重难点专题14导数压轴小题十四大题型汇总（原卷版）

重难点专题14导数压轴小题十四大题型汇总TOC\o"13"\h\z\u题型1恒成立问题之直接求导型 1题型2恒成立问题之分离参数型 2题型3恒成立问题之隐零点型 4题型4恒成立问题之洛必达法则 5题型5恒成立问题之两个函数问题 6◆类型1同变量型 6◆类型2不同变量型 7◆类型3函数相等型 7题型6恒成立问题之构造函数 9题型7零点问题 10题型8同构问题 11题型9整数解问题 12题型10函数凹凸性问题 13题型11倍函数问题 14题型12二次型函数问题 16题型13嵌套函数问题 17题型14切线放缩法 18题型1恒成立问题之直接求导型无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点.2.讨论点的寻找是关键.3.一些题型，可以适当的借助端点值来"压缩"参数的讨论范围【例题1】（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知a∈R，设函数fx=x2-3x+2a,x≤1x-alnx,x>1A．[0,1] B．1,2 C．0,e D．【变式11】1.（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有fxA．0,1 B．1,e2 C．0,【变式11】2.（2022秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）若不等式ex-1-mx-2n-3⩾0对∀x∈R恒成立，其中m≠0，则A．-ln3e2 B．-【变式11】3.（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）一般地，对于函数y=ft和t=gx复合而成的函数y=fgx，它的导数与函数y=ft，t=gx的导数间的关系为yx'=A．12 B．1 C．e2【变式11】4.（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知函数fx=mex-x-n-1m,n∈R，若A．e-2 B．-e-2 C．【变式11】5.（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数fx=x-a-1ex+b，若存在b∈R，对于任意题型2恒成立问题之分离参数型分离参数是属于“暴力计算”型方法，分离参数：将参数提取到单独的一側，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围.1.分离参数思维简单，不需过多思考；2.参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂3.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶..等等求导.【例题2】（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于x的不等式ex3k-x<2x+3对任意的x∈A．-1 B．0 C．1 D．3【变式21】1.（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知不等式xex+1-x≥lnx+2m+3A．m≤-12 B．m≥-12【变式21】2.（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)，g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=ex，若关于x的不等式A．-∞,409 B．40【变式21】3.（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）已知x1，x2是函数f(x)=x2-2ax+2lnxA．-98C．-98【变式21】4.（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式m+2x+lnx+1A．-∞,0C．-∞,题型3恒成立问题之隐零点型解题框架（主要的）：（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根x0（2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根x（3）利用x0与参数互化得关系式，先消掉参数，得出x0不等式，求得（4）再代入参数和x0【例题3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数fx=1x+lnx【变式31】1.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）若关于x的不等式ex-a≥lnx+a对一切正实数A．-∞,1e B．-∞,e C．-∞,1【变式31】2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=exx-1x-1，对任意x>0【变式31】3.（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）若关于x的不等式ex(2k-x)<x+3对任意的x∈0,+【变式31】4.（2022·安徽·巢湖市第一中学校联考模拟预测）已知不等式ax-lnxxA．14 B．13 C．题型4恒成立问题之洛必达法则如果最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”.【例题4】(多选)已知函数f(x)=e|x|sinA．f(x)是周期为2π的奇函数 B．f(x)在(-πC．f(x)在(-10π,10π)内有21个极值点 D．f(x)⩾ax在[0,π4【变式41】1.（2020春·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考开学考试）已知函数f(x)=x2lnx-a(x2-1)A．［24,+∞） B．[12,+∞)【变式41】2.（2020·江西九江·统考三模）若对任意x∈0,π，不等式ex-A．-2,2 B．-∞,e C．【变式41】3.（2020春·河北唐山·期中）若12(a-1)x2+1<A．(-∞,2] B．(-∞,2) C．(-∞,1] D．(-∞,3]【变式41】4.(多选)（2023春·河南许昌·）已知函数f(x)=eA．f(x)是周期为2π的奇函数 B．f(x)在(-πC．