线性代数的行列式

线性代数的行列式

列是研究线性方程组的重要工具，用于简化线性方程组的解的结构。学生们通常认为它很抽象，对它的理解也不是很深刻。实际上行列式的作用不仅仅只是一个记号,它在很多方面都有重要应用,甚至它的引入可以让一个理论体系重构。此文具体探讨行列式在解析几何中的应用,由于学生在中学接触过解析几何,很多结论是他们熟知的,现在这些结论被换作行列式来重新描述,让学生体会到结构化语言的妙处,从而深刻体会到数学的简洁美。1角形的面积和相定理1(三角形的面积)已知ΔABC在平面直角坐标系中的三顶点坐标:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则ΔABC的面积为:的绝对值.显然由定理1可有如下推论1:推论1(三点共线的条件)设有三点的坐标分别为:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则这三点共线的充要条件是:定理2(三角形的面积)若ΔABC的三边是由方程aix+biy+ci=0(i=1,2,3)给出,则ΔABC的面积为:显然由定理2可有如下推论2:推论2(三直线共点的条件)设有三条互不平行的直线为:aix+biy+ci=0(i=1,2,3),则这三条直线共点的充要条件为:更一般地,我们有如下结论:定理3(多边形的面积)如果多边形的各顶点在平面内的坐标分别为:p1(x1,y1),p2(x2,y2),…,pn(xn,yn),则此多边形的面积为:2极坐标推论3(直线的两点式方程)在坐标平面内,经过两点p1(x1,y1)和p2(x2,y2)的直线方程为:注:若设该直线上任一点的坐标为(x,y),则由推论1即可得到推论3.显然由直角坐标与极坐标之间的关系,可有如下推论4:推论4(直线的极坐标方程)已知直线l通过两点p1(ρ1,θ1)和p2(ρ2,θ2)的极坐标方程为:3提出这件的三矢量共面的条件由三矢量混合积定义的几何意义,我们有如下定理4:定理4(平行六面体的体积)设不共面的三矢量分别为:ue5c6→v1=x1ue5c6→i+yue5c6→1j+z1ue5c6→k,ue5c6→v2=x2ue5c6→i+yue5c6→2j+z2ue5c6→k,ue5c6→v3=xue5c6→3i+yue5c6→3j+z3ue5c6→k,则以这三个矢量为棱的平行六面体的体积为:显然由定理4可有如下推论5:推论5(三矢量共面的条件)设有三矢量分别为:ue5c6→v1=x1ue5c6→i+yue5c6→1j+z1ue5c6→k,ue5c6→v2=x2ue5c6→i+yue5c6→2j+z2ue5c6→k,→ue5c6v3=x3ue5c6→i+yue5c6→3j+z3→ue5c6k,则此三矢量共面的充要条件为:推论6(平面的三点式方程)设平面上不在同一直线上的三点:p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2),p3(x3,y3,z3),则此平面的方程为:注:若设该平面上任一点的坐标为(x,y,z),则由推论5即可得到推论6。推论7(平面的截距式方程)特别地,过三点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(且abc≠0)的平面方程为:(此形式称为平面的截距式方程)。根据四面体与平行六面体体积之间的关系,由定理4进一步可得到定理5:定理5(四面体的体积)设以不在同一平面的四点分别为:p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2),p3(x3,y3,z3),p4(x4,y4,z4)为顶点的四面体的体积为:显然由定理5有如下推论8:推论8(四点共面的条件)设有四点:p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2),p3(x3,y3,z3),p4(x4,y4,z4),则此四点共面的充要条件为:4两平行直线间的距离公式定理6(点到直线的距离公式)设点p0(x0,y0,z0)和直线,则点p0到直线l的距离为:显然由定理6可得如下推论9:推