四川省成都市成华区中考数学一诊试卷

第4页（共22页）2015-2016学年四川省成都市成华区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共20分，每小题均有四个选项，其中只有一个符合要求，答案涂在答题卡上1．已知，那么=（）A． B． C． D．2．从正面观察如图的两个物体，看到的是（）A． B． C． D．3．一元二次方程x2﹣9=0的根为（）A．x=3 B．x=﹣3 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=0，x2=34．反比例函数y=的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜15．下列命题中，不正确的是（）A．菱形的四条变相等B．平行四边形邻边相等C．对角线相等的平行四边形是矩形D．正方形对角线相等且互相垂直平分6．已知点A（2，3）在函数y=ax2﹣x+1的图象上，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣27．2014年四川旅游局公布了四川各城市宣传语中英文对照，成华区的宣传口号中有这样一句：“生态城区，现代成华”，它的英文宣传语为“EcologicalDistrict，ModemChenhua”．在路边一块由这个32个英文字母牌拼成的宣传栏上，一只小鸟停留在字母“o”的字母牌上的概率为（）A． B． C． D．8．如图，在△ABC中，AC=1，BC=2，AB=，则cosB的值是（）A． B． C．2 D．9．某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（）A．50（1+x）2=60 B．50（1+x）2=120C．50+50（1+x）+50（1+x）2=120 D．50（1+x）+50（1+x）2=12010．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．答案写在答题卡上11．如果锐角α满足sinα=，则α的余角是．12．二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为．13．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是．14．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，则tan∠ACE的值为．三、解答题：本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣1﹣3tan30°+3+（π﹣3.14）0（2）计算：（x﹣2）（x﹣3）=12．16．（6分）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端A重合，测得BC=9.2m，CA=0.8m，求树的高度BD．五、解答题：本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上26．（8分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？27．（10分）（2015秋•成华区期末）如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BE⊥AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF=FD；（2）若∠A=45°，试判断四边形ACFE的形状，并说明理由；（3）当∠A在什么范围取值时，线段DE上存在点G，满足条件DG=DA．28．（12分）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为二次函数的顶点，已知点（﹣1，0），点C（0，﹣3），直线DE为二次函数的对称轴，交BC于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）直线DE上是否存在点M，使点M到x轴的距离于到BD的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点Q是线段BD上的动点，点D关于EQ的对称点是点D′，是否存在点Q使得△EQD′与△EQB的重叠部分图象为直角三角形？若存在，请求出DQ的长；若不存在，请说明理由．

2015-2016学年四川省成都市成华区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共20分，每小题均有四个选项，其中只有一个符合要求，答案涂在答题卡上1．（3分）（2015秋•成华区期末）已知，那么=（）A． B． C． D．【解答】解：由合比性质，得=，故选：A．2．（3分）（2015•徐州模拟）从正面观察如图的两个物体，看到的是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看第一个图为矩形，第二个图形为正方形．故选A．3．（3分）（2013•锦江区模拟）一元二次方程x2﹣9=0的根为（）A．x=3 B．x=﹣3 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3【解答】解：x2﹣9=0，（x﹣3）（x+3）=0，x﹣3=0或x+3=0，解得：x1=3，x2=﹣3．故选C．4．（3分）（2016•道里区一模）反比例函数y=的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1【解答】解：∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴m﹣1＞0，解得m＞1．故选C．5．（3分）（2015秋•成华区期末）下列命题中，不正确的是（）A．菱形的四条变相等B．平行四边形邻边相等C．对角线相等的平行四边形是矩形D．正方形对角线相等且互相垂直平分【解答】解：A、菱形的四条边相等，所以A选项为真命题；B、平行四边形对边相等，所以B选项为假命题；C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项为真命题；D、正方形对角线相等且互相垂直平分，所以D选项为真命题．故选B．6．（3分）（2015秋•成华区期末）已知点A（2，3）在函数y=ax2﹣x+1的图象上，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵点A（2，3）在函数y=ax2﹣x+1的图象上，∴3=a•4﹣2+1，a=1．故选：B．7．