f(x)在(-10π,10π)内有21个极值点 D．f(x)⩾ax在[0,π4题型5恒成立问题之两个函数问题此类函数，多采用两函数“取最值法”.一般地，已知函数y=fx,x∈（1）若∀x1∈a,b，∀x（2）若∀x1∈a,b，∃x（3）若∃x1∈a,b，∃x（4）若∀x1∈a,b，∃x2∈◆类型1同变量型【例题51】（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知函数fx=ex-lnx，gA．e B．1 C．-1 D．-【变式51】1.（2022秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知函数f(x)=-x2+m2x+2(m>0),g(x)=eA．5 B．6 C．7 D．8【变式51】2.（2023·江苏·统考模拟预测）已知fx=mx+n，gx=lnx，对于A．-ln2 B．－1 C．【变式51】3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=x-lnx+1，gx=e【变式51】4.（2020·全国·高三专题练习）设三次函数f(x)=13ax3+12bx2+cx，（a,b,c为实数且a≠0◆类型2不同变量型【例题52】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）设函数fx=x-1ex-e，gx=A．0 B．1 C．1e【例题52】1.（多选）（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知fx=xex，gx=xlnA．当t>0时，x1x2=tC．不存在t，使得f'x1=g【变式52】2.（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学阶段练习）已知函数fx=lnxx，g(x)=-ex2+ax(e是自然对数的底数)，对任意的x【变式52】3.（2022秋·四川·高三棠湖中学阶段练习）函数f(x)=lnx-ax，g(x)=ax2+1，当a≤0时，对任意x1、x【变式52】4.（2021秋·湖北襄阳·高三开学考试）已知函数fx=lnx-14x+34x◆类型3函数相等型【例题53】（2021秋·江西·高三阶段练习）已知函数f(x)=(12)x-14,x<1log2A．0,54 B．0,54【变式53】1.（2022·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数f(x)=2x-2，g(x)=asinx+2,x≥0x2A．-∞,12C．-∞,12【变式53】2.（2023·新疆乌鲁木齐·乌市一中校考三模）已知函数fx=e2x-2x+1,gA．fx1C．ln2x【变式53】3.（2021·河南·统考一模）定义：[ln(g(x))]'=1g(x)⋅g'(x).设函数f(x)=x2+2x+a，g(x)=8A．(16ln2-15,0)C．(0,8ln2-3)【变式53】4.（2021春·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数fx=x2⋅e-x，gx=-A．4e2<c<43 B．题型6恒成立问题之构造函数些复杂结构，需要先构造合理的函数形式再求导研究，以达到"化繁为简"的目的【例题6】（2023·全国·高三专题练习）已知ε>0，x,y∈-π4A．cosx≤cosy B．cosx≥【变式61】1.（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=x2+1exA．-∞,1C．-∞,3【变式61】2.（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数fx=alnx+1+x2，在区间3,4内任取两个实数x1，A．-9,+∞ B．-7,+∞ C．9,+【变式61】3.（2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知函数f(x)=aex+4x，对任意的实数x1,A．2e,+∞ B．2e【变式61】4.（2022秋·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考开学考试）已知2021lna=a+m，2021lnb=b+m，其中a≠b，若A．2021e2,+∞ B．2021题型7零点问题1.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；2.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理，可以通过构造函数的方法、把问题转化为研究构造的函数的零点问题；3.利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.【例题7】（2022秋·江西抚州·高三临川一中校考期中）若函数fx=ex+aA．4e5 B．e2 C．【变式71】1.（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数fx=ex,x≤1A．0,14C．0,1515【变式71】2.（2021秋·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数fx=aA．1,e2e B．e1【变式71】3.（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设a>0，b∈R，已知函数fx=xexA．e26 B．e25【变式71】4.（2023·四川广元·校考模拟预测）若函数fx=2lnA．ln22,1e B．题型8同构问题同构法的三种基本模式：①乘积型，如aea≤blnb②比商型，如eaa<bln③和差型，如ea±a>b±lnb，同构后可以构造函数【例题8】（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）对于实数x∈0,+∞，不等式A．0<m≤1 B．m≤1 C．0<m≤e D．【变式81】1.（2021秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）设k>0，若存在正实数x，使得不等式log27x-k⋅3A．1eln3 B．ln3【变式81】2.（2023秋·广东中山·高三校考阶段练习）对任意x∈0,+∞，keA．-1 B．13 C．1e【变式81】3.