2022高考数学(全国新高考一卷)真题及答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建（语数外）数学选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。若集合M={x|x<4}， B. C. D.【答案】D【解析】集合M={x|x<4}，N若，则（）-2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】D【解析】对原始两边同时乘以得：，即，所以，即，故选D.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m，3m−2n B. −2m+3n C. 3m+2n D. 2m+3n【答案】B【解析】因为CB=CA+AB=CA+3AD南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2。将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.51.0×109m3 B. 1.2×109m【答案】C【解析】由题意140.0km2，180.0km2，h(157.5−148.5)km9km，带入棱台体积，公式可得：.故选C.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 B. C. D. 【答案】D【解析】总事件数共，第一个数取2时，第二个数可以是3，5，7；第一个数取3时，第二个数可以是4，5，7，8；第一个数取4时，第二个数可以是5，6；第一个数取5时，第二个数可以是6，7，8；第一个数取6时，第二个数可以是7；第一个数取7时，第二个数可以是8；所以.记函数fx=sin(ωx+𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3\∗𝑀𝐸𝑅𝐺𝐸𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝑇)+b(ω>0)的最小正周期为1 B. C. D. 3【答案】A【解析】，y=fx的函数图像关于点中心对称，则有，且，所以，则；解得，由得，，故.设，b=，c=−lna<b<c B. c<b<a 【答案】C【解析】令，，=1\*GB3①；，所以，所以，所以.=2\*GB3②，令，所以，所以，所以，所以，所以.已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且，则该正四棱锥体积的取值范围是 B. C. D. 【答案】C【解析】记三棱锥高与侧棱夹角为，高为，底面中心到各顶点的距离为，，则，，，，故，令，，故，即，.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。已知正方体，则直线与所成的角为直线与所成的角为直线与平面所成的角为直线与平面所成的角为【答案】ABD【解析】在正方体中，因为，，所以，所以，，故选项A，B均正确；设.因为，所以直线与平面所成的角为，在直角△中，，故，故选项C错误；直线与平面所成的角为，故选项D正确，综上，答案选ABD.已知函数fxfx有两个极值点 B. fC.点(0，1)是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线【答案】AC【解析】，所以有两个极值点与，进而在或上单调递增，在上单调递减，两个极值点，A正确.由于，再由连续函数的单调性知，在上存在一个零点，而在区间，函数存在极小值，故在此区间恒成立，即此区间不存在零点，故只有一个零点，B错误.由可知，点是曲线的对称中心；曲线在点处的切线方程为，所以答案选AC.已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则的准线为 B. 直线与相切C. D. 【答案】BCD【解析】将代入抛物线方程解得，从而准线方程为，A错误.抛物线方程为，在A处切线的斜率为，切线方程为，B点在切线上，从而与相切，设直线的斜率为,从而直线的方程为，由于是切线并且斜率为2，所以.将直线方程代入得，我们设，，从而由韦达定理知，，进而故C正确.故D正确.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则 B. C. D. 【答案】BC【解析】由为偶函数可知关于直线对称，由为偶函数可知：关于直线对称，结合，根据关于直线对称可知关于点对称，根据关于直线对称可知：关于点对称，综上，函数与均是周期为2的周期函数，所以有，所以A不正确；，，，故，所以C正确.，，所以B正确；又，所以，所以D不正确.故选BC.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。的展开式中的系数为（用数字作答）.【答案】-28【解析】原始等于，由二项式定理，其展开式中的系数为.写出与圆和都相切的一条直线的方程.【答案】或或.（答对其中之一即可）【解析】由图可得，两圆外切，且均与直线相切，另过两圆圆心的直线的方程为，可得与交点为，由切线定理得，两圆另一公切线过点，设，由点到直线距离公式可得，解得，即.另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线与垂直，解得. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是.【答案】【解析】易得曲线不过原点，设切点为，则切线斜率为.可得切线方程为，又切线过原点，可得，化简得（*），又切线有两条，即*方程有两不等实根，由判别式，得，或.已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与交于，两点，，则△ADE的周长是.【答案】13【解析】椭圆离心率为，不妨设，且△为正三角形，则直线斜率.由等腰三角形性质可得，，，由椭圆性质得△ADE的周长等价于.另设直线方程为，与椭圆方程联立得.由弦长公式得.即，.解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（10分）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.求的通项公式；证明：.【解析】：（1），所以，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以，所以.当时，，所以，即；累积法可得：，又满足该式，所以得通项公式为.（2）（12分）记△ABC的内角的对边分别为，已知.若，求；求的最小值.【解析】（1）由已知条件得:所以，即，由已知条件：，则，可得，所以，.由（1）知，则，，，由正弦定理，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.（12分）如图，直三棱柱的体积为4，△A1BC的面积为.求到平面的距离；设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.【解析】（1）设到平面的距离为，用两种方法计算的体积： 故由可得.（2）由于平面，从而，又因为，所以平面，进而，所以平面，所以，此时我们设，，由已知条件得，，解得.由勾股定理可知，进而△为等边三角形，，我们已经知道平面，那么由对称性有平面，从而二面角的正弦值即为与的夹角的正弦值，即.（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.证明：；利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值.0.0500.0100.0013.8416.63510.828附：，【解析】（1）假设患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异，则，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；（2）（i），得证；（ii）由调查数据可知，，则，，所以.（12分）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0.求的斜率；若，求△的面积.【答案】（1）的斜率为0；（2）△的面积为【解析】（1）将点代入双曲线方程得，化简得得：，故双曲线方程为；由题显然直线的斜率存在，设，设，，则联立直线与双曲线得：，故，，，化简得：，故，即，而直线不过点，故.（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，由，得，即，联立，及得，，带入直线得，故，，而，，由，得，故.（12分）已知函数和有相同的最小值.求；证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】（1），=1\*GB3①时，恒成立，所以在R上单调递增，即没有最小值.该类情况应舍去.=2\*GB3②时，在上小于0，在上大于0，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处有最小值为，所以在上小于0，在上大于0，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处有最小值为，因为和有相同的最小值，所以有，即因为，所以上式等价于，令，则恒成立，所以上单调递增，又因为且，所以（2）证明：由（1），，且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且.=1\*GB3①时，此时，显然与两条曲线和共有0个交点，不符合题意；=2\*GB3②时，此时，与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；=3\*GB3③时，首先，证明与曲线有2个交点；即证明有2个零点，，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，，，（令，则，）所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为.其次，证明与曲线有2个交点：即证明有2个零点，，所以在上单调递减，在上单调递增，有因为，，，（令，则，）所以在上存在且只存在1个零点