专题4-5函数y=Asin(ωxφ)及其应用10大考点（原卷版）

专题4-5函数y=Asin(ωx+φ)及其应用10大考点知识点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期频率相位初相(A>0，ω>0)AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φeq\a\vs4\al(φ)知识点二用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找的五个特征点，如下表所示ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0eq\a\vs4\al(A)0－A0知识点三由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法一、确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法1、求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).2、求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝eq\f(2π,T).3、求φ：常用的方法有代入法和五点法．（1）代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．（2）五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．二、三角函数图象的变换函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：（1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；（2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；（3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。三、已知函数模型解决实际问题的思路1、这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的函数来刻画，只需根据已知条件确定参数，求解函数解析式，再将题目涉及的具体的数值代入计算即可．2、三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查．考点一由函数图象确定解析式【例1】（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）函数的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则（）A．B．C．D．【变式1-1】（2020秋·陕西汉中·高三统考期末）已知函数的部分图像如图所示，则的值为（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023春·陕西·高三安康中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．【变式1-3】（2023秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）（多选）的部分图象如图所示．则的表达式可以是（）A．B．C．D．【变式1-4】（2023·广东·校联考模拟预测）（多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．考点二同名函数间的图象变换【例2】（2023秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）为了得到的图象，可以将函数的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度【变式2-1】（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【变式2-2】（2023秋·江西·高三校联考期末）要得到的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【变式2-3】（2023·全国·校联考二模）要得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【变式2-4】（2023春·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）要得到函数的图象，只需将图象上的所有点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位B．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位C．向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍D．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的考点三异名函数间的图象变换【例3】（2023·北京·统考模拟预测）要得到的图像，只要将的图像（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【变式3-1】（2023秋·吉林·高三长春第十七中学校考开学考试）为了得到函数的图象，需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与的图象重合（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【变式3-3】（2023春·河南·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（）A．B．C．D．【变式3-4】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2考点四求图象变换前(后)的解析式【例4】（2023·全国·高三专题练习）将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度，再把得到的曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A．B．C．D．【变式4-1】（2023·广西·统考一模）把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．B．C．D．【变式4-2】（2023·河南郑州·模拟预测）把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A．B．C．D．【变式4-3】（2023春·湖南·高三衡阳一中校考阶段练习）（多选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（）A．B．C．D．【变式4-4】（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数图象的相邻的对称轴之间的距离为2，将函数的图象向右平移个单位长度﹐再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍﹐纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式为（）A．B．C．D．考点五图象变换前后的重合问题【例5】（2023·陕西·西安大明宫中学校考模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）A．B．C．D．【变式5-1】（2022秋·河南南阳·高三统考期中）若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．【变式5-2】（2023秋·浙江·高三丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（）A．2B．3C．4D．6【变式5-3】（2022·海南省直辖县级单位·统考三模）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象与图象重合，则的值可以为（）A．-4B．8C．12D．16【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值为.【变式5-5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后与其导函数的图象重合，则的值为（）A．0B．C．D．考点六由图象变换研究函数的性质【例6】（2023·全国·高三对口高考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数图象在区间上单调递减，则m的最小值为（）A．B．C．D．