、解答题18..（Ⅰ）令，则，所以函数的单调递增区间为.（Ⅱ）或或（不符），则得，则当且仅当“”时取等号，所以.19.（Ⅰ）证：由题意可知：且，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.（Ⅱ）法一：将三棱台还原为三棱锥，连接，，则，则，由题意可知平面，取中点，则，连.则，那么平面.所以平面平面.过作，即就是到平面的距离.又因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离.在中，，，则，.又因为，设直线与平面所成角为，即.法二：建立如图所示空间直角坐标系，则，，，在梯形中，，，则，，设是平面的法向量，则取，则，，设与平面所成角为，则.20.（Ⅰ）由题意得（不符）或，所以.则当时.当时符合，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.21.解（Ⅰ）联立得.由题可知，在上有两个不同的解，所以，得，所以.（Ⅱ）设，，，，由韦达定理可知，，.又.，所以.令，则，此时.记，..当时，，当