（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已如函数fx=aex+lna+1a>0A．0,1e2 B．0,1【变式81】4.（2022秋·福建莆田·高三莆田二中校考阶段练习）对任意x>0，若不等式ax2≤A．(0，2e] B．(0,e]【变式81】5.（2023春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）定义：设函数y=fx在a,b上的导函数为f'x，若f'x在a,b上也存在导函数，则称函数y=fx在a,b上存在二阶导函数，简记为y=f″x．若在区间a,b上f″x题型9整数解问题1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题【例题9】（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式x(x-mex)>mexA．(165e4,9【变式91】1.（2023·重庆巴南·统考一模）已知偶函数fx满足f4+x=f4-x，f0=-1，且当x∈0,4时，fx=lnxA．-1,0 B．0,ln22 C．【变式91】2.（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=(x-1)lnx-ax-1(a∈R)，若不等式f(x)<0最多只有一个整数解，则A．-∞,C．-∞,【变式91】3.（2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知函数f(x)=ax+lna，g(x)=x+ex-A．(e,e2] B．【变式91】4.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知fx=ax+1exA．32eC．32e【变式91】5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=kx(x+1)-lnx，若A．(ln5C．(ln2题型10函数凹凸性问题凹凸函数常见的图形【例题10】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知函数fx=ln【变式101】1.（2021春·湖北鄂州·高二统考期末）已知大于1的正数a，b满足ln2beA．7 B．8 C．9 D．11【变式101】2.（2023秋·江苏南京·高三南京市中华中学校考阶段练习）已知实数x，y满足ln(4x+3y-6)-ex+y-2A．2 B．1 C．0 D．-1【变式101】3.（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数f(x)=ex(|A．(-e,+∞) B．(-1e,+∞) C．题型11倍函数问题1.保值函数，包括“倍增函数”，“倍缩函数”，“K倍函数”，等等新定义2.应用函数思想和方程思想.【例题11】（2023春·北京海淀·高二校考阶段练习）若存在x1,x2∈a,b且x1≠x2，使gx1-gx2>Lfx1A．-∞,e9C．-∞,e D．-∞,e【变式111】1.（2020秋·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（

）A．(e+1e，+∞) B．(e+2C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)【变式111】2.（2022·全国·高三专题练习）如果存在x1，x2∈a,b且x1≠x2，使gx1-gx2>Lfx1-fx2成立，则在区间【变式111】3.（2023·全国·高三专题练习）函数fx的定义域为D，若存在闭区间a,b⊆D，使得函数fx满足：①fx在a,b内是单调函数；②fx在a,b上的值域为2a,2b①fx=x③fx=4x【变式111】4.(2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（20≤n≤30，n∈N*），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（2≤k≤n，k∈N*）比第k-1层的“环境满意度”多出3k2-3k+1；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（2≤k≤n，k∈N*）比第k-1层的“高层恐惧度”高出13倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为ak，（参考公式及数据：12+22+32【变式111】5.（2022·全国·高三专题练习）若存在实数K，对任意x∈I,gx≥Kfx成立，则称gx是fx在区间I上的“K倍函数”.已知函数f(x)=-x2-2x-4,x⩽0lnx+12题型12二次型函数问题【例题12】（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数fx=-x2+x+2,x<02x【变式121】1.（2023·全国·校联考二模）已知函数fx=1-xex，若关于x【变式121】2.（2023·全国·高三专题练习）函数fx=-x2+4x-4ex，若关于【变式121】3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=x+3,x≤0exx,x>0，若关于x的【变式121】4.（2023秋·广东东莞·高三校考期末）已知函数fx=ex⋅【变式121】5.（2022秋·山西运城·高三统考期中）已知函数fx=2x+1-1,x⩽0,lnx题型13嵌套函数问题【例题13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x3+2x-2a，若曲线y=-x2+2x上存在点【变式131】1.（2020春·浙江·高二校联考期末）已知函数f(x)=2e2xA．若M=1，则N≤2 B．若M=2，则N≥2C．若M=3，则N=4 D．若N=3，则M=2【变式131】2.（2023·天津·二模）已知函数fx=lnx,x≥11-x2A．4-2ln2,+∞ B．1+e,+∞【变式131】3.（2023·浙江·二模）已知函数fx=x-aex【变式131】4.（2023·江苏·校联考模拟预测）已知函数f(x)=x3-x,x≤0lnx,x>0，若【变式131】5.（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数fx=x+1,x<0lnx+1,x≥0，若关于x的方程ffx=a题型14切线放缩法【例题1