【变式6-1】（2023·江西·统考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023·山东·山东省实验中学校考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后的函数图象关于原点对称，则实数的最小值为（）A．B．C．D．【变式6-3】（2023·云南昭通·校联考模拟预测）若将函数的图象向右平移个单位后，函数图象关于原点对称，则.【变式6-4】（2023·陕西·高三师大附中校考模拟预测）已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（）A．B．C．D．【变式6-5】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图像，若的图像都关于对称，则的最小值为（）A．2B．3C．4D．6【变式6-6】（2023·福建漳州·统考模拟预测）（选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A．在上单调递减B．在上有2个零点C．的图象关于直线对称D．在上的值域为考点七三角函数图象性质综合应用【例7】（2023秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考开学考试）已知函数的部分图象如图所示.该图象与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，D为图象的最高点，且的面积为.（1）求的解析式及其单调递增区间.（2）若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若，求的值.【变式7-1】（2022秋·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）已知函数的相邻两对称轴间的距离为，（1）求的解析式；（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域；【变式7-2】（2022秋·福建福州·高三校考阶段练习）已知函数在处取得最值，其中．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围．【变式7-3】（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）函数（其中，，）的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由【变式7-4】（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）某同学用“五点法”画函数）在某一个周期内的函数图象列表并填入的部分数据如下表xx30000（1）求出的解析式，并写出上表中的x1；（2）将的图象向右移个单位得到的图象，若总存在，使得成立，求实数m的取值范围.【变式7-5】（2023·陕西安康·统考一模）已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.考点八三角函数在几何中的应用【例8】（2023·全国·高三专题练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，若点P的纵坐标为y，，则时t的取值范围为（）A．B．C．D．【变式8-1】（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则（）A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4mB．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面【变式8-2】（2022秋·安徽合肥·高三校考阶段练习）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车(即圆周)的直径为米，其中心（即圆心）到水面的距离为米，逆时针匀速旋转一圈的时间是秒．水车边缘上一点距水面的高度为单位；米，水车逆时针旋转时间为单位：秒当点在水面上时高度记为正值；当点旋转到水面以下时，点距水面的高度记为负值．过点向水面作垂线，交水面于点，过点作的垂线，交于点从水车与水面交于点时开始计时，设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．（1）求与的函数解析式；（2）当雨季来临时，河流水量增加，点到水面的距离减少了米，求的大小精确到；（3）若水车转速加快到原来的倍，直接写出与的函数解析式．参考数据：【变式8-3】（2023·广东·珠海市第一中学校考模拟预测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2），开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？【变式8-4】（2023春·上海·高三青浦高级中学校考阶段练习）一年之计在于春，春天正是播种的好季节．小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些计划．如图，是边长为米的正方形菜园，扇形区域计划种植花生，矩形区域计划种植蔬菜，其余区域计划种植西瓜．分别在上，在弧上，米，设矩形的面积为（单位：平方米）．（1）若，请写出（单位：平方米）关于的函数关系式；（2）求的最小值．【变式8-5】（2023秋·浙江宁波·高三期末）如图，是一个边长为的有部分腐蚀的正方形铁皮，其中腐蚀部分是一个半径为的扇形，其他部分完好可利用.铁匠师傅想在未被腐蚀部分截下一个长方形铁皮（是圆弧上的一点），以用于制作其他物品.（1）当长方形铁皮为正方形时，求此时它的面积；（2）求长方形铁皮的面积的最大值.考点九三角函数在生活中的应用【例9】（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据：）A．时时B．时时C．时时D．时时【变式9-1】（2023春·湖北·高三华中师大一附中校考期中）（多选）科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以天、天和天为周期，均可按进行变化．记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，则（）A．第天时情绪曲线处于最高点B．第天到第天时，智力曲线与情绪曲线不相交C．第天到第天时，体力曲线处于上升期D．体力曲线关于点对称【变式9-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）心脏跳动时，血压在增加或减小血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，健康成年人的收缩压和舒张压一般为和，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．记某人的血压满足函数式，其中为血压，t为时间，其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（）．A．B．收缩压为C．舒张压为D．每分钟心跳80次【变式9-3】（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中为水深（单位：米），为时间（单位：小时），该函数图像如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？【变式9-4】（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）某港口水深y（米）是时间（单位：小时）的函数，下表是水深数据：t（小时）03691215182124y（米）根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【变式9-5】（2023·高三课时练习）如图，某地一天中6~14时的温度变化曲线近似满足（，，）.（1）求出这段曲线的函数解析式；（2）某行业在该地经营，当温度在区间之间时为最佳营业时间，那么该行业在6~14时，最佳营业时间有多少小时？【变式9-6】（2023·全国·高三专题练习）某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①；②；③（以上三式中均为常数．）（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？（2）若，求出所选函数的解析式（注：函数的定义域是，其中表示1月份，表示2月份，⋯⋯，以此类推），为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？考点十三角函数在物理中的应用【例10】（2023·全国·高三专题练习）三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流（单位：安培）与时间（单位：秒）满足函数关系式：（其中为供电的最大电流，单位：安培；表示角频率，单位：弧度/秒；为初始相位），该三相交流电的频率（单位：赫兹）与周期（单位：秒）满足关