（3分）（2015秋•成华区期末）2014年四川旅游局公布了四川各城市宣传语中英文对照，成华区的宣传口号中有这样一句：“生态城区，现代成华”，它的英文宣传语为“EcologicalDistrict，ModemChenhua”．在路边一块由这个32个英文字母牌拼成的宣传栏上，一只小鸟停留在字母“o”的字母牌上的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：∵英文宣传语为“EcologicalDistrict，ModemChenhua”，共32个英文字母，其中“o”的字母出现3次，∴小鸟停留在字母“o”的字母牌上的概率为：．故选D．8．（3分）（2015秋•成华区期末）如图，在△ABC中，AC=1，BC=2，AB=，则cosB的值是（）A． B． C．2 D．【解答】解：cosB===，故选：A．9．（3分）（2015•日照模拟）某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（）A．50（1+x）2=60 B．50（1+x）2=120C．50+50（1+x）+50（1+x）2=120 D．50（1+x）+50（1+x）2=120【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，则二月份生产机器为：50（1+x），三月份生产机器为：50（1+x）2；又知二、三月份共生产120台；所以，可列方程：50（1+x）+50（1+x）2=120．故选D．10．（3分）（2016•黔东南州一模）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．故选B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．答案写在答题卡上11．（4分）（2015秋•成华区期末）如果锐角α满足sinα=，则α的余角是30°．【解答】解：锐角α满足sinα=，则α=60°，α的余角是30°，故答案为：30°．12．（4分）（2012•镇赉县模拟）二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为3．【解答】解：由表达式y=x2﹣4x+3=（x﹣1）×（x﹣3），则与x轴坐标为：A（1，0），B（3，0），令x=0，得y=3，即C（0，3）∴△ABC的面积为：．13．（4分）（2015•德州模拟）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是a≥1且a≠5．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=16+4（a﹣5）≥0，解之得a≥1．∵a﹣5≠0∴a≠5∴实数a的取值范围是a≥1且a≠5故答案为a≥1且a≠5．14．（4分）（2015秋•成华区期末）如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，则tan∠ACE的值为．【解答】解：设AC和BD相交于点O，∵BD=BE+DE=10，∴OB=OC=5．∵BE=2，∴OE=3．在Rt△OCE中，CE=4，∴tan∠ACE==，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上15．（12分）（2015秋•成华区期末）（1）计算：（﹣）﹣1﹣3tan30°+3+（π﹣3.14）0（2）计算：（x﹣2）（x﹣3）=12．【解答】解：（1）原式=﹣2﹣3×+3×+1=﹣1；（2）方程整理得：x2﹣5x﹣6=0，分解因式得：（x﹣6）（x+1）=0，解得：x1=6，x2=﹣1．16．（6分）（2015秋•成华区期末）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端A重合，测得BC=9.2m，CA=0.8m，求树的高度BD．【解答】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似：△AEC∽△ADB，则=，∵BC=9.2m，CA=0.8m，∴=，则BD=18．答：树的高度BD为18米．17．（8分）（2015秋•成华区期末）小英和小丽用两个转盘做“配紫色”游戏，配成紫色小英就获胜，否则小丽获胜（红色+蓝色=紫色）．（1）请利用画树状图或列表的方法表示这个游戏所有可能出现的结果；（2）请利用两人获胜的概率判断此游戏对双方是否公平．【解答】解：（1）画树状图得：；（2）由（1）得：一共有12种等可能的结果，配成紫色的有3种情况，配不成紫色的有9种情况，故P（小英获胜）==，P（小丽获胜）==，则P（小英获胜）≠P（小丽获胜），故这个游戏对双方不公平．18．（8分）（2015秋•成华区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．【解答】证明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形，又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBA=∠ECB=45°∴∠BEC=90°，BE=CE∴四边形BECF是正方形．19．（10分）（2013•黄冈）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）【解答】解：依题意可得：∠EAB=30°，∠ACE=15°，又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE∴∠CAE=15°，即△ACE为等腰三角形，∴AE=CE=100m，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，∴EF=AEcos60°=50m，AF=AEsin60°=50m，在Rt△BEF中，∠BEF=30°，∴BF=EFtan30°=50×=m，∴AB=AF﹣BF=50﹣=≈58（米）．答：塔高AB大约为58米．20．（10分）（2015秋•成华区期末）如图，一次函数y=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点，（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出k1x+b﹣＞0时x（x＞0）的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵y=过A（1，6），B（a，3），∴6=，3=，∴k2=6，a=2，∴反比例函数解析式为：y=，B（2，3），∵y=k1x+b过A（1，6），B（2，3），∴，解得：．