湖南省长沙市宁乡县第十高级中学高三数学文期末试题含解析

湖南省长沙市宁乡县第十高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量与的夹角为60，时，实数x为（）A．4 B．2 C．l D．参考答案：B【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得实数x的值．【解答】解：∵向量与的夹角为60°，时，∴﹣x?=4?1?cos60°﹣x=0，求得x=2，故选：B．2.（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（）A．B．1C．D．参考答案：D【考点】：正弦定理；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D【点评】：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．3.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）．

．

．

．参考答案：A由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱锥的底面边长为正方体的上底面，高为1.∴原几何体的体积为,选A.4.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有(

)（A）

（B）（C） （D）参考答案：

C略5.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为A. B.1 C.

D.

参考答案：D由题意知的周长为，面积为，由内切圆的性质可知，其半径为.故选D.6.函数的单调递减区间为

(

)A.(2,+∞)

B.(3,+∞)

C.(－∞,2)

D.(－∞,1)参考答案：D7.若函数在x=x0处有最小值，则xo=（

）

A．1+

B．1+

C．4

D．3参考答案：【知识点】基本不等式E6D解析：因为，当且仅当，x=3时等号成立，所以选D.【思路点拨】结合基本不等式的适用条件，先凑出定值，再判断取得最值的条件即可.8.当变量满足约束条件的最大值为8，则实数的值是（

）

A．-4

B．-3

C．-2

D．-1参考答案：A略9.已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（

）①在一条直线,

③存在两条平行直线；②存在一个平面；

④存在两条异面直线.A.①③

B.②④

C.①④

D.②③参考答案：C10.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，.当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．参考答案：【知识点】数列求和D4【答案解析】易知：当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以，由此类推：，所以，所以，所以【思路点拨】根据所给函数求出通项，然后利用裂项求和求出结果。12.已知向量，若且方向相反，则

．参考答案：－5

13.已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=

．参考答案：0考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数f（x）=，由内向外依次求函数值即可．解答： 解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2+2×（﹣2）=0，f（f（﹣2））=f（0）=20﹣0﹣1=0；故答案为：0．点评：本题考查了分段函数的应用，由内向外依次求函数值，属于基础题．14.某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取—个容量为的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则等于

·参考答案：19215.若在由正整数构成的无穷数列中，对任意的正整数，都有，且对任意的正整数，该数列中恰有个，则=

.参考答案：4516.（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．参考答案：﹣42【考点】二项式定理的应用．【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4217.已知函数的最小正周期为，则（A）函数的图象关于点（）对称（B）函数的图象关于直线对称（C）函数的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称（D）函数在区间内单调递增参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点（Ⅰ）证明：∽△;（Ⅱ）若的面积，求的大小.参考答案：证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.略19.如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB．（1）求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；（2）点E在侧棱AA1上，若二面角E﹣BD﹣C1的余弦值为，求的值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；MR：用空间向量求平面间的夹角．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，根据二面角与平面法向量之间的关系进行求解即可．【解答】解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．设AB=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．（1）设AD1与面BB1D1D所成角的大小为θ，，设平面BB1D1D的法向量为=（x，y，z），，，则=0，，即x+y=0，z=0．令x=1，则y=﹣1，所以n=（1，﹣1，0），sinθ=|cos＜＞|==，所以AD1与平面BB1D1D所成角的正弦值为．（2）设E（1，0，λ），0≤λ≤2．设平面EBD的法向量为=（x1，y1，z1），平面BDC1的法向量为=（x2，y2，z2），，由，=0，得x1+y1=0，x1+λz1=0，令z1=1，则x1=﹣λ，y1=λ，n1=（﹣λ，λ，1），，由，，得x2+y2=0，y2+2z2=0，令z2=1，则x2=2，y2=﹣2，n2=（2，﹣2，1），cos＜＞==，所以，得λ=1．所以．20.已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性即可；（Ⅲ）问题等价于在[1，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当

a=1时，，…（2分），…（3分）所以，函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为即：5x﹣4y﹣4=0…（4分）（Ⅱ）函数的定义域为：{x|x≠0}…（1分）…（2分）当0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增当a＞2时，令f′（x）=0，即：ax2+2﹣a=0，，f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2，所以，f（x）单调递增区间为，单调减区间为．…（4分）（Ⅲ）因为f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，则．令g′（x）=0，则…（2分）若，即a=1时，g′（x）≥0，函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；

…（3分）若，即a＜1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为，因为g（1）=0，所以不合题意．…（4分），即a＞1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）又因为g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立综上知，a的取值范围是[1，+∞）．…【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．21.设函数(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)若的定义域为R，求实数m的取值范围.甘肃省天水市秦参考答案：略22.（12分）（2012?射洪县校级模拟）设函数f（x）=，其中向量．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求△ABC外接圆半径R．参考答案：考点： 正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．

专题： 计算题；综合题．分析： （1）直接把向量代入函数f（x）=，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为求，利用正弦函数的单调减区间求函数的单调递减区间；利用周期公式求出函数f（x）的最小正周期．（2）已知f（A）=2，求出A的值，通过b=1，△