高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练四十数学归纳法

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练四十数学归纳法……30分钟55分一、选择题(每小题5分,共20分)1.等式12+22+32+…+n2=12∈N*时都成立B.当n=1,2,3时成立C.当n=4时成立,n=5时不成立D.仅当n=4时不成立【解析】选B.当n=1时,左边=1,右边=1,成立;当n=2时,左边=1+4=5,右边=5,成立;当n=3时,左边=1+4+9=14,右边=14,成立;当n=4时,左边=1+4+9+16=30,右边=28,不成立;当n=5时,左边=1+4+9+16+25=55,右边=47,不成立.2.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,利用归纳法假设证明n=k+1时,只需展开 ()A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3【解析】选A.假设n=k时,原式=k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.3.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为 ()A.n+1 C.n2+n【解析】选条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;…;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+n(n+1)4.设f(n)=1n+1+1n+2+…+12n(nA.12n+1C.12n+1+12【解析】选D.f(n+1)f(n)=1n+2+1n12(n+1)1n+1+1二、填空题(每小题5分,共15分)5.探索表达式A=(n1)(n1)!+(n2)(n2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*)的结果时,第一步当n=________时,A=________.

【解析】因为n>1,且n∈N*,所以n=2时,A=(21)(21)!=1.答案:216.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n4+n22,则当n=k+1时,【解析】当n=k时,等式左端=1+2+…+k2,当n=k+1时,等式左端=1+2+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2,增加了2k+1项.即(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.答案:(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)27.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有:(Sn1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=______.

【解析】由(S11)2=S12得,S1=由(S21)2=(S2S1)S2得,S2=23由(S31)2=(S3S2)S3得,S3=34猜想Sn=nn答案:n三、解答题(每小题10分,共20分)8.用数学归纳法证明等式1222+3242+…+(1)n1·n2=(1)n1·n(【证明】(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(1)0×1×(1+1)2=1,左边(2)假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即有1222+3242+…+(1)k1·k2=(1)k1·k(那么,当n=k+1时,则有1222+3242+…+(1)k1·k2+(1)k(k+1)2=(1)k1k(k+1)2=(1)k·k+1=(1)k(k所以n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)知对任意n∈N*有1222+3242+…+(1)n1·n2=(1)n1·n(9.已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1=bn1-4an2(n∈N(1)求过点P1,P2的直线l的方程.(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N*,点Pn都在(1)中的直线l上.【解析】(1)由P1的坐标为(1,1)知:a1=1,b1=1.所以b2=b11-4a12=13,a2=a1·b2=13.所以点(2)要证明原问题成立只需证明点Pn都满足2x+y=1即可.①当n=1时,2a1+b1=2×1+(1)=1,成立.②假设n=k(k∈N*,k≥1)时,2ak+bk=1成立,即bk=12ak成立,则2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=bk1-4ak2(2ak+1)=bk1-2ak=1-2ak1-2ak=1,所以当n=k+1时,命题也成立.由……20分钟40分1.(5分)用数学归纳法证明12+cosα+cos2α+…+cosnα=sinn+12α2sinαA.12 C.12+cosα D.【解析】选C.当n=1时,左边第一项为12最后一项为cosα,故n=1时,左边式子为12+cos2.(5分)若不等式1n+1+1n+2+1n+3+…+12n>a(n∈N*【解析】设f(n)=1n+1+1n+2+1n则f(n+1)=1n+2+1n+3+…+12则f(n+1)f(n)=12n+1+12n所以数列{f(n)}是递增的,所以f(n)≥f(1)=12因为不等式1n+1+1n+2+1n+3+…+12n>a(n∈N答案:-∞,3.(5分)用数学归纳法证明“n3+5n(n∈N*)能被6整除”的过程中,当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)式子应变形为________.

【解析】用数学归纳法证明:n3+5n能被6整除的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为(k3+5k)+3k(k+1)+6,由于假设k3+5k能够被6整除,而k(k+1)能被2整除,因此3k(k+1)+6能被6整除.答案:(k3+5k)+3k(k+1)+64.(12分)设等差数列{an}的公差d>0,且a1>0.记Tn=1a1a2+1a(1)用a1,d分别表示T1,T2,T3,并猜想Tn.(2)用数学归纳法证明你的猜想.【解析】(1)T1=1a1aT2=1a1a2+1=1a1-1aT3=1a1a2=1a1=1a1-1a由此可猜想:Tn=na(2)①当n=1时,T1=1a1(②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即Tk=ka则当n=k+1时,Tk+1=Tk+1ak+1ak+2=k+1即n=k+1时,结论成立.由①②可知,Tn=na1(a1+nd5.(13分)已知a,b,c,使等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)对n(1)猜测a,b,c的值.(2)用数学归纳法证明你的结论.【解析】(1)假设存在符合题意的常数a,b,c,在等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)中,令n=1,得令n=2,得22=12(4a+2b+c)令n=3,得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3,b=11,c=10,于是,对于n=1,2,3都有1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n+1)12(2)下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立.①当n=1时,由上述知,(*)式成立.②假设n=k(k≥1)时,(*)式成立,即