∴一次函数解析式为：y=﹣3x+9；（2）由图象得：k1x+b﹣＞0时，x（x＞0）的取值范围为：1＜x＜2；（3）PC=PE，理由如下：过点B作BF⊥OD于点F，∵四边形OBCD是等腰梯形，BC∥OD，CE⊥OD，∴OB=CD，BF=CE，在Rt△OBF和Rt△DCE中，，∴Rt△OBF≌Rt△DCE（HL），∴OF=DE，∵B（2，3），∴OF=DE=2，BF=3，设C（a，3），∴BC=a﹣2，OD=a+2，∵梯形OBCD的面积为12，∴（a﹣2+a+2）×3=12，解得：a=4，∴C（4，3），∴xP=4，∴yP==，∴P（4，），∵C（4，3），E（4，0），∴PC=3﹣=，PE=﹣0=，∴PC=PE．四、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，20分．答案写在答题卡上21．（4分）（2015秋•成华区期末）已知x1，x2是方程x2﹣6x﹣5=0的两实数根，则+的值为﹣．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣5=0的两实数根，∴x1+x2=6，x1x2=﹣5，则+==﹣．故答案为：﹣．22．（4分）（2015秋•成华区期末）如图，一艘货轮以20海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行1小时后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向，那么此时货轮与灯塔B的距离为20海里（结果不取近似值）．【解答】解：作CE⊥AB于E，20海里/时×1小时=20海里，∴AC=20海里，∵∠A=45°，∴CE=AC•sin45°=10，∵∠NCB=75°，∠A=45°，∴∠B=30°，∴BC===20海里，故答案为：20．23．（4分）（2008•上海模拟）如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为．【解答】解：∵矩形纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处∴∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，∴∠DBE=∠CDB，∴DF=FB，∴△DFB是等腰三角形，过点F作FG⊥BD，则点G是BD的中点∵BD=AD÷sin30°=4∴BG=2∴FG=BGtan30°=．24．（4分）（2015秋•成华区期末）有三张正面分别标有数字﹣1，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为．【解答】解：画树状图为：，解①得：x＜5，当a＞0，解②得：x＞，根据不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，则2＜x＜5时符合要求，故=2，即b=2，a=1符合要求，当a＜0，解②得：x＜，根据不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，则x＜2时符合要求，故=2，即b=﹣2，a=﹣1（舍）故所有组合中只有1种情况符合要求，故使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数解的概率为：，故答案为：．25．（4分）（2015秋•成华区期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③b＜1；④a＞﹣；⑤（a+c）2＜b2中正确的有①②⑤（将你认为正确的结论番号都填出来）【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=﹣＞﹣1，且c＞0；①由图可得：当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确；②已知x=﹣＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由（2）﹣（1）可得2b＜﹣2，∴b＜﹣1，故③错误；④已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a﹣2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a﹣c＜﹣4；故3a＜﹣3，即a＜﹣1；所以④错误；⑤已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c=2，∴a+c=b，∴（a+c）2=（2+b）2，∵（2+b）2=4+4b+b2，∵b＜﹣1∴4+4b=4+4（1+b）＜0，∴4+4b+b2＜b2，∴（a+c）2＜b2，故⑤正确；因此正确的结论是①②⑤．故答案为①②⑤．五、解答题：本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上26．（8分）（2015秋•成华区期末）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．27．（10分）（2015秋•成华区期末）如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BE⊥AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF=FD；（2）若∠A=45°，试判断四边形ACFE的形状，并说明理由；（3）当∠A在什么范围取值时，线段DE上存在点G，满足条件DG=DA．【解答】（1）证明：如图1，在Rt△AEB中，∵AC=BC，∴CE=AB，∴CB=CE，∴∠CEB=∠CBE．∵∠CEF=∠CBF=90°，∴∠BEF=∠EBF，∴EF=BF．∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，∴∠FED=∠EDF．∴BF=FD．（2）解：由（1）BF=FD，而BC=CA，∴CF∥AD，即AE∥CF．∵∠A=45°，∠AEB=90，∴∠ABE=90°﹣∠A=45°=∠A，∴EA=EB，∵AC=CB，∴EC⊥AB，∵EF⊥EC，∴EF∥AB，∵AE∥CF，∴四边形ACFE是平行四边形．（3）解：如图2，作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB．∵DG=DA，∴DH=DB．又F为BD中点，∴H为DF的中点．∴GH为DF的中垂线．∴∠GDF=∠GFD．∵点G在ED上，∴∠EFD≥∠GFD．∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°，∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度．∴3∠EDF≤180度．∴∠EDF≤60度．又∠A+∠EDF=90°，∴30°≤∠A＜90°．∴当30°≤∠A＜90°时，